高中数学平面向量多选题专项训练专题复习含答案(5)

高中数学平面向量多选题专项训练专题复习含答案(5)
一、平面向量多选题1．题目文件丢失！
2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c
=-，
ABC S =△b = ）
A ．1cos 2
B = B ．cos B =
C ．a c +=
D ．a c +=答案：AD
【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】
∵，
整理可得：，
可得，
∵A 为三角形内角，，
∴，故A 正确
解析：AD
【分析】 利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B b C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c +=
【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b B C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==，
∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2
B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈，
∴3B π
=，
∵4ABC S =
△，且3b =，
11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =， 由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ）
A ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
答案：AD
【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
设，则，
当点P 靠近点时，，
则，
解得，
所以，
当点P 靠近点时，，
则，
解得，
所以，
故选：
解析：AD
【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解.
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，1212
PP PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
， 解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
， 解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
故选：AD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．在ABC
中，AB =1AC =，6B π=
，则角A 的可能取值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．2
π 答案：AD
【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.
【详解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以；
当时，，此时为直角三角形，所以.
【点睛】
本题考查余弦
解析：AD
【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可.
【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π
==；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =
2
π. 故选：AD
【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
5．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立
C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =3 答案：AB
【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．
【详解】
中，，由得，A 正确；
锐角三角形中，，∴，B 正确；
中，
解析：AB
【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．
【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确； ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ．
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
6．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()25,4a b +=
B ．2b =
C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b + 答案：AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量，，
则，故A 正确；
，故B 错误；
解析：AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
21cos ,21a b a b a b ⋅⨯<>===⋅+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；
由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 7．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．2a b += C ．2a b -= D ．,60a b =︒ 答案：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】 ，且,平方得，即，可得，故A 正确；
，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确；
由可得，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；
()
22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
8．下列命题中，结论正确的有（ ）
A ．00a ⨯=
B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若//AB C
D ，则A ､B ､C ､D 四点共线；
D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 答案：BD
【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；
【详解】
解：对于A ，，故A 错误；
对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；
对于C ，，则或与共线，故C 错误；
对于D ，在四边形中，若
解析：BD
【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；
【详解】
解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；
对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，
2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；
对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；
对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD
【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A ．()10,0e =，()21,1=e
B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，23
4,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
答案：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
10．下列命题中，正确的是（ ）
A ．在ABC ∆中，A
B >，sin sin A B ∴>
B ．在锐角AB
C ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形
D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形
答案：ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B π
π
>>->，可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π
∈，
2A B π
+>，∴022A B π
π
>>->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，
sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2
A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3) 答案：ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得
解析：ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；
当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．
∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．
故选:ABC .
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 答案：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.
故选：BC
【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.
13．下列命题中，正确的有（ ）
A ．向量A
B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、
C 、
D 必在同一条直线上
B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2
α
为第二或第四象限角 C ．函数1
cos 2
y x =+
是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形
答案：BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误
解析：BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角
2
α
的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数
1
cos 2
y x =+
的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；
对于B 选项，2sin sin tan 0cos α
ααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨
>⎩
， 则角α为第四象限角，如下图所示：
则
2
α
为第二或第四象限角，B 选项正确；
对于C 选项，作出函数1
cos 2
y x =+
的图象如下图所示：
由图象可知，函数1
cos 2
y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，
tan tan 1A B <，
()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B
π+--∴-=-===cos 0cos cos C
A B
=-
>，cos cos cos 0A B C ∴<，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同
答案：ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时
解析：ABD 【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于
第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-
故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题16．题目文件丢失！
17．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=︒，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A 13
+ B ．13C 23
+ D ．23
解析：B 【分析】
由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值. 【详解】
解：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b a c =+，
平方得22242a c b ac +=-，① 又ABC 的面积为3
2
，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac =
=⋅︒△13
42
ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-，
由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，
22241231226122
b b b ---===
⨯，
解得24b =+，
∴1b =+ 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 18．已知1a b ==，1
2
a b ⋅=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ）
A ．(
-∞ B ．)
+∞
C ．(
-∞
D ．)
+∞
解析：A 【分析】
不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化
为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】
1a b ==，12a b ⋅=
,易得,3
a b π
<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,
(.1),(,1)
1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=
因为a c b d T -+-≥恒成立，
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即
a b +与c d +共线反向时等号成立)
即求+()a b c d -+最小值.
+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -
三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，
∴ M .
又N 在直线方程为10x y +-=上运动，
∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值
此时M 到直线10x y +-=的距离32
2
MN
23
2T NM
故选：A 【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
19．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅=
B ．cos cos cos 0A OA B OB
C OC ⋅+⋅+⋅=
C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= 解析：C
利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到
AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到
::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定
理”得到答案. 【详解】
如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，
所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

因为四边形DOEC 的对角互补，所以AOB C π∠=-，
cos()cos OA OB OA OB C OA OB C π∴⋅=-=-．
同理，||cos OB OC OB OC A ∴⋅=-‖，
||cos OC OA OC OA B ∴⋅=-‖，
∴||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==‖． ∴
||cos ||||cos ||||cos ||||||||||||
OA OB C OB OC A OC OA B
OA OB OC OA OB OC OA OB OC ==‖‖‖‖，
::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=．
又11
sin()sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=
-= 11
sin()sin 22B S OA OC B OA OC B π=-= 11
sin()sin 22
C S OB OA C OB OA C π=
-= sin sin sin ::::A B C A B C S S S OA OB OC ∴=
=sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C
A B C A B C
=． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
20．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形
解析：D 【分析】
由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断． 【详解】
∵22:tan :tan a b A B =，
由正弦定理可得，2
2sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos A
A A A B
B B B B B A
B
===， ∵sin sin B 0A ≠，
∴
sin cos sin cos A B
B A
=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2
A B π
+=，即三角形为等腰或直角三角形，
故选D ． 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
21．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
-
B ．
316
C ．
12
D ．12
-
解析：A 【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出
λμ⋅的值.
【详解】
E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()
111
244
AE AO AC AB AD =
==+， ()
113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，1
4λ∴=，34
μ=-.
因此，133
4416
λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
22．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32AB AD - D ．
13
24
AB AD - 解析：D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：
DF AF AD =-，1=
2AF AE ，=AE AB BE +，1
=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】
利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，
E 为BC 的中点，
F 为AE 的中点，则1=
2AF AE ，1
=2
BE BC 1111
=
=()=+2224
DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+--
又
=BC AD
13
24
DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：
一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
23．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为 2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 解析：D 【分析】
过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出
21312
AM n n
n AB n n ==
--+，再根据AM mAB =可得231n m n =
-，整理可得213m n
+=，最后选出正确答案即可. 【详解】
如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得
1
AC AN n
=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得
12
BM ME =，所以21312
AM n n
n AB n n ==
--+，因为AM mAB =，所以231
n
m n =-， 整理可得
21
3m n
+=.
故选：D . 【点睛】
本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 24．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
解析：D 【分析】
由2
2
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：
1
sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴
1
sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15
cos 17
A =-
或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
解析：D
【分析】 作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．
【详解】
解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，
30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，
依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，
在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，
在Rt BSD ∆中，
sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
26．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）
A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心 解析：A
【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m CP a b CH =
+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；
【详解】
如图， sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()
m CP a b CH =+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.
27．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ）
A ．M
B ．N
C ．22
D ．1 解析：C
【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.
【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥， 所以()22++222M a b b c a c ==+=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤， 所以()2++2224N a b a b ab ==+=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为22（此时，a b =）；
故选：C.
【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 28．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
解析：B
【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.
【详解】 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.
故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.
29．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
解析：D
【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．
【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，
AB AC ∴=， 1cos ||||2
AB AC A AB AC ==， 3A π
∴∠=，
3B C A π
∴∠=∠=∠=，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
30．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 解析：C
【分析】
化简条件可得
sin 2
a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π∴=.
由正弦定理，得sin sin 2a A c C ==，
3
sin 4C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=，
则4A B C π
π=--=，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.。