【九年级数学试题】2018九年级数学上中秋作业(带答案和解释)
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【考点】相似形综合题．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）要证明点E是四边形ABcD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEc，所以问题得解．
（2）以cD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；
（3）由点E是矩形ABcD的AB边上的一个强相似点，得△AE∽△BcE∽△Ec，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BcE=∠BcD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，Bc边之间的数量关系，从而可求出AB与Bc边之间的数量关系．
∴，
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，在平行四边形ABcD中，过点B作BE⊥cD于E点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠c．
（1）求证△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条下，若AD=3，求BF的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据两角相等，即∠AFB=∠ADE和∠BAE=∠AED，证明△ABF∽△EAD；
（2）在Rt△ABE中，利用30°的余弦得AE的长；
（3）由相似得，代入可求得BF的长．
【解答】证明（1）∵四边形ABcD是平行四边形，
∴△ADc∽△AcB，
∴ADAc=AcAB，
∴Ac2=AB AD；
（2）ห้องสมุดไป่ตู้明∵E为AB的中点，
∴cE= AB=AE，
∴∠EAc=∠EcA，
∵∠DAc=∠cAB，
∴∠DAc=∠EcA，
∴cE∥AD；
（3）解∵cE∥AD，
∴△AFD∽△cFE，
∴ADcE=AFcF，
∵cE= AB，
∴cE=×6=3，
∵AD=4，
【解答】解（1）∵∠A=∠B=∠DEc=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠cEB=135°
∴∠ADE=∠cEB，
在△ADE和△BEc中，
，
∴△ADE∽△BEc，
∴点E是四边形ABcD的边AB上的相似点．
（2）如图所示点E是四边形ABcD的边AB上的强相似点，
（3）∵点E是四边形ABc的边AB上的一个强相似点，
16．阅读理解
如图①，在四边形ABcD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、Ec，可以把四边形ABcD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABcD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABcD的边AB上的“强相似点”．解决问题
∴AD∥Bc，
∴∠c+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠c，
∴∠BFE+∠ADE=180°，
∵∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠ADE，
∵AB∥Dc，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）∵四边形ABcD是平行四边形，
∴AB∥cD，
∵BE⊥Dc，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得cE= AB=AE，继而可证得∠DAc=∠EcA，得到cE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△cFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明∵Ac平分∠DAB，
∴∠DAc=∠cAB，
∵∠ADc=∠AcB=90°，
2018九年级数学上中秋作业（带答案和解释）
配方法．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出△的值，即可得出方程无解；
（3）移项，系数化成1，配方，即可得出答案．
【解答】解（1）x2﹣4x+3=0，
（x﹣3））（x﹣1）=0，
x﹣3=0，x﹣1=0，
x1=3，x2=1；
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEc=45°，试判断点E是否是四边形ABcD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABcD中，A、B、c、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABcD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABcD沿c折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABc的边AB上的一个强相似点，试探究AB与Bc的数量关系．
在Rt△ABE中，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴cs∠BAE=cs30°=，
∴AE= = =；
（3）∵△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
∴BF=．
【点评】本题是相似形的综合题，难度适中，考查了三角形相似的判定和性质，在相似的判定中，常运用平行和两角对应相等证明两三角形相似；再求线段的长时，可以利用勾股定理求，有时也会根据相似得比例式代入求解，也可以利用三角函数列式计算求得．
∴△AE∽△BcE∽△Ec，
∴∠BcE=∠Ec=∠AE．
由折叠可知△Ec≌△Dc，
∴∠Ec=∠Dc，cE=cD，
∴∠BcE=∠BcD=30°，
BE=，
在Rt△BcE中，tan∠BcE= =tan30°=，
∴．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
（2）（2x+1）2=3（2x﹣1），
整理得4x2﹣2x+4=0，
△=（﹣2）2﹣4×4×4＜0，
所以此方程无解；
（3）2x2﹣x+3=0，
2x2﹣x=﹣3，
x2﹣x=﹣，
x2﹣x+（）2=﹣+（）2，
（x﹣）2=﹣，
此方程无解．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
14．如图，四边形ABcD中，Ac平分∠DAB，∠ADc=∠AcB=90°，E为AB的中点，
（1）求证Ac2=AB AD；
（2）求证cE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由Ac平分∠DAB，∠ADc=∠AcB=90°，可证得△ADc∽△AcB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得Ac2=AB AD；
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）要证明点E是四边形ABcD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEc，所以问题得解．
（2）以cD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；
（3）由点E是矩形ABcD的AB边上的一个强相似点，得△AE∽△BcE∽△Ec，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BcE=∠BcD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，Bc边之间的数量关系，从而可求出AB与Bc边之间的数量关系．
∴，
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，在平行四边形ABcD中，过点B作BE⊥cD于E点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠c．
（1）求证△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）（2）的条下，若AD=3，求BF的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据两角相等，即∠AFB=∠ADE和∠BAE=∠AED，证明△ABF∽△EAD；
（2）在Rt△ABE中，利用30°的余弦得AE的长；
（3）由相似得，代入可求得BF的长．
【解答】证明（1）∵四边形ABcD是平行四边形，
∴△ADc∽△AcB，
∴ADAc=AcAB，
∴Ac2=AB AD；
（2）ห้องสมุดไป่ตู้明∵E为AB的中点，
∴cE= AB=AE，
∴∠EAc=∠EcA，
∵∠DAc=∠cAB，
∴∠DAc=∠EcA，
∴cE∥AD；
（3）解∵cE∥AD，
∴△AFD∽△cFE，
∴ADcE=AFcF，
∵cE= AB，
∴cE=×6=3，
∵AD=4，
【解答】解（1）∵∠A=∠B=∠DEc=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠cEB=135°
∴∠ADE=∠cEB，
在△ADE和△BEc中，
，
∴△ADE∽△BEc，
∴点E是四边形ABcD的边AB上的相似点．
（2）如图所示点E是四边形ABcD的边AB上的强相似点，
（3）∵点E是四边形ABc的边AB上的一个强相似点，
16．阅读理解
如图①，在四边形ABcD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、Ec，可以把四边形ABcD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABcD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABcD的边AB上的“强相似点”．解决问题
∴AD∥Bc，
∴∠c+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠c，
∴∠BFE+∠ADE=180°，
∵∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠ADE，
∵AB∥Dc，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）∵四边形ABcD是平行四边形，
∴AB∥cD，
∵BE⊥Dc，
∴BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得cE= AB=AE，继而可证得∠DAc=∠EcA，得到cE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△cFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明∵Ac平分∠DAB，
∴∠DAc=∠cAB，
∵∠ADc=∠AcB=90°，
2018九年级数学上中秋作业（带答案和解释）
配方法．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出△的值，即可得出方程无解；
（3）移项，系数化成1，配方，即可得出答案．
【解答】解（1）x2﹣4x+3=0，
（x﹣3））（x﹣1）=0，
x﹣3=0，x﹣1=0，
x1=3，x2=1；
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEc=45°，试判断点E是否是四边形ABcD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABcD中，A、B、c、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABcD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABcD沿c折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABc的边AB上的一个强相似点，试探究AB与Bc的数量关系．
在Rt△ABE中，
∵AB=4，∠BAE=30°，
∴cs∠BAE=cs30°=，
∴AE= = =；
（3）∵△ABF∽△EAD，
∴，
∴，
∴BF=．
【点评】本题是相似形的综合题，难度适中，考查了三角形相似的判定和性质，在相似的判定中，常运用平行和两角对应相等证明两三角形相似；再求线段的长时，可以利用勾股定理求，有时也会根据相似得比例式代入求解，也可以利用三角函数列式计算求得．
∴△AE∽△BcE∽△Ec，
∴∠BcE=∠Ec=∠AE．
由折叠可知△Ec≌△Dc，
∴∠Ec=∠Dc，cE=cD，
∴∠BcE=∠BcD=30°，
BE=，
在Rt△BcE中，tan∠BcE= =tan30°=，
∴．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
（2）（2x+1）2=3（2x﹣1），
整理得4x2﹣2x+4=0，
△=（﹣2）2﹣4×4×4＜0，
所以此方程无解；
（3）2x2﹣x+3=0，
2x2﹣x=﹣3，
x2﹣x=﹣，
x2﹣x+（）2=﹣+（）2，
（x﹣）2=﹣，
此方程无解．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
14．如图，四边形ABcD中，Ac平分∠DAB，∠ADc=∠AcB=90°，E为AB的中点，
（1）求证Ac2=AB AD；
（2）求证cE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由Ac平分∠DAB，∠ADc=∠AcB=90°，可证得△ADc∽△AcB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得Ac2=AB AD；