2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+六十二圆锥曲线的范围问题

核心素养测评六十二
圆锥曲线的范围问题
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知点(1,2)是双曲线-=1 (a>b>0)上一点,则其离心率的取值范围为
( ) A.(1, ) B.
C.(,+∞)
D.
【解析】选C.由已知得-=1,
所以=b2+4,e===>,所以e>.
2.已知A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0),且满足MA⊥MB,则·的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.A,B为椭圆+=1上的两个动点,M(-1,0)为其左焦点. MA⊥MB,则有·=0.
·=·(-)=.
设A(x,y),则y2=3(1-).
=(x+1)2+y2=(x+1)2+3(1-)=x2+2x+4=(x+4)2.
由x∈[-2,2],得=(x+4)2∈[1,9].
3.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围为
( ) A. B.
C. D.
【解析】选C.由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA、PB,则两切线形成的角为∠APB,若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直,则只需∠APB≤90°,即α=∠APO≤45°,所以sin α=≤sin 45°=,解得a2≤2c2,所以e2≥,即e≥.而0<e<1,所以≤e<1.
4.已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.[1,+∞)
C.(2-2,+∞)
D.[2-2,+∞)
【解析】选D.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k
≠0),代入y2=4x可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1·x2=1.由抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AF|-=x1+1-= ===.令
x2-1=t(t≥1),则x2=t+1,所以|AF|-= =≥===2-2(当且仅当t=时等号成立);当直线l 的斜率不存在时,易得|AF|-=1.
综上,|AF|-的取值范围为[2-2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得=2,则双曲线C的离心率的取值范围是________.
【解析】设P,
则+y2=4,
化简得+y2=c2,所以点P在以点M为圆心,c为半径的圆上,又因为点P在双曲线的渐近线上,bx±ay=0,所以渐近线与
圆M有公共点,所以≤c,解得5b≤4c,即≤,所以双曲线离心率的取值范围是.
答案:
6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的取值范围为________.
【解析】由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),
则=3(-2≤x 0≤2).
·=x 0(x0+1)+=+x0+
=+x0+3=(x0+2)2+2.
因为-2≤x0≤2,所以当x0=-2时,·取得最小值,最小值为2,当x0=2时,·取得最大值,最大值为6.故·的取值范围为[2,6]. 答案:[2,6]
7.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点O的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则椭圆离心率的取值范围为________.
【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1,可得四边形AF1BF是矩形,所以|AO|=|OF|=|OB|=c.所以|AB|=2c.
又AF⊥BF,所以|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α.又因为|AF1|=|BF|,|AF1|+|AF|=2a.所以2csin α+2ccos α=2a.即==.因为α∈,
所以≤sin≤.
所以=≤≤=.
答案:
8.如图,已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称,则实数m的取值范围为________.
【解析】由题意知m≠0,可设直线AB的方程为
y=-x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M,
由消去y得x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①
则x1+x2=,y1+y2=,
将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-,②
由①②得m<-或m>.故实数m的取值范围为∪.
答案:∪
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|·|BQ|的取值范围. 【解析】(1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到准线的距离为10.
因为抛物线的准线为y=-,所以9+=10,
解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.
(2)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,
因为F(0,1),则l:y=kx+1.
设A,B,由消去y得,x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
由于抛物线C也是函数y=x2的图象,且y′=x,则PA:y-=x1(x-x1).
令y=0,解得x=x1,所以P,
从而|AP|=.同理可得|BQ|=,
所以|AP|·|BQ|=
=
=2.因为k 2≥0,所以|AP|·|BQ|的取值范围为[2,+∞).
10.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),.
(1)求C1,C2的标准方程.
(2)过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝
角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为+=1(a>b>0),
所以点(-2,0)一定在椭圆上,且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,
所以也在椭圆上,+=1,b2=1,故椭圆标准方程为+y2=1,
所以点(3,-2)、(4,-4)在抛物线上,且抛物线开口向右,设其方程为y2=2px(p>0),12=6p,p=2,
所以方程为y2=4x.
(2)①当直线l斜率不存在时,易知A,O,B三点共线,不符合题意.
②当l斜率存在时,设l:y=kx+2,A(x1,x2),
B(x2,y2),x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+1 2=0,
令Δ=(16k)2-48(4k2+1)>0,
256k2-192k2-48>0,64k2>48,k<-或k>,
=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)
=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=-+=,
令·=x1x2+y1y2=<0,
即4k2>16,k<-2或k>2.
综上:k<-2或k>2.
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