二次函数的应用

二次函数的应用
题型一 几何型
【例1】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，AC 与DE 在同一直线
上，开始时C 与D 重合，ABC 沿这条直线向右平移，直到A 与E 重合为止．设CD 的长为x ，
ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
【例2】如图，在ABC 中，90,12,24B AB mm BC mm ∠===，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以
2/mm s 的速度移动（不与点B 重合），点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4/mm s 的速度移动
（不与点C 重合）．如果,P Q 分别从,A B 同时出发，那么经过 秒，四边形APQC 的面积最小．
【例3】如图，在矩形ABCD 中，()0,8AB m m BC =>=，
E 为线段BC 上的动点（不与,B C 重合）．连结DE ，作E
F DE ⊥，EF 与射线BA 交于点F ，设,CE x BF y ==． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若8m =，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12
y m
=
，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
【例4】小张要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围
成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式；
（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
题型二 图象型
【例5】从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h 与小球运动时间t 之间的关系式为2
305h t t =-，
那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 ．
【例6】某种火箭竖直向上发射时，它的高度()h m 与时间()t s 的关系可以用公式2
515010
h t t =-++表示，则经过______s ，火箭达到它的最高点．
【例7】如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子
的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．
【例8】如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，
如果要求水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1米，且水流着地点C 距离水枪底部B 的距离为2.5米，那么水流的最高点距离地面是多少米？
A
P
D
C
B
【例9】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动
员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？
（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？
【例10】如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路
线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30，83OA 米． （1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 ．
M
A D
C B O
y
x
42
1
题型三 实际型
【例11】儿童商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决
定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为()2040y x x =+>． （1）求M 型服装的进价；
（2）求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润的最大值．
【例12】随着南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植
花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）．
（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；
（2）若这位园林专业户投资8万元种植花卉和树木，他至少获得多少利润？至多获得多少利润？。