20212021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线学案北师大版选修11

§2抛_物_线
2．1 抛物线及其标准方程
[对应学生用书P21]
抛物线的定义
如右图，咱们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条
拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在
C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉
笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？
提示：线段DA的长．
问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？
提示：线段DC的长．
问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？
提示：相等．
抛物线的概念
定
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线义
焦点定点F
准线定直线l
抛物线的标准方程
已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的进程中，由建系的不同，有以下点和直线．
A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；
l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．
提示：y 2
＝12x . 向右．
问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2
＝－12x . 向左．
问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．
问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．
抛物线的标准方程
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
y 2＝2px (p ＞0)
⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p
2
y 2＝－2px (p ＞0)
⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2
x 2＝2py (p ＞0)
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2
x 2＝－2py (p ＞0)
⎝
⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 2
1．平面内与必然点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，不然点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．
2．抛物线的标准方程有四种形式，极点都在座标原点，核心在座标轴上．
[对应学生用书P23]
求抛物线的焦点坐标和准线方程
[例1] (1)y ＝14x 2
；
(2)x ＝ay 2
(a ≠0)．
[思路点拨] 首先按照抛物线的方程肯定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出核心坐标和准线方程．
[精解详析] (1)抛物线y ＝14
x 2的标准形式为x 2
＝4y ，
∴p ＝2，∴核心坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2
＝1a
x ，
∴2p ＝
1|a |
. ①当a >0时，p 2＝1
4a
，抛物线开口向右，
∴核心坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ； ②当a <0时，p 2＝－1
4a
，抛物线开口向左，
∴核心坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .
综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2
的核心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0
时，开口向右；a <0时，开口向左．
[一点通]
1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、核心位置，准确地求出p 值．
2．抛物线y 2
＝2ax (a ≠0)的核心坐标⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a
2，没必要讨论a 的正负．
1．抛物线x 2
＝8y 的核心坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)
D ．(－4,0)
解析：由抛物线的方程为x 2
＝8y 知，抛物线的核心在y 轴上，所以2p ＝8，p
2＝2，所以
焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A
2．(北京高考)若抛物线y 2
＝2px 的核心坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．
解析：因为抛物线y 2＝2px 的核心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p
2，抛物线y 2
＝2px
的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.
答案：2 x ＝－1
求抛物线的标准方程
[例2] 求知足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；
(2)核心在直线x －2y －4＝0上；
(3)已知抛物线核心在y 轴上，焦点到准线的距离为3.
[思路点拨] 肯定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．
[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2
＝－2p 1x (p 1>0)或x 2
＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)，
∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94
.
故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2
＝92y .
(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的核心为(4,0)或(0，－2)． 当核心为(4,0)时，p
2＝4，
∴p ＝8，此时抛物线方程y 2
＝16x ； 当核心为(0，－2)时，p
2＝|－2|，
∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2
＝16x 或x 2
＝－8y .
(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2
＝2py (p >0)或x 2
＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2
＝6y 或x 2
＝－6y .
[一点通]
求抛物线标准方程的方式有：
(1)概念法，求出核心到准线的距离p ，写出方程．
(2)待定系数法，若已知抛物线的核心位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不肯定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2
＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2
＝ay (a ≠0)．
3．(陕西高考)设拋物线的极点在原点，准线方程为x ＝－2，则拋物线的方程是( )
A ．y 2
＝－8x B ．y 2
＝8x C ．y 2
＝－4x
D ．y 2
＝4x
解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为核心在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2
＝2px ＝8x .
答案：B
4．抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到核心的距离是6，则抛物线的方程是________．
解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为极点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2
＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2
＝－4x .
答案：y 2
＝－4x
5．已知核心在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
解：由题意，设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p
2.
∵A 到核心的距离为5，∴A 到准线的距离也是5， 即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－p 2＝5，解得p ＝4.
故所求的抛物线标准方程为y 2
＝8x .
抛物线标准方程的实际应用
[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．
[思路点拨] 可先成立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．
[精解详析] 成立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，
当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2
＝－3y . 已知集装箱的宽为3 m ，
当x ＝32时，y ＝－3
4
，而桥高为5 m ，
所以5－34＝41
4>4.
故卡车可通过此隧道． [一点通]
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．在成立抛物线的标准方程时，以抛物线的极点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴成立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．
6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( )
A ．x 2
＝－256y
B ．x 2
＝－2512y
C ．x 2
＝－365
y
D ．x 2
＝－2524
y
解析：成立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，则P (5，－6)在抛物线上．
∴25＝－2p (－6)，∴p ＝25
12.
∴抛物线方程为x 2
＝－256y .
答案：A
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，成立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)．
依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2
＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标别离为－6，－2,2,6.
由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2
＝－25y ，得y B ＝－425.
∴|AB |＝4－4
25
＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
1．肯定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确按时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如核心在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2
＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2
＝2my (m ≠0)．
2．求抛物线标准方程的方式：
特别注意在设标准方程时，若核心位置不肯定，要分类讨论．
[对应课时跟踪训练七]
1．抛物线y ＝－18x 2
的核心坐标是( )
A ．(0，－4)
B ．(0，－2)
C ．(－1
2
，0)
D ．(－1
32
，0)
解析：抛物线方程可化成x 2
＝－8y ，所以核心坐标为(0，－2)，故选B. 答案：B
2．若抛物线y 2
＝2px 的核心与椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．6
D ．8
解析：∵a 2
＝6，b 2＝2， ∴c 2
＝a 2
－b 2＝4，c ＝2.
椭圆的右核心为(2,0)，∴p
2＝2，p ＝4.
答案：A
3．抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18
C ．8
D ．－8
解析：由y ＝ax 2，得x 2
＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.
答案：B
4．若动圆与圆(x －2)2
＋y 2
＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A ．y 2
＝8x B ．y 2
＝－8x C ．y 2＝4x
D ．y 2
＝－4x
解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的概念知y 2
＝8x .
答案：A
5．抛物线y 2
＝2px 过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．
解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p
2＝
52
. 答案：52
6．已知点P (6，y )在抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线核心F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．
解析：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p
2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P
到核心F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p
2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的
距离等于4.
答案：4
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求核心在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)已知抛物线方程为2x 2
＋5y ＝0，求其核心和准线方程． (3)已知抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其核心坐标及准线方程．
解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为核心的抛物线方程别离为y 2
＝－10x ，x 2
＝20y .
其对应准线方程别离是x ＝5
2
，y ＝－5.
(2)抛物线方程即为x 2
＝－52y ，核心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.
(3)抛物线方程即为x 2
＝1m y (m ≠0)，核心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .
8.如图，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的核心为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于
y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线方程；
(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2
＝2px 的准线为x ＝－p
2，
于是，4＋p
2＝5，p ＝2.
所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝4
3.
因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3
4.
则FA 的方程为y ＝4
3
(x －1)，
MN 的方程为y ＝－3
4
x ＋2.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4
3
x －1，y ＝－3
4x ＋2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝85，y ＝4
5.
所以N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45.
2．2 抛物线的简单性质
[对应学生用书P25]
太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典
型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部份绕其对称轴旋转一周形成的
曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射
后，反射光线都通过抛物线的核心，这就是太阳能灶把光能转化为热
能的理论依据．
问题1：抛物线有几个核心？
提示：一个．
问题2：抛物线的极点与椭圆有什么不同？
提示：椭圆有四个极点，抛物线只有一个极点．
问题3：抛物线有对称中心吗？
提示：没有．
问题4：抛物线有对称轴吗？如有对称轴，有几条？
提示：有；1条．
抛物线的简单性质
类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图像
性质
焦点F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
p
2
，0F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，
p
2
F
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
0，－
p
2准线x＝－
p
2
x＝
p
2
y＝－
p
2
y＝
p
2
范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴
顶点O(0,0)
离心率e＝1
开口方向向左向上向下
向右
通径 过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P 1，P 2，线段P 1P 2叫抛物线的通径，长度|P 1P 2|＝2p
1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个极点、一个核心、一条准线； 3．抛物线的离心率是肯定的，e ＝1；
4．抛物线的核心和准线别离在极点的双侧，且它们到极点的距离相等，均为p
2
.
[对应学生用书P25]
利用抛物线性质求标准方程
[例1] 已知抛物线的极点在座标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2
＋y 2
＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．
[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.
[精解详析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2
＝2px (p >0)或y 2
＝－2px (p >0)，
设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝2 3.
由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2
＋y 2
＝4得x ＝±1，
∴点(1，3)，(－1，3)别离在抛物线y 2
＝2px ，y 2
＝－2px 上． ∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝3
2.
故所求抛物线的方程为y 2
＝3x 或y 2
＝－3x . [一点通]
由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是肯定抛物线的核心位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：
1．极点在原点，对称轴是y 轴，而且顶点与核心的距离等于3的抛物线的标准方程为( )
A ．x 2
＝±3y B ．y 2
＝±6x C ．x 2＝±12y
D ．x 2
＝±6y
解析：由极点与核心的距离等于3，所以p
2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物
线标准方程为x 2
＝±12y .
答案：C
2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为极点且过A ，B 的抛物线方程是( )
A ．y 2
＝
3
6x B ．y 2
＝－36x C ．y 2＝±
3
6
x D ．y 2
＝±
33
x 解析：当抛物线核心在x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12. 设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2
＝
3
6
x ， 同理，当抛物线的核心在x 轴负半轴上时，方程为y 2
＝－3
6
x . 答案：C
3．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角极点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．
解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－1
2
x .
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝2px ，y ＝2x 得三角形的一极点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，p ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝2px ，y ＝－1
2x 得三角形的另一个极点为(8p ，－4p )，
由已知，得⎝ ⎛
⎭⎪⎫8p －p 22
＋(－4p －p )2＝(213)2
.
解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2
＝85
x .
抛物线的定义及性质的应用
[例2] 若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，求动点M 的轨迹方程．
[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．
[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．
由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．
按照抛物线的概念，点M 的轨迹是以F (4,0)为核心的抛物线，且p
2＝4，即p ＝8.
因为核心在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2
＝16x . [一点通]
由于抛物线上的点到核心距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到核心距离转化为到准线距离处置．即：若p (x 0，y 0)是抛物线y 2
＝2px 上任意一点，则p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p
2
(称为焦半径)．
4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，则点P 轨迹方程为________．
解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为核心的抛物线，方程为x 2
＝－4y .
答案：x 2
＝－4y
5．已知抛物线y 2
＝2x 的核心是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．
解：将x ＝3代入抛物线方程
y 2＝2x ，得y ＝± 6.
∵6>2，∴A 在抛物线内部．
设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1
2的距离为d ，
由概念知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，
由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为7
2，
设P (x 0，y 0)，则y 0＝2， ∴x 0＝2.
故P 点坐标为(2,2).
与焦点弦有关的问题
[例3] 已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，直线l 过抛物线核心F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0与抛物线交于A ，B 两
点．
求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
[思路点拨] 解答本题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．
[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标别离为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则中点
M ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p .
设圆心M 到准线x ＝－p
2的距离为d ， 则d ＝
x 1＋x 22＋p 2
＝x 1＋x 2＋p
2
，
∴d ＝|AB |2
，
即圆心到准线x ＝－p
2的距离等于圆的半径．
∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
[一点通]
1．涉及抛物线的焦半径、核心弦长问题可以优先考虑利用概念将点到核心的距离转化为点到准线的距离．
2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB 是抛物线y 2
＝2px (p >0)过核心F 的一条弦，则①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2
.
6．过抛物线y 2
＝4x 的核心作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
解析：如图，∵y 2＝4x ， ∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线概念知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝
x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
7．(江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2
＝4y 的核心为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：如图，直线MF 的方程为x 2＋y
1
＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线
MF 的倾斜角为α，则tan α＝－12
.由抛物线的概念得|MF |＝|MQ |.所
以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝sin α＝15
. 答案：C
1．抛物线y 2
＝2px 上的点P (x 0，y 0)到核心F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p
2.
2．若过抛物线y 2
＝2px 的核心的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .
3．解决与核心弦有关的问题：一是注意运用核心弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意核心弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．
[对应课时跟踪训练八]
1．设抛物线的极点在原点，核心F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，则k 的值为( )
A ．4
B ．－2
C ．4或－4
D ．2或－2
解析：由题意知抛物线方程可设为x 2
＝－2py (p ＞0)，则p
2＋2＝4，
∴p ＝4，∴x 2
＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C
2．已知F 是抛物线y 2
＝x 的核心，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段
AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.3
4 B ．1 C.54
D.74
解析：按照抛物线概念与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1
2(|AF |＋
|BF |)－14＝32－14＝5
4
.
答案：C
3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的核心，P 为C 上的一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得
x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝4
2×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝1
2
×2×26＝2 3.
答案：C
4．设抛物线y 2
＝8x 的核心为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若是直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析：由抛物线的概念得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°.
△PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4
cos 60°
＝8.
答案：B
5．极点在原点，核心在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y 2
＝2ax ，则F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2，0.
∴|y |＝
2a ×a
2
＝a 2
＝|a |.
由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2
＝±6x . 答案：y 2
＝±6x
6．对于极点在原点的抛物线，给出下列条件： ①核心在y 轴上； ②核心在x 轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到核心的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过核心的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y 2
＝10x 的必要条件是________(要求填写适合条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的核心在x 轴上，所以②适合．
又∵它的核心坐标为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也适合．
而①显然不适合，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤
7．已知抛物线关于x 轴对称，它的极点在座标原点O ，而且通过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线核心的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．
解：设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，则核心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p
2.
∵M 在抛物线上，
∴M 到核心的距离等于到准线的距离，即 ∴
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－p 22＋y 20＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋p 22＝3.
解得：p ＝1，y 0＝±22， ∴抛物线方程为y 2
＝2x .
∴点M (2，±22)，按照两点间距离公式有： |OM |＝22
＋±22
2
＝2 3.
8．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2
＝8x 交于A ，B 两点． (1)若|AB |＝10，求实数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值． 解：由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋m ，y 2
＝8x
得x 2＋(2m －8)x ＋m 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2
，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＋m 2
＝8m .
(1)因为|AB |＝1＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝7
16
.
(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2
＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。