陕西省西安市高新第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

2017— 2018学年第一学期期中考试
2020届高一年级数学试题
满分：120分时间：120分钟
、选择题： （本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1下列函数中与函数
y =x 是同一个函数的是（
）.
选项A :
匸“律; -X, x ：: 0
选项B :
2
的定义域为fx|X=0?； X
选项C : 3 _3
y =• x =x ；
选项D : y=(・.x)2
的定义域为［0,=).
故选B . 故选A .
3.已知集合 A 满足AlH1,2,3U1,2,3,4?，则集合A 的个数为( ).
A . 2
B . 4
C . 8
D . 16
【答案】C
2 .若一次函数y =kx 在R 上是增函数，则 k 的范围为（
B . k > 0
C . k :: 0
【答案】A
A . y =（ X ）
2
B . y =(3
x )3
2
X
y = X
【解析】解: y =x 的定义域为R ，对应法则是 函数值与自变
).
【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数 f (x) = kx b 在R 上是减函数， k . 0 .
【解析】解：••• “NSlUA ・1,2,3,4?,
••• A = ；4 ,(1,4：S 「2,4?, (3,4 /, [1,2,4?,厲3,4?,「2,3,4? ,「1,2,3,4?, 则集合A的个数为8 .故选B .
2
4•函数f(x)二一仝在［-2,0］上的最大值与最小值之差为( ).
x -1
C.
【答案】B
【解析】解：••• f(x)=log2X在区间［2,2 a］上为单调增函数,
由题可得：
1 Iog2(2a) -log?
2 =
•- log2 2a二丄,
2 2
• a = 2 ,
点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法:
(1 )直接利用基本初等函数的单调性.
(2 )利用定义判断函数的单调性.
(3)求导得函数单调性.
故选B .
5.如图是①y =x a:②y =x b:③y =x c，在第一象限的图像，则 a , b , c的大小关系为( ).
A. a b c B . a ::b -c C. b ::c - a D . a ： c . b
【答案】D
【解析】解:
6•已知函数f（x）=x2—kx_8在［1,4］上单调，则实数k的取值范围为（）•
A • ［2,8］
B • ［-8,-2］C. （-：,-8］U［—2, ：：）D • （-：,2］U［8,：：）【答案】D
2 k
【解析】解：二次函数f（x）=2x2 -kx -8的对称轴为X =上,
4
•••函数f （x） =2x2 -kx-8在区间［1,2］上不单调，
k
••• 1 ::：k：：:2，得4 :：: k ：：:8 •
4
故选B •
7.已知函数f（x）是奇函数，在（0,；）上是减函数，且在区间［a,b］（a ：：：b ：：：0）上的值域为［-3,4］，则在区间［_b,_a］上（）•
A .有最大值4
B .有最小值-4 C.有最大值-3 D .有最小值-3
【答案】B
【解析】解：由于f（x）是奇函数，在（0,；）上是减函数，则f（x）在（-二,0）上也是减函数，在区间［a,b］（a ：：：b ：：： 0）上的最小值为-3，最大值为4 ,
由于区间［七，-a］与［a,b］对称，则可知f （x）在［4, £］上最大值为3，最小值为-4 .
借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示:
&设a=0.60.6, b=0.61.5, c=1.50.6，则 a , b , c 的大小关系是( ).
A. a :::b :::c B . a ::: c ::: b C. b ::: a --： c D . b .. c ■■■： a 【答案】C
【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。

设 f (x) =0.6x，g(x) =1.5x，
因为0.6 <1,故f(x)在R上单调递减,
又因为当x 0时，f(x) ：：:1，
所以0.61.5 =：:0.6°'5：：:1，
因为1.5 1，故g(x)在R上单调递增，
又因为当x °时，g(x) 1，
所以 1.5°6 1，
所以 b ::: a ::: c.
故选C .
1,x °
9.设R，定义符号函数sgnx二°,x=°，则( ).
—1,x ：：°
A . x=-x|sgnx|
B . x = -xsgn|x| C. |x|=|x|sgnx D . |x|=xsgnx 【答案】D
【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质。

x,x 0
已知|x|二0,x =0 ，故AB 项错误;
_x, x ::: 0 J x,x .0
|x|sgnx = 0,x =0，故 C 项错误；
X,X £0
D 项正确.
故选D .
10.若在定义域内存在实数 x)，满足，则称f(x)为 有点奇函数”，若f(x)=4x -m2“ + m 2-3为定义
域R 上的 有点奇函数”，则实数m 的取值范围是(
).
A . 1 - 3 < m w 13
B . 1 - 3 < m < 2.2
C . -2 2 w m w 2 2
D . -2 2 w m w 1 - ：3
【答案】D
【解析】解：根据 局部奇函数”的定义可以知道，函数 f(-x)二—f(x)有解即可， 即 f (「x) =4 -m2 公1 m 2 _3 = -(4x _m2x 1 m 2 _3), ••• 4x 4^ -2m(2x 2») 2m 2 -6 =0 ,
即(2x 2j —2m , (2x 2 ») 2m 2 -8 =0有解即可， 设 t =2—2」，则 t =2x 2' > 2 ,
•方程等价为t 2 -2m , t ，2m 2-8=0在t > 2时有解，
设 g(t) =t -2m , t 2m -8,
(1 )若 m > 2，则厶=4m 2 -4(2m 2 -8) > 0 , 即 m 2 w 8 . • -2 2 w m w 2 2，此时 2 w m w 2 2 .
(2 )右m ・：2，要使t _2m , t 2m - 8 = 0 ,在t 》2时有解，
m ：：：2
对称轴x 二
-2 m
2 =m .
则f(2) w 0 ,
.：> 0
m ：：：2
I 匸厂
即 1 _ ..3 w m w 1.3 ,
-2 .3 w m w 2 3
计算得出1 -.3w m w 2 ,
综上：1 _ 3 w m w 2 2 .
故选D .
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
2x(x> 4)
11•若函数f(x) ，则f［f(3)］= _________ .
込+1(x £4)
【答案】16
2x(x> 4)
【解析】解：•••函数f(x) = (x 4),
x +1(x c4)
••• f (3) =3 1 =4 ,
4
• f［f (3)］=f (4) =2 =16.
12•设函数y=j4 -x2的定义域为A，函数y=l n(1—x)的定义域为B，贝U C R B= __________
【答案】［21)
【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质.
2 由4 -X > 0得A 二［-2,2］，由1 -x 0得B =(-：：,1),
所以A^B 二［-2,1).
13. ________________________________________________________ 方程2x +3x=k的解都在［1,2］内，则k的取值范围为___________________________________________________ .
【答案】5
【解析】解：令函数f(x) =2x 3x -k ,
则f (x)在R 上是增函数.
当方程2x 3x 二k 的解在(1,2)内时,f (1)-f(2) ,Q , 即(5 _k)(10_k) ：：：0 , 解得 5 :：: k <10. 当 f(1)=0 时，k =5 .
1 _ x
14. 已知函数f(x)=log a 二 (a 0且a -1)有下列四个结论:
1 +x ① 恒过定点； ② f (x)是奇函数；
③ 当a .1时，f(x) ：：：0的解集为fx|x d ； ④
若 m ，n 三(_1,1)，那么 f (m)亠 f (n) = f
其中正确的结论是 ___________ .(请将所有正确结论的序号都填在横线上) 【答案】①④
【解析】解：① y =a x2的图像可由y =a x 的图像向左平移 2个单位得到，①正确; ② y =2x 与y =log 2X 互为反函数，所以的图像关于直线
y 二x 对称，②错误;
2x 1
③ 由 Iog 5(2x 1) =log 5(x 2 -2)，得 x 2 -2 0
,
2
2x 1=x -2
x ~ -1 x =3 ④
设f (x) =ln(1 x) -1 n( 1 -x)，定义域为(-1,1)，关于原点对称，
f (—X )=1 n(1 —x) -ln(1 x) - -[ln(1
x) — In(1 —x)] - - f (x),
所以f (x)是奇函数，④正确，故正确的结论是①④.
即x 、….2 x < - 2，计算得出
x =3，所以③错误;
m n
1 mn
三、解答题：(本大题共5小题，共44分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分8分)
(2) 2(lg 2)2 lg .2 Ig5 ,(lg —2)2：lg2—1 •
【答案】见解析.
1 2 1 1 (lg2) lg2 lg5 1 lg2 2 2 2 =hg2(lg2 Ig5) 1」lg2 2 2
=1.
16 •（本小题满分8分）
已知函数f （x ）二1 , a 为常数，且函数的图像过点
（-1,2）.
丘丿 （1 ）求a 的值.
（2 ）若g （x ） =4」-2，且g （x ） =f （x ），求满足条件的x 的值. 【答案】见解析.
求下列各式的值: 2
【解析】解: （1）原式二3； ⑴丿
卩 -
I -(3)-x (34) 4 +i
1
33 3 10 1
-10
3
3 =0 • 10 3 3
J(lg2)2 )g2 2 2
（2）原式事如 罰2 ©5 , ；©2 Ig2 1
【解析】
解: （1 ）由已知得 a =1 .
(2 )由(1 )知 f(x)=
C l 'X
令-
-，则 t 2 -t —2 =0，即(t _2)(t 1) =0 ,
又t .0,故t =2，即- I 2丿
满足条件的x 的值为_1. =2，计算得出x = 一1 ,
17.(本小题满分8分)
已知集合 A -、(x,y) | y = _x 2 mx _1f , B - ;(x, y) | y =3 _x,0 < x < 3?. (1 )当 m =4，求 A 「|B . (2 )若A 「| B 是只有一个元素的集合，求实数 m 的取值范围.
【答案】见解析.
【解析】解：(1)两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组. (2)
方程, 要使Ar )B 是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去 y 或x 后整理出一元二次 当判别式等于 0时，对称轴需在［0,3］内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在 ［0,3］内. 解析:
(1 ) ' 2
y =夕亠4x T y =3 -x = 0 w x w 3 x =1 , 八2 所以 A^B 」(1,2)?. -|~y - -x 2 mx -1 2
(2 )' 消去y 整理可得x 2 -(1 m)x ^0 ,因为
A D
B 是只有一个元素的集合， 即此 $ =3 _x
方程在［0,3］只有一个根， ■ 2
4：.=(1m) -16=0 . “ 、2 (1 m) -16 0 所以 1 m 或 ' ' , 0 w 〒
w 3 lf(0)f(3) w 0
18.(本小题满分10分) 定义：已知函数f (x)在［m,n ］(m ：：：n)上的最小值t ,若t w m 恒成立，则称函数f (x)在［m, n ］(m ：：： n)上具 有GX ”性质.
(1 )判断函数f(x)=x2 -2x 2在［1,2］上是否具有’GX ”性质？说明理由.
(2 )若f(x) =x2 -ax 2在［a,a 1］上具有GX ”性质，求a的取值范围.
【答案】见解析.
【解析】解(1)T f(x) =x2 _2x • 2 , x ［1,2］,
二f(X)min _：1三1,
•••函数f (x)在［1,2］上具有GX ”性质.
(2 ) f (x) =x2-ax - 2x • ［a,a 1］，其对称轴为x=-.
2
①当a w a 即a > 0 时，f (x)min =f (a)二a2 -a2• 2 =2 ,
2
若函数f (x)具有GX”性质，则有2 w a总成立，即a> 2 .
②当 a :::-:：:a 1 时，即-2 :：:a :：:0时，f (x)min 二f 旦 - • 2 ,
2 I2丿4
2
若函数f(x)具有Gx ”性质，则有一冬2 w a总成立，计算得出：a・..
4
③当a> a 1 时，即a w -2 时，f(x)min 二f(a，1)=a 3 ,
2
若函数f (x)具有GX ”性质，则有a 3w a，计算得出：a ...
综上所述：若函数f(x)在［a,a 1］上具有GX ”性质，则有a > 2 .
19.(本小题满分10分)
已知函数 f (x) =3-2log 2 x , g(x)=log2x .
(1 )当[1,4]时，求函数h(x) =[f (x) 1] g(x)的值域.
k的取值范围.
(2 )如果对任意的[1,4]，不等式f(x2) f C x) k g(x)恒成立，求实数
【答案】见解析.
【解析】解：(1) h(x) =(4 — 2log2X)log2X - -2(log2X -1)2 2 ,
因为[1,4],
所以log2^ [0,2],
故函数h(x)的值域为[0,2].
(2 )由f(x2)讦(匚)k g(x)得(3 —4log 2X)(3 — log z x) k log2X ,
令t =log2 x , 因为x • [1,4],
所以 t =log 2 x[0,2],
所以(3 _4t)(3 _t) k t 对一切的t. [0,2 ]恒成立，
1 当 t =0 时，k • R ,
2 当 t [0,2]时，k ：：(
3 -4t)(3 7 恒成立，即 k ：：：4t 15 ,
t
t 因为4t ，9> 12，当且仅当4t =9，即t=3时取等号， t t 2
所以4t 9 -15的最小值为-3. t
综上，k • (_：：,；).
附加题:
1. (本小题满分8分)
— — x ：：；'2017 若定义在(-：：,1)U (1,；)上的函数 f(x)满足 f(x) 2f - —— =2017-x ,贝y f(2019 = I x —1 丿
【答案】见解析.
=1 时，由 f (x 1) 2f x 2013 *025 -x ,
I x /
得：f (2)
2 f (2014) =4025 -1 =4024 ①,
得：f (2014) 2 f (2) =4025 -2013 =2012 ②, ① 2 -②得 3f (2014) =4024 2 -2012 =3 2012 , 则 f (2014) =2012 ,
因此，本题正确答案是： 2012 .
2. (本小题满分12分)
设 f (x) =|lg x |, a 、b 为实数，且 0 ：： a ：：： b ，若 a ,
系，并证明在这一关系中存在 b 满足3 ::: b .4 .
【答案】见解析.
【解析】解：(1 )由f (x) =1得，lg x = 1 ,当 x =2013时，由 f (x 1) 2f x 2013 = 4025 —x ,
【解析】解：当 b 满足 f(a) = f(b)=2f
试写出a 与b 的关
所以x =10或丄.
10
(2 )结合函数图像，由f(a)=f(b)，可判断a. (0,1) , bw(1,;),
从而_lg a =lgb，从而ab =1,
1
b
又 a b _ —
2 2 ，因为b三(1), 所以.1 ,
2
从而由f(b)=2f乎,
可得lg b =2lg 宁=9 ，
a b
(3 )由 b =
I 2丿
2 2 1 2 1 2
得4b =a b 2ab , — b 2 -4b =0 ,令g(b) 2 b 2-4b ,
b b
因为g(3) :：:0 , g(4) 0，根据零点存在性定理可知，
函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即方程A，b2，2-4b =0存在3 :: b 4的根.
b。