安徽高三高中数学高考模拟带答案解析

安徽高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知为虚数单位，复数，为其共轭复数，则等于( )
A．B．C．D．
2.已知集合，，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( ) A．B．C．D．
3.已知等差数列中，，则( )
A．8B．21C．28D．35
4.在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，但其中在处数据丢失.按照规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分，用和分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )
A．B．
C．D．和之间的大小关系无法确定
5.右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为( )
A．2B．C．D．
6.在极坐标系中，圆:上到直线：距离为1的点的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
7.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若
，则等于( )
A．B．C．D．
8.数列共有5项，其中，，且，，则满足条件的不同数列的个数为( )
A．3B．4C．5D．6
9.已知点、，直线与线段相交，则的最小值为( ) A．B．C．D．
10.设，则、、的大小关系是( )
A．B．
C．D．
二、填空题
1.如果（为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为.
2.在中，分别为角的对边，若，且,则边等于.
3.在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的最大值为.
4.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为.
5.如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意
一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有.（填上所有正确结论的序号）
①设、，若，则；
②设，则；
③设、，若，则；
④设、，若，则；
⑤设、，若与的夹角，则.
三、解答题
1.已知向量，，函数，.
（1）求函数的图像的对称中心坐标；
（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解
析式并作出它在上的图像.
2.某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有、两个定点投篮位置，在点投中一球得2分，在点投中一球得3分.其规则是：按先后再的顺序投
篮.教师甲在和点投中的概率分别是，且在、两点投中与否相互独立.
（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；
（2）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.
3.已知函数，（）.
（1）若有最值，求实数的取值范围；
（2）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.
4.如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且
.
（1）求证：；
（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
5.已知椭圆的方程为,其中.
（1）求椭圆形状最圆时的方程；
（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.
6.已知数列满足，，()
（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.
安徽高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.已知为虚数单位，复数，为其共轭复数，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，选A.
【考点】1.共轭复数；2.复数的除法计算.
2.已知集合，，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】,则,阴影部分表示的集合为，选D.
【考点】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.
3.已知等差数列中，，则( )
A．8B．21C．28D．35
【答案】C
【解析】由得，所以，
，选C.
【考点】1.等差数列的性质；2.等差数列的前n项和.
4.在演讲比赛决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，但其中在处数据丢失.按照规则，甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分，用和分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )
A．B．
C．D．和之间的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】设图中甲、乙丢失的数据分别为，则，，∵，∴
,选B.
【考点】1.茎叶图；2.平均分.
5.右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为( )
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】多面体为四棱锥，利用割补法可得其体积，选D.
【考点】1.补体法；2.四棱锥的体积.
6.在极坐标系中，圆:上到直线：距离为1的点的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】直线的方程为，圆的方程为，圆心到直线的距离为1，故圆上有2个点到距离为1，选B.
【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离.
7.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若
，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设，由，得，.又，∴，∴，即，解得，选C.
【考点】椭圆和双曲线的标准方程和几何性质.
8.数列共有5项，其中，，且，，则满足条件的不同数列的个数为( ) A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】设，，则等于1或-1，
由，
知共有3个1，1个-1.这种组合共有个，选B.
【考点】排列组合.
9.已知点、，直线与线段相交，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知有，作出可行域，
令，则的最小值为点到直线
的距离，此时，
所以的最小值为，选B.
【考点】线性规划.
10.设，则、、的大小关系是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以函数为增函数，∴，∴，∴.又
，
∴，选A.
【考点】1.利用导数判断函数的单调性；2.比较大小.
二、填空题
1.如果（为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含项的系数为.
【答案】-5
【解析】∵的展开式所有项的系数和为，
∴，
∴，
其展开式中含项的系数为.
【考点】二项式定理.
2.在中，分别为角的对边，若，且,则边等于.
【答案】4
【解析】由及正、余弦定理知：，整理得，由联
立解得：.
【考点】正弦定理、余弦定理.
3.在如图所示的程序框图中，若输出的，则输入的的最大值为.
【答案】108
【解析】当输出的时，，设输入的值为,,且,解得.最大值为.
【考点】程序框图.
4.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为.
【答案】
【解析】函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根.∵，作函数的图象，如图所示，由图像可知应满足：，故.
【考点】1.函数图象；2.函数零点.
5.如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有.（填上所有正确结论的序号）
①设、，若，则；
②设，则；
③设、，若，则；
④设、，若，则；
⑤设、，若与的夹角，则.
【答案】①、③、⑤.
【解析】显然①正确；，∵，所以②错误；由得,所以，所以，故③正确；∵
，所以④错误；根据夹角公式
，又，
得，故，即，⑤正确
所以正确的是①、③、⑤.
【考点】向量的关系.
三、解答题
1.已知向量，，函数，.
（1）求函数的图像的对称中心坐标；
（2）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解
析式并作出它在上的图像.
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查向量的数量积、降幂公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式、函数的对称中心、函数图像的平移、三角函数的图像等基础知识，考查学生的画图能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先利用向量的数
量积得到的解析式，再利用降幂公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化简表达式，使之化简成
的形式，数形结合得到对称中心坐标；第二问，利用函数图像的平移法则：左＋右-，上
＋下-，利用五点作图法作出要求范围内的图像.
试题解析：（1）
4分
由于得：，所以.
所以的图像的对称中心坐标为 6分
（2）=，列表：
描点、连线得函数在上的图象如图所示：
12分
【考点】向量的数量积、降幂公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式、函数的对称中心、函数图像的平移、三角函数的图像.
2.某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有、两个定点投篮位置，在点投中一球得2分，在点投中一球得3分.其规则是：按先后再的顺序投
篮.教师甲在和点投中的概率分别是，且在、两点投中与否相互独立.
（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；
（2）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.
【答案】（1）分布列详见解析，；（2）.
【解析】本题主要考查独立事件、随机事件的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先分析出教师甲投篮得分的不同情况，利用独立事件的概率的计算公式
计算每一种情况的概率，列出分布列，利用求出数学期望；第二问，先分析出甲胜乙
的情况，包括甲得2分，3分，4分，5分，7分的情况，利用第一问的分布列的表格，第一种情况：甲得2分，
乙得0分；第二种情况：甲得3分，乙得0分或2分；第三种情况：：甲得4分，乙得0分或2分或3分；第四
种情况：甲得5分，乙得0分或2分或3分或4分；第五种情况：甲得7分，乙得0分或2分或3分或4分或5分，求出每一种情况的概率再相见得到所求结论.
试题解析：设“教师甲在点投中”的事件为，“教师甲在点投中”的事件为.
（1）根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7
，
6分
X 023457
所以X的分布列是：
8分
（2）教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.
这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为：
12分
【考点】独立事件、随机事件的分布列和数学期望.
3.已知函数，（）.
（1）若有最值，求实数的取值范围；
（2）当时，若存在、，使得曲线在与处的切线互相平行，求证：.
【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.
【解析】本题主要考查导数的计算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的最值、基本不等式等基础知识，考查分类讨论思想和转化思想，考查学生的计算能力、转化能力和逻辑推理能力.第一问，先对求导，再讨论方程的判别式，第一种情况，第二种情况且，第三种情况且，数形结合判断函数在定义域上是否有最值；第二问，由于在与处的切线互相平行，所以2个切线
的斜率相等，得到关系式，利用基本不等式和不等式的性质证明结论.
试题解析：（1），
由知，
①当时，，在上递增，无最值；
②当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值；
③当时，有一正根，在上递减，在
上递增；此时，有最小值；
所以，实数的范围为. 7分
（2）证明：依题意：，
由于，且，则有
. 12分
【考点】1.导数的计算；2.利用导数求曲线的切线方程；3.利用导数求函数的最值；4.基本不等式.
4.如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且
.
（1）求证：；
（2）若异面直线和所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.
【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，先利用面面垂直的性质得到线面垂直垂直于圆所在的平面，再利用线面垂直的性质得到，而在圆内AB为直径，所以，利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得到结论；第二问，利用向量法，先根据已知条件中的垂直关系建立空间直角坐标系，得到有关点及向量的坐标，利用向量法中的公式，求出平面DCE和平面AEB的法向量，再利用夹角公式求夹角的余弦值.
试题解析：（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴. 6分
(2)如图，
以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，
∴，∴，由题设可知，，∴，
.设平面的一个法向量为，
由，得，，取，得.
∴.又平面的一个法向量为，∴.
平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 13分
（其他解法可参考给分）
【考点】线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.
5.已知椭圆的方程为,其中.
（1）求椭圆形状最圆时的方程；
（2）若椭圆最圆时任意两条互相垂直的切线相交于点，证明：点在一个定圆上.
【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，根据椭圆的标准方程应满足的条件得:，且，则知椭圆的
长轴在y轴上，而椭圆形状最圆时e最小，则先得到e的表达式，再根据三角函数的有界性求表达式的最小值，
得到取得最小值时的的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出交点P的坐标，根据直线的斜率是否存在，分2种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于k的方程，由于两切线垂直，则，利用上述方程的两根之积得到的值，整理出方程形式，再验证当斜率不存在时P点坐标，得到最
终结论.
试题解析：（1）根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.
，当且仅当时取等号.
由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为. 5分
（2）设交点，过交点的直线与椭圆相切.
(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为. 6分
(2)当斜率存在且非零时，则设斜率为，则直线：，
与椭圆方程联立消，得：.
由相切，，
化简整理得.①
因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，
故，整理得：.
又也满足上式，
故点的轨迹方程为，即点在定圆上. 13分
【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、韦达定理.
6.已知数列满足，，()
（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.
【答案】（1）∪；（2）充要条件为.
【解析】本题主要考查数列的递推公式、数列的单调性、充要条件、数学归纳法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、逻辑推理能力.第一问，数列单调递增，将已知条件代入，得到所
满足条件，即需要满足的条件，即得到a的取值范围，第二问，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的递推公式得到与的关系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用数学归纳法证明.
试题解析：（1）若，则，
由，
得或，所以只需或.
所以实数的取值范围为∪. 6分
(2)对任意成立的充要条件为.必要性：由，解出；
（另解：假设，得，令，，可得：，
即有.） 8分
充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.
证明：（1）显然时，结论成立；
（2）假设时结论成立，即，
当时，.
考察函数，，
①若，由，知在区间上单调递增.由假设.
②若，对总有，
则由假设得.
所以，时，结论成立，
综上可知：当时，对一切，成立.
故对任意成立的充要条件是.
【考点】数列的递推公式、数列的单调性、充要条件、数学归纳法.。