2016年中考数学复习专题21 特殊的平行四边形

专题21 特殊的平行四边形
知识点名师点晴
矩形
1．矩形的性质
会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用
演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定
会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否
是矩形
菱形
1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度
2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题
正方形
1．正方形的性
质
了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关
系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题
2．正方形判定
掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判
定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特
殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己
的猜想进行证明
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形．
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【答案】D．
考点：1．正方形的判定;2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（2015连云港)已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；
故选B．
考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．
3．(2015徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28,则OE的长等于（）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE
是△ABD的中位线，∴OE=1 2
AB=
1
2×7=3.5．故选A．
考点：菱形的性质．
4．(2015柳州）如图,G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点,且AG=CE，AE⊥EF,AE=EF，现有如下结论：①BE=
1
2GE；②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（)
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B．
考点：1．全等三角形的判定与性质;2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．
5．（2015内江)如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．3B．23C．26D．6
【答案】B．
考点：1．轴对称—最短路线问题;2．最值问题；3．正方形的性质．
6．（2015南充)如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD
长之比为( )
A ．1：2
B ．1:3
C ．1：2
D ．1：3
【答案】D ． 【解析】
试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴BE=
22AB AE -=1(cm),∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，
∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22AB OA -=3(cm ），∴BD=2OB=23cm,∴AC ：BD=1：
3．故选D ．
考点：菱形的性质．
7．(2015安徽省)如图,矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上,点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是( ) A ．25 B ．35 C ．5 D ．6
【答案】C ．
考点：1．菱形的性质;2．矩形的性质．
8．（2015十堰）如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB，AD上,若CE=
5 3,且
∠ECF=45°,则CF的长为（)
A．10
2B．5
3C
5
10
3D
10
5
3【答案】A．
考点:1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理;3．正方形的性质;4．综合题；5．压轴题．9．(2015鄂州)在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）
A．
2014 2
1
）
（
B．
2015 2
1
）
（
C．
2015 3
3
）
（
D．
2014 3
3
）
（
【答案】D．
考点:1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．
10．(2015广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．
【答案】93．【解析】
试题分析：连接AC，BD，相交于点
O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中
点，∴EH=1
2BD=FG,EH∥BD∥FG，EF=
1
2AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形,∵菱形
ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形,∠
ABC=60°，∴∠
ABO=30°,∵AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴AO=1
2AB=3，∴AC=6,在Rt△AOB
中，由勾股定理得：OB=
22
AB OA
-=33，∴BD=63，∵EH=
1
2BD，EF=
1
2AC,∴
EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为:93．
考点：1．中点四边形;2．菱形的性质．
11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2,0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点,E（0，﹣1），当EP+BP最短时,点P的坐标为．
【答案】(233
-，23）．
的交点，∴点P的坐标为方程组
3
3
(13)1 y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=+-
⎩的解，解方程组得：
233
23
x
y
⎧=-
⎪
⎨
=-
⎪⎩,所以点P的坐标为（233
-，23
-），故答案为:(233
-，23
-）．
考点:1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称—最短路线问题；4．动点型;5．压轴题；6．综合题．
12．（2015潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0)，点B的坐标为（0,3），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0。

5个单位长度的速度移动,移动到第2015秒时,点P的坐标为．
【答案】（0.5，
3
．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质;3．规律型；4．综合题．
13．(2015北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O，点E 在DC边的延长线上．若∠CAE=15°,则AE= ．
【答案】8．
【解析】
试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°,∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°，∠E=30°,∴AE=2AD=8．故答案为：8．
考点:1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．
14．（2015南宁)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．
【答案】45°．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．
15．（2015玉林防城港)如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
【答案】9
2．
【解析】
试题分析:如图1所示，作E 关于BC 的对称点E′，点
A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小,∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ ∥AE′，D 是
AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=1
2AE′=2;CQ=DC ﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′,∴△BE′P ∽△AE′A′,∴'''BP BE AA AE =，即16
4BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-
=3
2，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ ﹣1
2CQ•CP ﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．
考点：1．轴对称—最短路线问题；2．正方形的性质．
16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上,图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为
1
S 、
2
S 、
3
S 、…
n
S ，则
n
S 的
值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．
【答案】23
2n-．
故答案为：23
2n-．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质;3．规律型；4．综合题．17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律,则A2014A2015= ．
【答案】
2014
2(3)．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质;3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证:HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．
【答案】（1）证明见试题解析；(2
1010
3
【解析】
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
(1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
【答案】(1)证明见试题解析；（2)证明见试题解析．
【解析】
试题分析：(1）由ABCD、BEFG均为正方形,得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE,得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；
（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
试题解析:（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE，∴∠ABG=∠CBE,在△ABG和△CBE中,∵AB=CB,∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS）,∴AG=CE；
(2）如图所示:∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE,∵∠ABC=90°,∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．
考点：1．全等三角形的判定与性质;2．正方形的性质．
20．（2015武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12,高AD长为8．
（1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF 交AD于点K．
①求EF
AK的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
(2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
【答案】（1
）①3
2；②
3
(8)
2
S x x
=-
, S的最大值是24；（2)
24
5或
240
49．
试题解析:(1）①∵EF∥BC，∴
AK EF
AD BC
=
，∴
EF BC
AK AD
=
=
12
8=
3
2，即
EF
AK的值是
3
2；
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质;5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．
21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
(3）如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时,连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由．
【答案】（1)证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．
【解析】
试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；
(2）由△ABP≌△CBP,得到∠BAP=∠BCP,进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3)借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质;3．菱形的性质；4．探究型;5．综合题；6．压轴题．
【2014年题组】
1．（2014·宜宾）如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2,…An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是（)
A．n B．n﹣1 C．
（1
4）n﹣
1
D．
1
4n
【答案】B．【解析】
试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的1
4，即是
1
4×4=1,5个这样的正
方形重叠部分（阴影部分）的面积和为:1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×(n﹣1）=n﹣1．
故选B．
考点:1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．
2．(2014·山东省淄博市)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点,且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）
A． 1 B．2C．3D． 2
【答案】C．
考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．
3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD,BC 上，连接BE,DF,EF，BD．若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC，则边BC的长为(）
A． 23
B．
3 3C．63D 93 2
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形,∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，
∠ABE=∠EBO,∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,∴BE=
23
cos30
BO
=
︒，
∴BF=BE=23,∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．
考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．
4．（2014·广西来宾市)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】B．
考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．
5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中,F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC
于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，
BE=3,AE=26，则MF
的长是（）
A．15B．
15
10C．1 D．
15
15
【答案】D．
考点：1．相似三角形的判定与性质;2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．
6．（2014·襄阳）如图,在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=1
3AB，将
矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵AE=1
3AB，∴BE=2AE．
由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=1
2（180°﹣
∠AEP)=1
2（180°﹣60°)=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．
∴EF=2BE．故①正确．
∵BE=PE，∴EF=2PE．
∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．
由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ,EF=2BE．
∴FQ=3EQ．故③错误．
由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．
∴△PBF是等边三角形．故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选D．
考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．
考点:1．菱形的性质；2．勾股定理．
8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF,AF交BE与G点,交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．
求证:△EBC≌△FDA．
【答案】证明见解析．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．
9．（2014·梅州）如图,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上,且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】(1)证明见解析；(2）GE=BE+GD成立，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF．（2)由（1)得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
试题解析：(1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF （SAS)．∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．理由是：
考点:1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．
☞考点归纳
归纳1：矩形
基础知识归纳：
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2)矩形的四个角都是直角
（3)矩形的对角线相等
(4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2）定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
基本方法归纳:关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）
A、30°
B、60°
C、90°
D、120°
【答案】B．
考点：矩形的性质．
归纳2：菱形
基础知识归纳：
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（)．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．
【答案】B．
考点：菱形的性质．
归纳3:正方形
基础知识归纳：
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发,甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是(）
A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙
【答案】B．
考点：正方形的性质．
☞1年模拟
1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确,而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．
考点：1．菱形的判定与性质;2．平行四边形的判定与性质．
2．(2015届广东省广州市中考模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，∠ACB=30°,则∠AOB的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】B．
考点：矩形的性质．
3．(2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高,将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（)
A．0.7 B．0。

9 C．22−2 D
2 2
【答案】C．
【解析】
试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：BE=2，由题意得：△ABE≌△AB1E,∴∠BAB1=2∠
BAE=90°,BE=B1E=2，∴BB1=22,B1C=22—2，∵四边形ABCD为菱形,∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°,∴∠CB1F=45°，CF=B1F,∵CF∥AB，∴△CFB1∽△
BAB1，∴
1
1
B C
CF
AB BB
=
，解得:CF=2—2,∴△AEB1、△CFB1的面积分别
为:1
221
2
⨯⨯=
，
2
1
(22)322
2
⨯-=-
,∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积
=1(322)222
--=-．故选C．
考点：1．菱形的性质;2．翻折变换（折叠问题)．
4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）
A．（
-2
，2）B．（2，-2) C．（2,—2）D．（3，—3）
【答案】B．
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．
5．(2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC
上，且AE=1
3AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交
EF于点Q,对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（)
A．①②B．②③C．①③D．①④
【答案】D．
综上所述，结论正确的是①④．故选D．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．
6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法,你认为其中错误的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B．
考点：正方形的判定．
7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模)如图，在矩形ABCD 中，
AB=3
,AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．
324π-．
考点:1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．
8．（2015届河北省中考模拟二)如图，在矩形ABCD中，AB=3,⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．
【答案】6—33．
【解析】
试题分析：过O点作
GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE
⊥BH,∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴
BG=BE=3,∵∠HBG=30°，∴GH=3，BH=23,设OG=OE=x，则EH=23-3，OH=3-x,在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（23-3）2+x2=（3-x)2，解得x=6—33，∴⊙O的半径为6-33．故答案为:6—33．
考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．
9．（2015届山东省日照市中考一模)边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．
【答案】1 4．
考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D 在CG上，BC=1,CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．
【答案】5．
考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．
11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG,求证:四边形CBEG是正方形．
【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；(2）证明见解析．
【解析】
考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．
12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点,且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
(2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
【答案】（1)见解析（25
3 2
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．
试题解析：（1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点,∴AE=CE=1
2BC．
同理，
AF=CF=
1
2AD．
∴AF=CE．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴平行四边形AECF是菱形．
考点:1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．
13．（2015
届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中,AD=6，若OA、
OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1)求sin∠ABC的值;
(2）若E为x轴上的点，且S△AOE=16
3，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE
与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1)4
5．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1(3，8）；F2(—3，0);F3（4
75
1
-
，7
22
-
），
F4（—42
25，
44
25）．
【解析】 试题分析：（1)求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度,根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值；
(2）易得到点D 的坐标为（6，4),还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标,把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形;
（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：(1）解x2—7x+12=0,得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB
中，由勾股定理有AB=2
2
5OA OB +=，∴sin ∠ABC=
54
OA AB =
；
(3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB
上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0)； ②AC 、AF 是邻边,点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；
③AC 是对角线时,做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=—43x+4,直线L 过（3
2，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为—1），L 解析式为y=34x+78,联立直线L
与直线AB 求交点，
∴F （4751-
，722
-
）；
④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线,垂足为N ，根据等积法求出CN=24
5，勾股定理得
出
,AN=7
5,做A关于N的对称点即为F
，AF=
14
5，过F做y轴垂线,垂足为G，FG=
14
5×3
5=
42
25，∴F(-
42
25,
44
25）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）;F2（—3，0）；F3（4
75
1
-
,7
22
-
），F4（-
42
25，44
25）．
考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程—因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型;8．探究型．14．(2015届河北省中考模拟二）如图,已知正方形ABCD,E是AB延长线上一点，F是DC 延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线,交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1)求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）证明见解析．(2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
考点：1．正方形的性质;2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．
15．(2015届广东省广州市中考模拟)如图，在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD
绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．
【答案】
3
3 42
π
+-
．
【解析】
试题分析：连接
CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°,∵∠C′AB′=30°，∴A、
D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3,∴扇形ACC′
2
30(3)
3604
ππ
⨯⨯
=
．∵
AC=AC′,AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，
CD BC
ACO AC D
COD C OB
''
=
⎧
⎪''
∠=∠
⎨
⎪''
∠=∠
⎩，∴△OCD′≌△OC′B
（AAS），∴OB=OD′,CO=C′O．∵∠CBC′=60°,∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1,∴在Rt△BOC′中，BO2+(1-BO）2=（3—1)2，解得
BO=
31
22
-
,
33
22
C O'=-
，∴
考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。