【三维设计】2013高考数学总复习 课时跟踪检测19 三角函数图象与性质

课时跟踪检测(十九) 三角函数图象与性质
1．函数y ＝
cos x －1
2
的定义域为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π3 B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R
2．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数
3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的
一条对称轴方程是( )
A ．x ＝π12
B ．x ＝π
6
C ．x ＝5π12
D ．x ＝π3
4．(2012·某某高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递
减区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8
，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8
6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A.23
B.32 C ．2 D ．3 7．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π4－2x 的单调减区间为________．
8．已知函数f (x )＝5sin (ωx ＋2)满足条件f (x ＋3)＋f (x )＝0，则正数ω＝________. 9．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为
________．
10．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；
(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．
12．(2012·高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x
.
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．
1．(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π
4
是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π4
2．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．
3．(2012·某某模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，
－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．
[答 题 栏]
答 案
课时跟踪检测(十九)
A 级
1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π
3
，k ∈Z .
2．选D ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y
轴对称，为偶函数．
3．选C 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f (x )的对称轴为2x －
π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，所以x ＝5π
12
为f (x )的一条对称轴． 4．选A 当0≤x ≤9时，－
π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3≤1，所以函数
的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.
5．选C 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝－2，所以
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得
k π－
3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z . 6．选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上
取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为3
2
.
7．解析：由y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4得
2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
故k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )．
所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )
8．解析：f (x ＋3)＋f (x )＝0⇒f (x ＋6)＝f (x )，故f (x )以6为最小正周期，故2π
|ω|
＝6.又ω>0，∴ω＝π
3
.
答案：π3
9．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π
6(k ∈Z )．
∴当k ＝2时，|φ|min ＝π
6.
答案：π6
10．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋
56π≤x ≤2k π＋13π
6，k ∈Z .
(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，
∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π
2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．
11．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π
2
，
∴－π3≤2x ≤π，则－3
2
≤sin 2x ≤1.
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝
sin x －cos x sin 2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2，x ≠k π(k ∈Z )，
得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
，x ≠k π(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝
⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．
B 级
1．选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称
轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，
又0<φ<π，所以φ＝π
4
.
2．解析：由2k π－π6≤x ≤2k π＋2π
3(k ∈Z )，
得－1
2
≤cos x ≤1.
故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1 3．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，
∴－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，
又∵a >0，－5≤f (x )≤1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋2a ＋b ＝－5，a ＋2a ＋b ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－5.
(2)f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π得
－π3＋k π≤x ≤π
6＋k π，k ∈Z ， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π得 π6＋k π≤x ≤2
3π＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )，
单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．。