推导自然数立方和公式两种方法

推导自然数立方和公式两种方法
推导213)1(21+=∑=n n k n k 的两种方法
通化市第一中学校刘天云邮编 134001
方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6
112++=
∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4
1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++=
++n k n n n n k k k 1
)3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n
k n k n k n k k k k k k k 1
1121323)]2)(1([
)1(2
12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21??
+=n n 另外：∑=+++=
++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4
1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n
)(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4
1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导
构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / ……
我们用两种方法研究前n 群的所有数的和.
1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2
1+n n 项，而且该项为 11)1(2
122)1(21
-+=-+?=+n n n n a n n
那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2
1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21
+-=-??
+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2
1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n
k k 13.
2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2
)1(21+n n 因此：2
13)1(21+=∑=n n k n k。