自动控制原理第二章数学模型精选全文完整版

第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
基本要求
§ 2-1 引言 § 2-2 系统微分方程的建立 § 2-3 非线性微分方程的线性化 § 2-4 传递函数 (Transfer Function) § 2-6 典型环节及其传递函数 § 2-7 系统的动态结构图 § 2-8 信号流图和梅逊公式
Ea —
基尔霍夫
电枢反电势： Ea ke
— 楞次定律
电磁力矩： M D kmia
— 安培定律
力矩平衡：
d
J dt M D M L
— 牛顿定律
其中 ke (V/rad/s)为反电势系数， km (N •rad/s)为电磁转矩
系数。
消去中间变量 ia , Mm , Ea 可得：
La J
d 2 (t)
di(t ) ur (t) L dt Ri(t) uc (t)
i(t) C duc (t) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
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力-电压相似量
机械 电气
阻尼 f 电阻 R
力 F 电压 U
dt 2 Ra J
d(t)
dt
k m ke (t )
kmua (t)
La
dM L (t) dt
RaM L (t)
在工程应用中，由于电枢电感La很小，通常忽略不计。则：
Tm
d(t)
dt
(t)
K1ua (t)
K2M L (t)
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1)的微分方程标准化
m K
d 2 y(t) dt 2
f K
dy(t) dt
y(t)
1 K
F (t)
(2 1)
令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 1) 可写成
)
Y
(s)
1 s
1
Y (s) s(s2 a1s a2 )
L-1变换 yt L1 Y (s)
§2.4传递函数（Transfer Function ）
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
可得
y
df dx
x0 x kx
，
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2），
则在平衡点处可展成
y
f (x1, x2 )
f
(x10 ,
x20
)
[f
(x10 , x1
x20 )
( x1
x10
)
f
(x10 , x2
x20 )
( x2
x20
)]
1 2 [
2!
f
(x10 , x12
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，
对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及 误差传递函数的概念。
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第二章 控制系统的数学模型
§2.1 引言
§2.1.1 系统数学模型的建模原则
• 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。
• 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以 及内部各中间变量之间关系的数学表达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
x20
)
( x1
x10
)2
2
f
(x10 , x20 x1x2
)
(x
x 10
)(x
x20
)
2
f
(x10 , x22
x20
)
( x2
x20 )2
]
y f x1
( x10 , x20 )
x1
f x2
x ( x10 ,x20 ) 2
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析
• 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 • 通讯卫星 看成 质点 。
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§2.1.2 系统数学模型的特点
（3）动态模型 描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
（4）静态模型 在静态条件下，描述变量之间关系的代
数方程。
§2.1 引言
§2.1.3 数学模型的类型
时域中，有微分方程、差分方程和状态方程 复数域中，有传递函数、结构图； 频域中，有频率特性。
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解：分析质量块m受力，有
外力F, 弹簧恢复力 Ky(t)
阻尼力 f dy(t)
F(t)
k
dt
由牛顿第二定律有
dy(t) dy2 (t) F (t) Ky(t) f dt m dt2
M y(t) f
化简可得：
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
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§2.2系统微分方程的建立
§ 2.2.2 机械系统举例
例2.1 设有一弹簧•质量
• 阻尼动力系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时， F(t)
系统将产生运动，试写
Hale Waihona Puke 出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。
M
其中弹簧的弹性系数为k，
阻尼器的阻尼系数为f，
f
质量块的质量为m。
k y(t)
各类数学模型都有一套相应的分析方法，各有所长。 微分方程是基础，其他模型都是从微分方程导出的。但求解 高阶微分方程比较复杂。
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§2.2系统微分方程的建立
§2.2.1列写微分方程的一般步骤
基本步骤： 明确输入量、输出量和中间变量，建立物理模型。 做出合乎实际的假设，简化问题。 列出各部分原始方程，建立输入、输出量的动态联系。 消去中间变量。 标准化微分方程。
（2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。
（3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
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§2.2系统微分方程的建立
§2.2.5 电枢控制直流电动机举例
2.2.3 非线性元件微分方程的线性化
具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统）
一个变量的非线性函数 y=f(x)
在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
y f (x) f (x0) f ' (x0)(x x0) 1 f '' (x0)(x x0)2 2!
第二章 控制系统的数学模型
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉
氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
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第二章 控制系统的数学模型
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的 方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和 用梅森公式求传递函数的方法。
§2.4传递函数（Transfer Function ）
§2.4.1线性常系数微分方程的求解
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插入p40 例2-7
L f nt snFs
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2
对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
作业1 试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、
10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10 时z值所产生的误差。
解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点
x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.
求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达
弹性系数 质量
K
m
电感
1/C
L
• 机械系统和电路系统具有相同的数学模型，故这些物理系 统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
• 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 • 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械
系统......提供了方便。 • 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行
dt 2
dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 c，2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
然有，当
r(t) ＋r1(t) 时r2 (，t) 必存在解
为 c(t) c1(t) c2 (t) ，即为可叠加性。
§2.3 非线性微分方程的线性化
b z y
xx0 x0 6
y y0
z=11x+6y=55+60-66=49
因此，误差为50-49=1，表示成百分数510 2%
§2.3 非线性微分方程的线性化
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。
例: 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t)
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§2.1 引言 §2.1.2 系统数学模型的特点
（1）相似性 任何类型的系统都可具有相同的数学模型。
（2）简化性和准确性 同一物理系统，数学模型不是唯一的。由于精度和应用
条件的不同，可以用不同复杂程度的数学模型来表达。
• 这是因为任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作 出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元 件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要 根据问题的性质和求解的精度要求，来确定出合理的物理模 型。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
(1)对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近 似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时 （相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为线性放大 特性，如图中虚线所示。
式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略
其高阶项，则有
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11)
z z0 a(x x0 ) b( y y0 ) z=11x+6y-66
当x=5,y=10时，z的精确值为
a z x
xx0 y0 11
y y0
z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为
研究。
§2.2系统微分方程的建立
§2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征
线性定常系统微分方程的一般形式
a0
d nc dt n
a1
d n1c dt n1
an1
dc dt
c
b0
d mr dt m
b1
d m1r dt m1
bm1
dr dt
br
（1）方程的系数 ai ( i 0,1 ,n )、bj ( j 0,1, m为) 实常数。
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§2.1 引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。
解析方法适用于简单、典型、常见的系统， 而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实 际上常常是把这两种方法结合起来建立数学 模型更为有效。
T 2 d 2 y(t) 2 T dy(t) y(t) kF (t)
dt 2
dt
(2 2)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶
线性定常微分方程。
§2.2系统微分方程的建立
§2.2.3电路系统举例 • 例2.3 列写如图所示RLC网络的微分方程。
(2)平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
§2.3 非线性微分方程的线性化
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A 附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒 级数展开，由数学关系可知，当 x 很小时，可用A
处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线 性化。
例2.4 求如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。要求取电枢
电压ua(t)(V)为输入量，电动机转速 (t)(rad/s)为输出量，列写
微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，
ML (N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
电枢回路：ua
La
dia dt
Ria
d
2 c(t ) dt 2
dc(t) dt
c(t)
r(t
)
若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应 之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若
干倍，这就是叠加原理。