41整数的一些整除性质

第4章 多项式
4.1整数的一些整除性质
教学内容：4.1整数的一些整除性质
教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性
质
授课时数：2学时
教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理
教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）
教学过程：
一、整数的整除
1、整除的定义
定义1 设,a b 是两个整数。

如果存在一个整数q 使得b aq =，则称a 整除b ，或称b 被
a 整除，记作|a
b ，也说a 是b 的因数，b 是a 的倍数。

如果对任意整数q ，都有b aq ≠,
则称
a 不整除，记作|a
b 。

注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。

例1 3|6,3|6,5|11,0|0,0|(0),|0.b b a -≠
2、整除与除法的区别
除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。

二．整除的基本性质
根据定义，容易推出整除的基本性质：
1）若|,|,a b b c ,则|a c 。

2）若|,|a b a c ,则.|()a b c +。

3）若|,a b c Z ∈,则|a bc 。

4）若|,1,2,,i a b i n = ，,对任意12,,,n c c c Z ∈ ,则有
1122|()n n a b c b c b c +++ 。

* 4）是2、3）的推广
5）对于任意整数a 有，|0,1|,|a a a a ±±。

6）若|a b 且|b a ，则|b a ±。

6）的证明：按定义，存在整数,c d ，使得,b ac =且a bd =。

将b ac =代入a bd =，
有()()a bd ac d a cd ===。

若0a =，则0b a
c a ===；若0a ≠，则由消去律得1a
d =，因此1c d ==±，于是|b a ±。

例2 若3|n ，且7|n ，则21|n 。

证 由3|n ，知3,,
n mm Z =∈所以7|3.m 由此及7|7m 得，7|(723)m m - ，
即7|m ，从而，7,m q q Z =∈，于是，21n q =，故21|n 。

例．设,,,abcd Z ∈
,已知()|()a c ad bc --,求证()|()a c ab cd -+.
分析：因为()()()()ab cd ad bc a c b d +-+=--，且已知()|()a c ad bc --，即可证
得结论。

三．带余除法
1、带余除法定理
定理4.1.1 (带余除法) 设,,0a b Z a ∈≠，则存在,q r Z ∈，使得
,0||b aq r r a =+≤<
成立，而且,q r 是唯一的。

分析：1、考察整数的递增序列：
,||,,2||,||,0,||,2||,,||,n a a a a a n a ---
利用数轴直观理解b 必落在某个长度为||a 的小区间中，存在q '使得
||,0|b q a r r a
'=+≤<；
2、对a 分大于零和小于零两种情形讨论；
3、唯一性证明，注意1||r r a -<。

证 先证存在性，并考察整数的递增序列：
,||,,2||,||,0,||,2||,,||,n a a a a a n a ---
则b 一定位于序列某相邻两项之间，即存在q Z '∈，使||(1)||q a b q a ''≤<+。

所以
||,0||b q a r r a '=+≤<，
取 ,0,,0,
q a q q a '>⎧=⎨
'-<⎩
则||,0||b q a r r a '=+≤<。

再证唯一性。

若111,0,||b aq r aq r r r a =+=+≤<，则11().
q q a r r -=-
若1()0q q -≠，则11||||||||r r q q a a -=-≥，而11||max(,)||r r r r a -<<，矛盾，所以
1q q =，故1r r =。

（证毕）
2、余数与商
定理4.1.1中，q 称为b 被a 除所得的商，r 称为b 被a 除所得的余数。

注：余数r 是满足等式b aq r '=+且||r '为最小的整数，余数是非负的整数。

推论1
1）若0a =，则a 只能整除0；
2）若0a ≠，则|a b 的充分必要条件是a 除b 所得的余数0r =。

例3
课堂练习 设a 被7除余3，a 被5除余4，求a 被35除的余数。

（利用带余除法得等式⑵.⑶，变形出现系数35，再变形证之）
例3 3,28a b =-=，则28(3)(9)1,9,1q r =--+=-=；
3,28a b =-=-，则28(3)102,10,2q r -=-+== 。

四．最大公因数
1、公因数与最大公因数
定义2 设,a b Z ∈，满足下列条件的整数d 叫做a 和b 的一个最大公因数：
1）|,|d a d b ；
2）若c Z ∈且|,|c a c b ，则|c d
注：1︒中小学中的定义是：两整数的公因数中的最大者称为最大公因数，与现在定义有所不同。

中小学中两个整数的最大公因数是唯一的，而按现在的定义，d 是最大公因数，则d -也是。

0和0在小学中没有最大公因数。

而按现在定义，它们有最大公因数0。

所以这里的定义蕴含了小学及中学的定义；
2︒“最大性”由定义2中的条件2）体现出来。

由于两个整数的最大公因数不一定唯一。

所以我们约定，用(,)a b 表示,a b 的那个非负的最大公因数。

2、最大公因数的存在性
引理1 设,a b 为任意两个不全为零的整数,且a bq r =+,则a 与b 和b 与r 有相同的公因数，因而有相同的最大公因数，且(,)(,)a b b r =。

定理4.1.2 任意两个整数,a b 都有最大公因数。

分析及证明要点：
1︒ 分0a b ==及,a b 不全为零两种情形；
2︒ 利用辗转相除及引理 带余除法；
3︒ 最后一次不为零的余数即为所求。

证 0a b ==，则（,a b ）0=.假设,a b 不全为零,不妨设0,b ≠
由带余除法,存在惟一的1q ,1,r Z ∈使得
11
1,0,a b q r r b =+≤< 若10,r =则b a ,从而(,a b )=b .若10,r ≠再由带余除法,存在惟
一的22,q r Z ∈,使得
12221
,0.b r q r r r =+≤< 若20r =,则1r b ,由引理1知,11(,)(,)a b b r r ==。

若20r ≠，则又可
用2r 去除1r 得123 3.r r q r =+如此继续进行下去，因为
123b r r r >>>>
而b 是一个有限正整数，所以这一过程不可能无止境，最后必有一个余数
10k r +=，使1k k r r -，这样可得
1112212333211,2111,
,,,
(1),k k k k k k k k k k k a bq r b r q r r r q r r r q r r r q r r r q -------+=+=+=+=+=+=
由引理1可知
112232,11,(,)(,)(,)(,)()()k k k k k a b b r r r r r r r r r r ---======= 。

（证毕）
3、辗转相除法
Th4.1.4给出的方法称为辗转相除法：反复用带余除法，最后一个不为零碎的余数k r ，就是那个要求的非负的最大公因数。

例4 求（253，207）
4、最大公因数的一个重要的表达式
定理 4.1.3 设d 是,a b 的一个最大公因数，则存在整数,u v 使得
ua vb d +=。

证 不妨设0d >。

由（1）可知，k r d =。

于是由其中倒数第二式，得
21k k k d r r q --=-，
再利用倒数第三式，得
1321k k k k r r r q ----=-，
再将此式代入上式，这样一步一步往前代入，最后可得ua vb d +=。

（证毕）
注意：Th.4.1.3的逆不成立，这点学生在应用时，经常发生错误
5．整数的互素
（1）、定义
定义3 设,a b Z ∈。

若(,)1a b =，则称,a b 互素。

反之，若(,)a b d =（0d =或1d >），则称,a b 不互素。

例4 3,15不互素，而14,33互素。

（2)、判定
定理4.1.6 整数,a b 互素的充分必要条件是：存在,u v Z ∈,使得
1ua vb +=。

（3）、互素的性质
1) 若(,)1a b =，且|a bc ,则|a c 。

证 因为(,)1a b =，所以存在,u v Z ∈,使得1ua vb +=，于是uac vbc c +=。

由
|,|a a a bc ，得|a c 。

2) 若(,)1,|,|a b a c b c =，则|ab c 。

证 因为,,c aq b c =所以b aq 。

但(,)1a b =，故b q ，从而有d Z ∈，
使得q bd =，于是c abd =，即|ab c 。

3) 若(,)1,(,)1a b a c ==，则(,)1a bc =。

(另给一证法)
证 设(,)a bc d =，则|,|d a d bc 。

困为(,)1a b =，所以(,)1d b =，从而|d c ，但
(,)1a c =，于是1d =。

另一证法 因为(,)1,(,)1a b a c ==，所以存在1122,,,u v u v 使得
11221,1u a v b u a v c +=+=，两式相乘，整理，再用定理4，即得证。

五．最大公因数的推广
最大公因数概念的推广
互素概念的推广
互素与两两互素
两两互素⇒互素，反之不然
六．素数与合数
1、素数的定义
定义4 一个大于1的整数p ，如果只有两个正因数1,p ，则称p 是一个素数。

否则称
p 是一个合数。

2、素数的简单性质
1）设p 是一个素数,则对任意整数a ,有|p a 或(,)1p a =。

证 因为由(,)|p a p 知(,)1p a =或p 。

当(,)p a p =时，则有|p a 。

2）)设p 是一个素数，且,a b 为整数。

若|p ab ，则|p a 或|p b 。

证 若|p a ，则由1）知(,)1p a =，但|p ab ，所以|p b 。

3）任意a Z ∈且1a >，则a 除去1外的最小正因数p 为一素数：当a 为合数时，
p
证 假设p 不是一个素数，则按定义p 除1,p 外还有正因数1p 。

但1|,|p p p a ，于是
1|p a ，这与p 是a 除去1外的最小正因数矛盾，故p 是素数。

当a 是合数时，设1a a p =，
则11a >，否则a 是素数。

由p 之定义，1p a ≤，于是21p a p a ≤=，故p 。

3、求素数的筛选法
幼拉脱斯大林展纳（Eratosthenes ）法：首先，划去1，第一个留下的为2，这是一个素数。

其次，从2起每隔一位划去一数，这样恰好划去2的所有倍数22(1,2)m m += 。

留下的第一个为3，它不是2的倍数，因而是素数。

再次，从3起每隔2位划去一数，这样恰好划去3的所有倍数33(1,2)m m += 。

如此继续下去，所划掉的都是合数，每次留下的第一个数都是素数。

利用3）可以简化计算。

例 求20以内的所有素数。

解 由于3），不超过205<，筛选的时候，只须划到3。

筛选的过程如下：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20。

以上数字剩下的都是素数。

即不超过20的合数要么是2的倍数，要么是3的倍数。

4、算术基本定理
定理4.1.5 任何大于1的整数a ，都可唯一地分解成有限个素数的乘积：12s p p p
其中12,,,s p p p 是素数，且12s p p p ≤≤≤ 。

作业：P126，1—7题。