线性代数与解析几何——特征值与特征向量1
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就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例 设3阶方阵 A的特征值为1,1,2, 求 | A3A2E |.
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的极大线性无关
组．
对称性： (x, y) = (y, x)．
( x, y) x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 ( y, x)
xn yn yn xn
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 f (A) 和 B 的 多项式 f (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则
f (l1 )
f
(
A)
P 1
f
(L)P
P 1
f (l2 )
P
f
(ln
)
可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角矩阵）
?
AP = PL
n 阶矩阵 A 和对角矩阵相似 当且仅当
A 有 n 个线性无关的特征向量
Api = li pi (i = 1, 2, …, n)
A的 特征值
对应的 特征向量
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 相似于 B . 记为A～B . 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．
相似矩阵的性质
（1）自身性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
A
4
0
3 . 在复数范围内，求出使
2 3 0
P-1AP为对角矩阵的可逆矩阵P.
1 0 0 练习 讨论矩阵 A 0 2 1是否能对角化.
0 0 2 【解】 矩阵 A的特征多项式
l 1 0 0 |l E A| 0 l 2 1 (l 1)(l 2)2;
0 0 l2 特征值l1 1, l2 l3 2; r (E A) r (2E A) 2.
第五章 特征值与特征向 量
一、矩阵的特征值和特征向量 二、相似矩阵及矩阵可对角化的条件 三、实对称矩阵的对角化
§5.1 矩阵的特征值和特征向量
引言
矩阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ．
矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
为
cos sin
A
sin
cos
求在实数范围内， 取何值时有特征值？
练习
1.
求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足
l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ?
例：
3 2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零列向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
解 | A | l1l2l3 2, A 可逆,
A | A | A1 2A1
A 3A 2E 2A1 3A 2E
记
f (x) 2 3x 2
x
则 f (A) 的特征值为
f (1) 1, f (1) 3, f (2) 3
于是 | A 3A 2E | | f ( A) | (1) (3) 3 9
P −1 f(A) P = P −1 (cmAm + cm−1Am−1 + … + c1A + c0 E) P = cm P −1 Am P + cm−1P −1 A m−1 P + … + c1 P −1 A P + c0 P −1 EP = cmBm + cm−1Bm−1 + … + c1B + c0 E = f (B) .
是 p．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 f(A) 和 B 的 多项式 f (B) 相似．
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk . 设f (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
定理：如果n阶复系数矩阵A的特征多项式无重根，则A 可 对角化．
1 2 2
例：已知矩阵
A
2
1
2
.
问A能否对角化？在可对角的
2 2 1
情况下，求出使P-1AP为对角矩阵的可逆矩阵P.
0 2 1
例：已知矩阵
推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角矩阵相似．
其中
l1
A( p1, p2 ,
, pn ) ( p1, p2 ,
,
pn
)
l2
ln
定理： n 阶矩阵 A 和对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充 分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．
推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化．
证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是
| B −lE | = | P −1AP − P −1(lE) P | = | P −1(A−lE ) P | = | P −1| |A−lE | |P | = |A−lE | ．
性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则tr(A)=tr(B)且r(A)=r(B). 性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则AT~BT,且若A可逆, 则A*~B*.
性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则|A|=|B|.
证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是
| B | = | P −1AP | = | P −1||A| |P |= |A| ．
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2 = l3 = -1 ．
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
解（续）：当 l1 = 1 时，因为
4 4 0
A
l1 E
A
E
1
0
0
7 5 0
解方程组 (A - E) x = 0．
0
解得基础解系
p1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
示例
(x 1)[x (
2 2
2 2
i)][
x
(
2 2
2 2
i)]
[x
(
2 2
2 2
i)][
x
(
2 2
2 2
i)]
.
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
3 l 4 0
解： A l E 1
1l
3 l 0 (1 l )
4
1 1 l
7
5 1l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
例：
3
2
4 2 2
3
1
1
1
则
l
=
1
为
3 2
4 3
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm 各不相同，则
p1, p2, …, pm 线性无关．
推论：对应于不同特征值的特征向量线性无关.
§ 5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P 满足 B=P −1AP ，
特征多项式
| lE − A |
计算矩阵特征值和特征向量的方法
求出矩阵A的特征方程| lE − A |=0;
求出特征方程的所有根（计重），即A的全部特征根；
对于每一个特征值li，求出线性方程组(lE − A)X=0的非零 解，即对应于li的全部特征向量.
【代数学基本定理】 每个次数大于等于1的复系数 多项式在复数域内至少有一个根.
【定理 1】 每个次数大于等于1的复系数多项式 f ( x) xn an1 xn1 a 1x a 0
在复数域内都可分解成一次式的乘积, 即
f ( x) ( x z1)( x z2) ( x zn), 这里的z1, z2 , , zn为复数.
x5 x4 x 1 (x 1)(x 2 2x 1)(x 2 2x 1)
维向量
x
x2,yy2 Nhomakorabea,
xn
yn
令
n
( x, y) xyT x1 y1 xn yn xi yi
i 1
则称 (x, y)为向量 x 和 y 的内积．
说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． 这里及以下n维向量都指的是Rn 中的向量.
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (lE − A) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | lE − A | = 0
特 征 方 程
特
l a11
征 多
|lE
A |
a21
项
式
an1
a12
l a22
an2
a1n a2n 0
l ann
特征方程 f(l)=| lE − A| = 0
1
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
解（续）：当 l2 = l3 = -1 时，因为
2 4 0
A
E
1
2
0
7 5 2
解方程组 (A+E) x = 0．
4
解得基础解系
p2
2
19
k2 p2 就是对应的特征向量．
例：平面上旋转变换T0在单位向量组组成的基e1,e2下的矩阵
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
34
1
1 34
x1 x2
0 0
，即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
解得基础解系 p2
1
1
．k
p2（k
≠
0）就是对应的特征向量．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
n 阶矩阵 A 与其转置矩阵AT有相同的特征值。
方程组(E A)x 0, (2E A)x 0的基础解系 :
都仅有一个向量.
此方阵最多能找到 2 个线性无关的特征向量:
此方阵不能对角化.
习题5
作业
1(2)(4); 2(2), 3, 9(2)(4) 14(1)(3), 15
§5.3 实对称矩阵的对角化
Rn中向量的内积
x1
y1
定义：设有n
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例 设3阶方阵 A的特征值为1,1,2, 求 | A3A2E |.
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的极大线性无关
组．
对称性： (x, y) = (y, x)．
( x, y) x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 ( y, x)
xn yn yn xn
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 f (A) 和 B 的 多项式 f (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则
f (l1 )
f
(
A)
P 1
f
(L)P
P 1
f (l2 )
P
f
(ln
)
可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角矩阵）
?
AP = PL
n 阶矩阵 A 和对角矩阵相似 当且仅当
A 有 n 个线性无关的特征向量
Api = li pi (i = 1, 2, …, n)
A的 特征值
对应的 特征向量
则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 相似于 B . 记为A～B . 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．
相似矩阵的性质
（1）自身性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
A
4
0
3 . 在复数范围内，求出使
2 3 0
P-1AP为对角矩阵的可逆矩阵P.
1 0 0 练习 讨论矩阵 A 0 2 1是否能对角化.
0 0 2 【解】 矩阵 A的特征多项式
l 1 0 0 |l E A| 0 l 2 1 (l 1)(l 2)2;
0 0 l2 特征值l1 1, l2 l3 2; r (E A) r (2E A) 2.
第五章 特征值与特征向 量
一、矩阵的特征值和特征向量 二、相似矩阵及矩阵可对角化的条件 三、实对称矩阵的对角化
§5.1 矩阵的特征值和特征向量
引言
矩阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ．
矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
为
cos sin
A
sin
cos
求在实数范围内， 取何值时有特征值？
练习
1.
求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足
l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ?
例：
3 2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零列向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
解 | A | l1l2l3 2, A 可逆,
A | A | A1 2A1
A 3A 2E 2A1 3A 2E
记
f (x) 2 3x 2
x
则 f (A) 的特征值为
f (1) 1, f (1) 3, f (2) 3
于是 | A 3A 2E | | f ( A) | (1) (3) 3 9
P −1 f(A) P = P −1 (cmAm + cm−1Am−1 + … + c1A + c0 E) P = cm P −1 Am P + cm−1P −1 A m−1 P + … + c1 P −1 A P + c0 P −1 EP = cmBm + cm−1Bm−1 + … + c1B + c0 E = f (B) .
是 p．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 f(A) 和 B 的 多项式 f (B) 相似．
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk . 设f (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
定理：如果n阶复系数矩阵A的特征多项式无重根，则A 可 对角化．
1 2 2
例：已知矩阵
A
2
1
2
.
问A能否对角化？在可对角的
2 2 1
情况下，求出使P-1AP为对角矩阵的可逆矩阵P.
0 2 1
例：已知矩阵
推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角矩阵相似．
其中
l1
A( p1, p2 ,
, pn ) ( p1, p2 ,
,
pn
)
l2
ln
定理： n 阶矩阵 A 和对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充 分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．
推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化．
证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是
| B −lE | = | P −1AP − P −1(lE) P | = | P −1(A−lE ) P | = | P −1| |A−lE | |P | = |A−lE | ．
性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则tr(A)=tr(B)且r(A)=r(B). 性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则AT~BT,且若A可逆, 则A*~B*.
性质：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则|A|=|B|.
证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是
| B | = | P −1AP | = | P −1||A| |P |= |A| ．
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2 = l3 = -1 ．
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
解（续）：当 l1 = 1 时，因为
4 4 0
A
l1 E
A
E
1
0
0
7 5 0
解方程组 (A - E) x = 0．
0
解得基础解系
p1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
示例
(x 1)[x (
2 2
2 2
i)][
x
(
2 2
2 2
i)]
[x
(
2 2
2 2
i)][
x
(
2 2
2 2
i)]
.
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
3 l 4 0
解： A l E 1
1l
3 l 0 (1 l )
4
1 1 l
7
5 1l
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
例：
3
2
4 2 2
3
1
1
1
则
l
=
1
为
3 2
4 3
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm 各不相同，则
p1, p2, …, pm 线性无关．
推论：对应于不同特征值的特征向量线性无关.
§ 5.2 相似矩阵及矩阵可对角化的条件
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P 满足 B=P −1AP ，
特征多项式
| lE − A |
计算矩阵特征值和特征向量的方法
求出矩阵A的特征方程| lE − A |=0;
求出特征方程的所有根（计重），即A的全部特征根；
对于每一个特征值li，求出线性方程组(lE − A)X=0的非零 解，即对应于li的全部特征向量.
【代数学基本定理】 每个次数大于等于1的复系数 多项式在复数域内至少有一个根.
【定理 1】 每个次数大于等于1的复系数多项式 f ( x) xn an1 xn1 a 1x a 0
在复数域内都可分解成一次式的乘积, 即
f ( x) ( x z1)( x z2) ( x zn), 这里的z1, z2 , , zn为复数.
x5 x4 x 1 (x 1)(x 2 2x 1)(x 2 2x 1)
维向量
x
x2,yy2 Nhomakorabea,
xn
yn
令
n
( x, y) xyT x1 y1 xn yn xi yi
i 1
则称 (x, y)为向量 x 和 y 的内积．
说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． 这里及以下n维向量都指的是Rn 中的向量.
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (lE − A) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | lE − A | = 0
特 征 方 程
特
l a11
征 多
|lE
A |
a21
项
式
an1
a12
l a22
an2
a1n a2n 0
l ann
特征方程 f(l)=| lE − A| = 0
1
3 4 0
例：求矩阵
A
1
1
0
的特征值和特征向量．
7 5 1
解（续）：当 l2 = l3 = -1 时，因为
2 4 0
A
E
1
2
0
7 5 2
解方程组 (A+E) x = 0．
4
解得基础解系
p2
2
19
k2 p2 就是对应的特征向量．
例：平面上旋转变换T0在单位向量组组成的基e1,e2下的矩阵
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
34
1
1 34
x1 x2
0 0
，即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
解得基础解系 p2
1
1
．k
p2（k
≠
0）就是对应的特征向量．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
n 阶矩阵 A 与其转置矩阵AT有相同的特征值。
方程组(E A)x 0, (2E A)x 0的基础解系 :
都仅有一个向量.
此方阵最多能找到 2 个线性无关的特征向量:
此方阵不能对角化.
习题5
作业
1(2)(4); 2(2), 3, 9(2)(4) 14(1)(3), 15
§5.3 实对称矩阵的对角化
Rn中向量的内积
x1
y1
定义：设有n