2020-2021学年吉林省长春市新朝阳实验学校小班九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年吉林省长春市新朝阳实验学校小班九年级第一学
期第一次月考数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．﹣2的相反数是（）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．将“厉害了我的国”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“厉”字相对的字是（）
A．“了”B．“我”C．“的”D．“国”
3．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（）
A．1.6×10﹣9米B．1.6×10﹣7米C．1.6×10﹣8米D．16×10﹣7米4．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（）
A．9分B．8分C．7分D．6分
5．下列整数中与×的结果最接近的是（）
A．3B．4C．9D．18
6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（）
A．7sinαB．7cosαC．7tanαD．
7．如图，l1∥l2，正五边形ABCDE的顶点A、B分别落在l1、l2上，若∠1＝25°，则∠2的大小为（）
A．60°B．61°C．62°D．65°
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）
A．9B．6C．5D．4
二、填空翘（每小题3分，共18分）
9．计算：（x2）3＝．
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0根的判别式Δ＝．
11．如图，在△ABD和△ACD中，∠1＝∠2，若（添加两条线段对应相等），则可以判定△ABD≌△ACD．
12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，1），（1，3）．若函数y ＝（x＞0）与线段AB有交点，则k的取值范围是．
13．如图，3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分图形的面积是．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＜0）与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．若△AOC的面积是S，则△ABC的面积是．（用含S的代数式表示）
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣3a2，其中a＝﹣1，b＝．
16．在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1个围棋子记下颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是白色的概率．
17．图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请你借助格点，利用无刻度的直尺在图①、图②中以P为端点各画一条射线．要求：
（1）在图①中画一条以P为端点的射线平分线段AB．
（2）在图②中画一条以P为端点的射线分线段AB为1：3的两部分．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的⊙O的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．求证：CP＝CB．
19．某型号的手机连续两次降价，每部手机原来的售价为4000元，降价后减少了760元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
20．某校八年级共有8个班，241名同学，书法老师为了解该校八年级学生选修书法的意向，请小红、小亮、小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
（1）小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修书法的意向，并说出理由．
（2）估计全年级有意向选修书法的同学的人数．
21．如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm 的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．探究：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF ∥BC，交BE的延长线于点F，求的值．
应用：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，若CD＝2，AC＝6，则PE＝．
23．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发沿线段CA以2cm/s 的速度向终点A运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．以PQ，CQ为邻边作▱PECQ．设▱PECQ与直角三角形ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（t＞0）．
（1）直接写出AC＝cm．
（2）当点E落在线段BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）当过点Q且垂直于AC的直线将▱PECQ的面积分为1：3的两部分时，直接写出t 的值．
24．已知函数y＝（a为常数）．
（1）当a＝﹣1时，
①求此函数的最小值．
②点P（b，4）在此函数图象上，求b的值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（0，﹣3），B（，﹣3），若此函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求a的取值范围．
（3）当此函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5时，直接写出a的取值范围．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．﹣2的相反数是（）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
解：﹣2的相反数是2．
故选：B．
2．将“厉害了我的国”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“厉”字相对的字是（）
A．“了”B．“我”C．“的”D．“国”
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可得，
“厉”与“国”相对，
“害”与“我”相对，
“了”与“的”相对，
故选：D．
3．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（）
A．1.6×10﹣9米B．1.6×10﹣7米C．1.6×10﹣8米D．16×10﹣7米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：∵1纳米＝10﹣9米，
∴16纳米表示为：16×10﹣9米＝1.6×10﹣8米．
故选：C．
4．某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（）
A．9分B．8分C．7分D．6分
【分析】将数据重新排列后，根据中位数的定义求解可得．
解：将数据重新排列为6、7、7、7、8、9、9，
所以各代表队得分的中位数是7分，
故选：C．
5．下列整数中与×的结果最接近的是（）
A．3B．4C．9D．18
【分析】先根据二次函数的乘法法则化简，在估算出的大小即可求解．
解：∵，，
∴，
即与×的结果最接近的是4．
故选：B．
6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（）
A．7sinαB．7cosαC．7tanαD．
【分析】根据正切的概念进行解答即可．
解：在Rt△ABC中，tanα＝，
则BC＝AC•tanα═7tanαm，
故选：C．
7．如图，l1∥l2，正五边形ABCDE的顶点A、B分别落在l1、l2上，若∠1＝25°，则∠2的大小为（）
A．60°B．61°C．62°D．65°
【分析】根据正五边形的内角和平行线的性质解答即可．
解：因为正五边形ABCDE的一个内角是108°
∵且l1∥l2，∠1＝25°，
∴∠ABF＝180°﹣108°﹣25°＝47°，∠2＝108°﹣47°＝61°，
故选：B．
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）
A．9B．6C．5D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故选：C．
二、填空翘（每小题3分，共18分）
9．计算：（x2）3＝x6．
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算．
解：原式＝x2×3＝x6．
故答案为x6．
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0根的判别式Δ＝13．
【分析】根据判别式的定义计算b2﹣4ac的值即可．
解：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13．
故答案为13．
11．如图，在△ABD和△ACD中，∠1＝∠2，若AB＝AC（添加两条线段对应相等），则可以判定△ABD≌△ACD．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS可得出答案．
解：添加AB＝AC，可以判定△ABD≌△ACD．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：AB＝AC．
12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，1），（1，3）．若函数y ＝（x＞0）与线段AB有交点，则k的取值范围是1≤k≤3．
【分析】因为函数y＝（x＞0）与线段AB有交点，所以当函数y＝（x＞0）过A（1，1）时，k值最小；当函数y＝（x＞0）过B（1，3）时，k值最大，然后把A点和B点坐标代入y＝（x＞0）可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围．
解：∵函数y＝（x＞0）与线段AB有交点，
∴当函数y＝（x＞0）过A（1，1）时，k值最小，则有k＝1×1＝1；
当函数y＝（x＞0）过B（1，3）时，k值最大，则k＝1×3＝3，
∴k的取值范围为1≤k≤3．
故答案为：1≤k≤3．
13．如图，3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分图形的面积是．
【分析】求得△ABC的面积，然后根据三角形相似的性质即可求得阴影部分的面积．解：如图，∵△BDH∽△CEH，
∴，即＝，
∴＝，
∵S△ABC＝2×3﹣﹣﹣＝，
∵△GHC∽△CAB，
∴＝（）2，即＝（）2
∴阴影部分面积＝×＝，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＜0）与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．若△AOC的面积是S，则△ABC的面积是1+2S．（用含S的代数式表示）
【分析】根据三角形的面积公式求得点A的坐标，结合抛物线的对称性质推知点B的坐标，易得线段AB的长度，然后再由三角形的面积公式解答．
解：在抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＜0）中，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）．
∴OC＝2．
∵△AOC的面积是S，
∴S＝OA•OC＝OA×2＝OA．
∴A（﹣S，0）．
又∵对称轴是直线x＝﹣＝，
∴B（1+S，0）．
∴AB＝1+2S．
∴S△ABC＝AB•OC＝×（1+2S）×2＝1+2S．
故答案是：1+2S．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣3a2，其中a＝﹣1，b＝．【分析】根据平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．解：原式＝4a2﹣b2﹣3a2
＝a2﹣b2，
当a＝﹣1，b ＝时，原式＝（﹣1）2﹣（）2＝1﹣2＝﹣1．
16．在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1个围棋子记下颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是白色的概率．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的围棋子颜色都是白色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表得：
白2黑
第一次
第二次白1
白1（白1，白1）（白2，白1）（黑，白1）
白2（白1，白2）（白2，白2）（黑，白2）
黑（白1，黑）（白2，黑）（黑，黑）
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的围棋子颜色都是白色的有4种情况，
∴P （两次摸出的围棋子颜色都是白色）＝．
17．图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点和点P均在格点上．请你借助格点，利用无刻度的直尺在图①、图②中以P为端点各画一条射线．要求：
（1）在图①中画一条以P为端点的射线平分线段AB．
（2）在图②中画一条以P为端点的射线分线段AB为1：3的两部分．
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
解：（1）射线PC即为所求；
（2）射线PD即为所求．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的⊙O的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．求证：CP＝CB．
【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP＝∠CPB，即可证得CP＝CB．
【解答】证明：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠APO＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∴CP＝CB．
19．某型号的手机连续两次降价，每部手机原来的售价为4000元，降价后减少了760元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【分析】设每次降价的百分率为x，由每部手机原来的售价为4000元，降价后减少了760元，已知两次降价的百分率相同，可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x
根据题意得：4000（1﹣x）2＝4000﹣760
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）
答：每次降价的百分率为10%
20．某校八年级共有8个班，241名同学，书法老师为了解该校八年级学生选修书法的意向，请小红、小亮、小军三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：
（1）小红、小亮和小军三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校八年级同学选修书法的意向，并说出理由．
（2）估计全年级有意向选修书法的同学的人数．
【分析】（1）根据抽样调查的代表性可知小军的结果较好地反映了该校八年级同学选修书法的意向；
（2）用样本中选择书法的人数所占比例乘以总人数可得答案．
解：（1）小军的数据较好地反映了该校八年级同学选修书法的意向．
理由如下：
小红仅调查了一个班的同学，样本不具有随机性；
小亮只调查了8位语文课代表，样本容量过少，不具有代表性；
小军的调查样本容量适中，且能够代表八年级的同学的选择意向；
（2）根据小军的调查结果，有意向选择书法的比例约为＝；
故据此估计全年级有意向选修书法的同学人数为241×＝60.25≈60（人）．
21．如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm 的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为12cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【分析】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；
（2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．解：（1）由题意和函数图象可得，
圆柱容器的高为12cm，
故答案为：12；
（2）BC过点（26，8），（42，12），
设线段BC所对应的函数表达式为h＝kt+b，
将点（26，8），（42，12）代入，得
，
解得，
所以线段BC所对应的函数表达式为h＝t+；
（3）以为“柱锥体”的高为：5+3＝8（cm），
所以顶端距离水面3.5cm位置有2个，
①当h＝8﹣3.5＝4.5时，在OA上，
设OA解析式为h＝kt，过点A（15，5），
所以15k＝5，解得k＝，
所以OA解析式为h＝t，
当h＝4.5时，t＝13.5；
②当h＝8+3.5＝11.5时，在BC上，
将h＝11.5代入h＝t+，
解得t＝40．
综上所述：“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值为13.5s或40s．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．探究：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF ∥BC，交BE的延长线于点F，求的值．
应用：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，若CD＝2，AC＝6，则PE＝1．
【分析】探究：如图①，证明△AEF∽△CEB，利用相似比得，则BD：AF＝2：3，再证明△APF∽△DPB，然后利用相似比即可得到；
应用：过点A作作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，设DC＝k，则BC＝2k，先证明△AEF∽△CEB得到，即AF＝BC＝2k，再证明△APF∽△DPB，从而
利用相似比得出；先利用勾股定理计算出BE＝5，则BF＝2BE＝10，再证明△APF∽△DPB，利用相似比得到，然后利用比例的性质计算BP的长，则可求出PE的长．
解：探究：如图①，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝1，
∵BD：BC＝2：3，
∴BD：AF＝2：3，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴；
应用：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，
设DC＝k，则BC＝2k，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝1，即AF＝BC＝2k，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴，
∵CE＝AC＝3，BC＝2CD＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝5，
∴BF＝2BE＝10，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴，
∴BP＝BF＝×10＝6，
∴PE＝BP﹣BE＝6﹣5＝1．
故答案为：1．
23．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发沿线段CA以2cm/s 的速度向终点A运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．以PQ，CQ为邻边作▱PECQ．设▱PECQ与直角三角形ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（t＞0）．
（1）直接写出AC＝10cm．
（2）当点E落在线段BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）当过点Q且垂直于AC的直线将▱PECQ的面积分为1：3的两部分时，直接写出t 的值．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC的长；
（2）当点E落在线段BC上时，PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，得出比例式，计算可得t的值；
（2）分情况讨论：①当0＜t≤时，作PG⊥AC于G，证明△APG∽△ACB，列比例式可得PG的长，重叠部分图形的面积S＝平行四边形PECQ的面积，即可得出结果；②
当＜t≤5时，作PG⊥AC于G，CF⊥PE于F，则CF＝PG，同①得CF＝PG＝t，PH＝10﹣t，得出EH的长，得出重叠部分图形的面积S＝平行四边形PECQ的面积﹣△CEH的面积，即可得出结果；
（3）分两种情况：如图4和图5，作辅助线，证明PM＝QG，列方程可解答．
解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝10（cm）；
故答案为：10；
（2）如图1，当点E落在线段BC上时，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，即，
解得：t＝；
（2）分两种情况讨论：
①当0＜t≤时，作PG⊥AC于G，如图2所示：
则∠PGA＝90°＝∠ABC，
∵∠A＝∠A，
∴△APG∽△ACB，
∴，即，
解得：PG＝t，
∴重叠部分图形的面积S＝平行四边形PECQ的面积＝2t×t═t2，
即S＝t2（0＜t≤）；
②当＜t≤5时，如图3所示：过点P作PG⊥AC于G，过点C作CF⊥PE于F，则CF＝PG，
同①得：CF＝PG＝t，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴，即，
∴PH＝10﹣t，
∴EH＝PE﹣PH＝CQ﹣PH＝2t﹣（10﹣t）＝t﹣10，
∴重叠部分图形的面积S＝平行四边形PECQ的面积﹣△CEH的面积＝2t×t﹣（t ﹣10）×t＝t2+4t，
即S＝t2+4t（＜t≤5），
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S＝．
（3）分两种情况：
①如图4，过点P作PG⊥AC于G，延长PE交QM于N，
∵QN⊥AC，
∴∠NQG＝∠PGQ＝∠ENM＝90°，
∴四边形PGQN是矩形，
∴QG＝PN，PG＝QN＝t2，
Rt△AGP中，AP＝t，PG＝t，
∴AG＝t，
∴QG＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，
∵直线MQ将▱PQCE的面积分成1：3两部分，
∴＝＝，
∴QM＝t，
∴MN＝t＝MQ，
∵∠CMQ＝∠EMN，∠MCQ＝∠MEN，
∴△MCQ≌△MEN（ASA），
∴EN＝CQ＝2t，
∵PN＝QG，即2t+2t＝10﹣t，
解得：t＝；
②如图5，过点P作PG⊥AC于G，
∵直线MQ将▱PQCE的面积分成1：3两部分，
∴＝＝，
∴PM＝t，
同理得：QG＝PM，即10﹣t＝t，
∴t＝，
综上，t的值是或．
24．已知函数y＝（a为常数）．
（1）当a＝﹣1时，
①求此函数的最小值．
②点P（b，4）在此函数图象上，求b的值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（0，﹣3），B（，﹣3），若此函数的图象与线段AB只有一个公共点时，求a的取值范围．
（3）当此函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5时，直接写出a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣1时，函数为y＝，①分别求出两段函数的最小值即可求函数的最小值；②将P（b，4）分别代入两段函数即可求b的值；
（2）先由A、B点的坐标，可确定需要研究线段AB与函数y＝x2﹣2ax﹣2的交点问题，由于函数过定点（0，﹣2），分两种情况：①当y＝x2﹣2ax﹣2与y＝﹣3相切时，由判
别式Δ＝0，可得a＝1时y＝x2﹣2ax﹣2与线段AB有一个交点；②当x＝，y＜﹣3时，求得a＞；
（3）要求函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5，只需求在x轴下方的函数图象与y＝﹣5有两个交点即可，分两种情况：a＞0时，﹣2﹣a2＜﹣5，可求a＞；当a ＜0时，﹣4﹣a2＜﹣5，求得a＜﹣1．
解：（1）当a＝﹣1时，函数为y＝，
①当x≥0时，当x＝0时有最小值为﹣2；
当x＜0时，当x＝﹣1时有最小值﹣5；
∴此函数的最小值为﹣5；
②将P（b，4）代入y＝x2+2x﹣2得，4＝b2+2b﹣2，
解得b＝﹣1+（舍）；
将P（b，4）代入y＝x2+2x﹣4得，4＝b2+2b﹣4，
解得b＝﹣4或b＝2（舍）；
∴b的值为﹣1+或﹣4；
（2）∵A（0，﹣3），B（，﹣3），
∴线段AB与x轴平行，
∵线段AB与函数有一个交点，
∴x＞0，
∴y＝x2﹣2ax﹣2与线段AB有一个交点，
∵y＝x2﹣2ax﹣2过定点（0，﹣2），
①当y＝x2﹣2ax﹣2与y＝﹣3相切时，x2﹣2ax﹣2＝﹣3，
∴x2﹣2ax+1＝0，Δ＝0即a＝±1，
当a＝﹣1时，交点为（﹣1，﹣3）不符合，
当a＝1时，交点为（1，﹣3）符合，
∴a＝1时y＝x2﹣2ax﹣2与线段AB有一个交点；
②当x＝，y＜﹣3时，即﹣3a﹣2＜﹣3，
∴a＞，
此时y＝x2﹣2ax﹣2与线段AB有一个交点；
综上所述：a＝1或a＞时函数与线段AB有一个交点；
（3）∵当x＝0时，
当a＞0时，如图1，
x≥0时，y的最小值为﹣2﹣a2，
x＜0时，y的最小值为﹣4，
∵函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5，
∴在x轴下方的函数图象与y＝﹣5有两个交点即可，
∴﹣2﹣a2＜﹣5，
∴a＞或a＜﹣，
∴a＞；
当a＜0时，如图2，
x≥0时，y的最小值为﹣2，
x＜0时，y的最小值为﹣4﹣a2，
∵函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5，
∴在x轴下方的函数图象与y＝﹣5有两个交点即可，
∴﹣4﹣a2＜﹣5，
∴a＞1或a＜﹣1，
∴a＜﹣1；
综上所述：函数图象上有且只有4个点到x轴的距离等于5时，a＜﹣1或a＞．。