第52讲互斥事件的概率条件概率与相互独立事件的概率

走进高考
湖南卷)甲、乙、丙三人参加了 学例1 (2008· 一家公司的招聘面试 ,面试合格者可正式签 约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约 定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都 1 不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且 2 面试是否合格互不影响.求：
（1）至少有1人面试合格的概率;
（2）签约人数ξ的分布列和数学期望.
1 3
1 4
1 2
.
(2)P( A · P( B ) B )=P( A )· 1 1 1 =(1- )×(1- )= 1 2 .
(3)P=P(A· B) B +A · =P(A)· P( B )+P( A )· P(B)
1 3 3
4
5 1 1 1 = 点评 ×(1-要分清“互斥事件”与“相互独立 )+(1) × = . 1 2 4 4 3 1 1 1 事件”的概念，以及“互斥”与“独立” (4)P=1-P(A· B)=1= . 1 2 1 2 的概念.
(2) 若投进一个球得２分，未投进得 0 分，求甲、乙两人得分相同的概率.
(1)设“甲投进两球且乙至少投进一球” 为事件A,“甲投进两球”为事件B,“乙至少 投进一球”为事件C,则A=B· C. 由P(B)=0.5×0.5＝0.25， 1 P(I)= C 2 ×0.8×(1-0.8)+0.82＝0.32+0.64＝0.96, 得P(A)=P(B)· P(C)=0.25×0.96＝0.24. (2)设“得分相同”为事件 M,则 本题中的“得分相同”意指“两人 点评 2 1 2+ C × P(M )=0.5 × 0.8 2 0.5×(1-0.5)× 得分均为 0 分”或“两人得分均为２分” 1 C 2 ×0.8×(1-0.8)+(1-0.5)2×(1-0.8)2 或“两人得分均为４分”. ＝0.２5×0.64+0.5×0.32+0.25×0.04 ＝0.33.
7.独立重复试验 若n次重复试验中,⑨ 每次试验结果的概率. 都不依赖于其他各次试验的结果 , 则 称 这 n 次 试 验是独立的. 8.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k k pk(1-p)n-k P ( k )= C n 次的概率是⑩ n . 如果设 q=1-p, 则 Pn(k) 就是 (p+q)n 的展开式 k 中 的 第 (k+1) 项 , 故 Pn(k)= C n pk(1-p)n-k 也 叫 做 11 二项分布公式 .
A
B
· · C)+P(
A
· B· C)
=P(A)· P(B)· P( )+P(A)· P(B)· P(C)+P( )· P( )· P( A B 5 C) 1 . 8 分类讨论时要注意不重复不遗漏 2 P(B)· 5 P(A)· +P( 点评 )· P(C)+ P( )· P(C)
=5×( )3= ， 8
方法提炼
1.求复杂的互斥事件的概率 ,一般有两种 方法： 一是直接求解法，将所求事件的概率分 解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解 后的每个事件概率的计算通常为等可能性事 件的概率计算，这时应注意事件是否互斥， 是否完备； 二是间接求解法,先求出此事件的对立事 件的概率,再用公式P(A)=1-P( A ),若解决“至 多”“至少”型的题目，此方法显得比较方 便.
他们能译出密码的概率分别为 13 和14， 试求： （1）两人都译出密码的概率； （2）两人都译不出密码的概率； （3）恰有1人译出密码的概率； （4）至多1人译出密码的概率.
设“甲译出密码”为事件A，“乙 译出密码”为事件B，则A与B相互独立. (1)P(A· B)=P(A)· P(B)= × = 1
点评 在求某些稍复杂的事件的概率
小球中取出一个，记下它上面的数字，放回 并搅动，再取出一球，记下它上面的数字， 若两个数字之和大于11或两个数字之积小于 11就能中奖，问中奖的概率是多少？
变式 从标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的 7 个
从7个小球中有放回地两次取球，两个数 6 字之和大于11的概率是 4 9 ，两个数字之积小于 2 1 3 . 如果是不放 11的概率是 = , 因为两个数字之和大于 11与 点评本题是有放回地取球 4 9 7 回地取球，则可用数对标记列举出来 . 两个数字之积小于 11是两个互斥事件，所以中 3 6 2 7 奖的概率为 + = .
4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发 生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率, 则事件A在一次试验中发生的概率p的取值 ［0.4,1) . 范围是 依题意,得 C 41 p· (1-p)3≤ C 42 p2(1-p)2,
解得p≥0.4.又p<1,故0.4≤p<1.
5. 有 3 道选择题和 2 道填空题 , 如果依次不放 回地抽取2道,则在第一次抽到选择题的条 1 件下,第二次抽到选择题的概率为 .
=C
6 10 9
×0.86×0.24+
C
×0.87×0.23+×
7 10
8×0.22 C0.8 10
8
0 10 + C 1 0 ×0.89×0.2+ C 11× 0.8 0
=0.97.
备选题
甲、乙两个篮球运动员,投篮的命 中率分别为0.5和0.8,每人投篮两次.
(1)求甲投进两球且乙至少投进一球的 概率；
新课标高中一轮总复习
理数
第七单元
计算原理、概率与统计
第52讲
互斥事件的概率、条件概 率与相互独立事件的概率
1. 了解互斥事件的概率、两个互斥 事件的概率加法公式，能利用此公式求 有关事件的概率. 2. 了解条件概率和相互独立事件同 时发生的概率，理解 n 次独立重复试验 的模型及二项分布.
1.已知事件A、B的概率都大于零,那么( C ) A.如果A与B互斥，则与也互斥
C 73 )= C 13 1
2 6 3 3
1 2 2 1 3 C C C C C 4 7 4 7 4 3 3 3 C C C 1 1 1 1.
(方法二)记“三个球全是白球”为事件,且是A
= 33
7
,
故得P(A)=1-P( A )=
.
时通常有两种方法：一是将所求事件 的概率化成一些彼此互斥的事件的概 率的和；二是先求出此事件的对立事 件的概率.
变式 如右图所示，开关电路中，
开关 S1 、 S2 、 S3 开或关的概率均 为 率.
1 ,且是相互独立的,求灯亮的概 2
故P=P(A· B· )+P(A· B· C)+P(
+P(A· · C)
设事件 A 、 B 、 C 分别表示 S1 、 S2 、 S3 关 闭，则 S1 、 S2 同时关闭或 S3 关闭时灯亮，即 A· B· B· C或A B· · C或 B· C或A C发 C 或 A· B ·· A · 生, C B
C
A
B
题型四 独立重复试验与互斥事件 的综合与应用
假定该药对某种癌症的治愈率为80%，现 有10名患者同时服用此药，求其中至少有 6人被治愈的概率(精确到0.01).
例4 对某种抗癌新药的疗效进行试验，
记“一病人被治愈”为事件A，则 P(A)=0.8,则至少有6人被治愈的概率为：
P=P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
典例精讲
题型一 互斥事件的概率 例1 一个口袋里共有7个白球4个红球，现
在一次取出三个球，则这三个球中至少有 一个红球的概率是多少？
（方法一）记“三个球中至少有一个 红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球” 为事件 A1 ，“三个球中有两个红球”为事件 A2 ， “ 三 个 球 全 是 红 球 ” 为 事 件 A3 ， 则 A=A1+A2+A3, 且 这 三 个 事 件 两 两 互 斥 , 故 得 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 的对立事件，则P A(
2.解题时注意“互斥事件”与“对立事 件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件” 与“等可能性事件”的差异. 3.解概率问题时，一定要根据有关概念， 判断是否为条件概率或等可能事件，或互 斥事件，或相互独立事件，还是某一事件 在n次独立重复试验中恰好发生 k 次等概率 的情况，以便选择正确的计算方法.
4.解题过程中，要明确条件中“至 少”“至多”“恰好”“都发 生”“都不发生”和“不能发生”等 词语的意义，以及它们的概率之间的 关系和计算公式. 5.如果事件A与B相互独立，那么A 与B，A与B，A与B也都相互独立.
(2)根据条件概率的定义计算，需要先求出 事件AB的概率.
5 1 4 P(AB)= × = , 100 495 99
1 P(AB) 4 4 9 5 所以有P(B|A)= = = . 5 P(A) 99 1 0 0
点评 1. 在等可能性事件的问题中，求条件
概率通用的方法是利用条件概率公式
P(AB) P(B|A)= P(A)
4 9
7
4 9
题型二 条件概率
例2在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件
不合格品.现从中不放回地取两次，每次 任取一件.试求： (1)第一次取到不合格品的概率；
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再 次取到不合格品的概率.
5 (1) P(A)= =0.05. 100
设A={第一次取到不合格品}，B={第 二次取到不合格品}.
B.如果A、B不是相互独立事件，那么它们 一定是互斥事件 C.如果A、B是相互独立事件，那么它们一 定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是 对立事件
2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ,
甲获胜的概率是 1 3
,则甲不输的概率是
5 6
1 2
.
3.甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的 概率是0.7,乙解决这道题的概率为0.8,那么恰 有一人解决这一道题的概率是( B ) A.0.56 B.0.38 C.0.44 D.0.94 只有甲解决这道题的概率为0.7×(1-0.8) =0.14; 只 有 乙 解 决 这 道 题 的 概 率 为 0.8×(10.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为 0.１4+0.24=0.38,选B.
2
3 第一次抽到选择题的概率为 5 , 2 1 则第二次抽到选择题的概率为 ＝ . 4 2
1.互斥事件 ① 不可能同时发生的两个事件 ,叫做 互斥事件. 如果事件 A1 ， A2 ， … ， An 中的任何 两个都是互斥事件，那么就说A1，A2，…， An彼此互斥. 2.对立事件 如果两个互斥事件在一次试验中必 然有一个发生 , 那么这样的两个互斥事件 叫做② 对立事件 .通常事件A的对立事件 记作,且有P(A)+P( A )=1.
,这就需要求出P(AB)和P(A),用
到原来的概率知识. 2. 本 题 中 可 以 计 算 事 件 B 的 概 率 为 P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
5 5 95 4 = × + × = 99 100 100 99
率P(B|A)≠P(B).
5 =0.05,可见，条件概 100
题型三 相互独立事件发生的概率 例3 甲、乙两人独立地破译 1 个密码，
5.相互独立事件 ⑥ 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生 . 的概率没有影响 ，这样的两个事件叫做相 互独立事件. 6.相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等 于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 积 ， 即 P(A· B)= P(B) .一般的,如果事件A1、A2、…、 ⑦ P(A)· An 相 互 独 立 , 则 有 P(A1· A2· …· An)= P(A2)·…·P(An). ⑧ P(A1)·
3.互斥事件的概率加法公式 设A、B 是两个事件，A+B表示这样的事件， 如果在一次试验中A或B中至少有一个发生就表 示该事件发生. 当A与B为互斥事件时,P(A+B)=③P(A)+P(B). 一 般 的 , 若 A1,A2 ， …,An 彼 此 互 斥 , 则 有 P(A1+A2+…+An)=④ P(A1)+P(A2)+…+P(An) . 4.条件概率 设 A 、 B 为 两 个 事 件 , 且 P(A)>0, 称 P(A B) ⑤ P(B|A)＝ P ( A ) .为在事件A发生的条件下,事 件B发生的条件概率.