广东省六校2020届高三第二次联考数学文试题Word版含答案

2020届广东六校高三第二次联考试题(及答案解析）
文科数学
一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集U 是实数集R ，{}{}
2=log 1,13M x x N x x >=<<，则（C U M ）N =I ( ) A ．{}
23x x << B ．{}3x x < C ．{}12x x <≤ D ．{}
2x x ≤ 2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为 （ ） A ．2
B ．3-
C ．3
D ．2-
3．在ABC ∆中，3AB =1AC =，30B ∠=o ，则A ∠= （ ） A ．60︒
B ．︒︒9030或
C ．60120︒︒或
D ．︒90
4．设平面向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r ，若a r 与b r
的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ）
A ．()(),44,1-∞--U
B ．()1,22,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
U C ．()1,+∞ D ．(),1-∞ 5．若0a >，0b >，则“8a b +≤”是“16ab ≤”的 （ ）. A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设3log 0.4a =，2log 3b =，则 （ ） A ．0ab >且0a b +> B ．0ab <且0a b +> C ．0ab >且0a b +<
D ．0ab <且0a b +<
7．已知函数()210
10
x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x ->-，则实数x 的取值范围
是 （ ）
A ．()1，-+∞
B ．()1-∞-，
C ．()14-，
D ．()1-∞，
8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a = （ ） A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．
76
π
B ．
43π
C ．2π
D ．136
π
10．函数2()1sin 1x
f x x e ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
图象的大致形状是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．己知点A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ） A ．21+ B ．
212+ C ．51
2
- D ．51-
12．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式
20x x
ax a e
-->恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．2
40,
3e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．2
41,3e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
41,3e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
二、填空题，本题4个小题，每小题5分，共20分。

13．a r 为单位向量，0b ≠r r ，若a b ⊥r r
且32
a b -=r r ，则b =r ________.
14．若tan 24πα⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
，则tan2α=___________． 15．若()()32111
1322
f x f x x x '=
-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．
16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==
，
2
ABC π
∠=
，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17至21题为必做题，
每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（一）必做部分
17．（本小题12分）已知函数2()(3cos sin )23sin 2f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合； （2）若[]22
x ππ
∈-
，，求函数()f x 的单调减区间． 18．（本小题12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，19a =，129n n a S +=+，*n ∈N ，11b =，
13log n n n b b a +-=．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求证：对*n ∈N ，总有12111
12n
b b b ≤
+++<L ． 19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，
1
2
AB BC AP AD ===
，30ADP ∠=︒ 90BAD ∠=︒. (1)证明：PD PB ⊥；
(2)设点M 在线段PC 上，且1
3
PM PC =
，若MBC ∆的面积为
27
3
，求四棱锥P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）在直角坐标系xoy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比是1
2
，设动点P 的轨迹为E ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若//CD AB ，
求证：2
||||
CD AB 为定值．
21．（本小题12分）已知函数()ln 1f x x x =++，()2
2g x x x =+．
（1）求函数()()y f x g x =-的极值；
（2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值．
（二）选做部分（二选一，本小题10分）
22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为3cos sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为
极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
． （1）求曲线c 的普通方程和直线l 的倾斜角；
（2）设点(0,2)P ，直线l 和曲线c 交于A B 、 两点，求||+||PA PB ． 23．已知()2
221f x x x a =+-+．
（1）当3a =-时，求不等式()2
f x x x >+的解集；
（2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围．
2020届高三第二次六校联考
文科数学参考答案
一、选择题 CDBAB BCCAD AD 二、填空题
13 14、34 15、3310x y -+= 16、3
32π 三、解答题
17、解：（1）22()3cos sin cos 2f x x x x x x =++-
＝22cos 12x x +-
＝cos 222x x -+ ＝2cos(2)23
x π
++ ………………4分
当223
x k π
ππ+
=+，即()3
x k k Z π
π=
+∈时，函数()f x 有最小值为0。

…………6分
（2）由2223
k x k π
πππ≤+≤+，得：,6
3
k x k k Z π
π
ππ-+≤≤
+∈ ………………8分
因为[]22x ππ
∈-，，所以，0,,63k x ππ⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
， 即[]22x ππ
∈-，，函数()f x 的单调减区间为[]63
ππ
-，。

………………12分
18、解：（1）由129(1)n n a S n +=+≥．可得129(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=， 又212927a S =+=，213a a =．
故{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，∴1*
3,n n a n +=∈N 。

………………5分 （2）1
13log 31n n n b b n ++-==+
当2n ≥时，
112211(1)()()()(21)12
n n n n n n n
b b b b b b b b n ---+=-+-++-+=++-+=
L L
又1n =符合上式，*(1),2
n n n
b n +=∈N ． ………………8分 ∴
*12,(1)
n n b n n =∈+N ． 则
121111111112(1)2(1)22311
n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L …………10分 ∵12(1)21n -<+，11
2(1)2(1)112
n --=+… ∴12111
12n
b b b ≤
+++<L ． ………………12分 19、解：(1) Q 平面ABCD ⊥平面PAD BAD=90∠︒，
AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥，
在ΔPAD 中，1
AP AD 2=
Q ，ADP 30∠=︒， ∴由正弦定理可得：APD
AD
ADP AP ∠=∠sin sin ，
APD 90∠∴=︒，PA PD ⊥∴，又A AB PA =I
∴ PD ⊥平面PAB ，PD PB ∴⊥. ……………5分 (2)取AD 的中点F ，连结PF CF 、，设a AD 2=，则a AP BC AB ===，a PD 3=,
则PB PC 2a ==
，∴ΔPBC 为等腰三角形，且底边BC 上的高为
7
a ， 1PM PC 3=Q ，ΔMBC 的面积为27
3
.
ΔPBC ∴的面积为7，
17
a a 722∴⨯=解得：a 2=， ∴四梭锥P ABCD -的体积为
()11
24232332
⨯⨯+⨯⨯= . ……………12分 20、解：（1）设点(),P x y ，由题意得22(1)1
2
x y -+=，
将两边平方，并简化得22143x y +=，
故轨迹1C 的方程是22
143
x y +=． ……………4分
（2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，易求||3AB =，||23CD =，
则
2
||4||
CD AB =． ……………5分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠， 则直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线CD 的方程为y kx =． 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
由22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得()2222
3484120k x k x k +-+-=． 则2122834k x x k +=+，2122
41234k x x k -=+， ……………7分 212
||1AB k x x =+-2
222
228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()2
2
12134k k +=+……8分 由22
143x y y kx
⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得2
21234x k =+，则3424334x x k -=+． ()22342
31||14
34k CD k x x k
+=+-=+． ……………10分
∴()()
2
22
22
481||344||34121k CD k AB k k ++=⋅=++． 综合①②知：
2
||4||
CD AB =为定值． ……………12分 21、解：(1)设()()()2
ln 1x f x g x x x x ϕ=-=--+，
∴()()()2111
21x x x x x x
ϕ--+'=
--=
， ……………2分 令()0x ϕ'>，则102x <<
；()0x ϕ'<，则1
2
x >； ∴()x ϕ在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减，
∴()11
=ln 224
x ϕϕ⎛⎫=-
⎪⎝⎭极大，无极小值. ……………4分 (2)由()()0f x mg x -≤，即()
2
ln 120x x m x x ++-+≤在()0,∞+上恒成立，
∴2ln 1
2x x m x x
++≥
+在()0,∞+上恒成立， ……………5分
设()2
ln 12x x h x x x ++=+，则()()()()
2212ln 2x x x h x x x -++'=+， ……………6分 显然10x +>，()
2
220x x
+>
设()()2ln t x x x =-+，则()210t x x ⎛
⎫
'=-+
< ⎪⎝
⎭
，故()t x 在()0,∞+上单调递减 由()110t =-<，11
112ln 2ln 202222t ⎛⎫⎛⎫=-+=->
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 由零点定理得01,12x ⎛⎫
∃∈
⎪⎝⎭
，使得()00t x =，即002ln 0x x += 且()00,x x ∈时，()0t x >，则()0h x '>，
()0,x x ∈+∞时，()0t x <. 则()0h x '<
∴()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减 ∴()()0002
max 00
ln 1
2x x h x h x x x ++==
+， 又由002ln 0x x +=，01,12x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭，则()0002
000
ln 111,1222x x h x x x x ++⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭ ∴由()m h x ≥恒成立，且m 为整数，可得m 的最小值为1. ……………12分
22、解：（1）3cos ,sin ,
x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2
219x y +=，
即c 的普通方程为2
219
x
y +=. ……………2分
由sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，得sin cos 2ρθρθ-=，（*）
将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为
4
π
. ……………5分 （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为
cos 42sin 4x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t
为参数），即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=
并化简，得25270t ++=，
245271080∆=-⨯⨯=>，
设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
，则1205
t t +=-
<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以(
)1212||||5
PA PB t t t t +=+=-+=. ………10分 23、解：（1）当3a =-时，()2
2213f x x x =+--，
当0x ≤时，由()2
f x x x >+，得220x x -->，解得：1x <-，或2x >，所以1x <-.
当102
x <≤
时 ,由 ()2
f x x x >+得 2320x x -->,
解得：x <
x >. 所以x φ∈， 当12
x >
时，由()2
f x x x >+ ， 得240x x +->，
解得：x <
，或x >.
所以x > 综上 当3α=-时，()2
f x x x >+的解集为. ⎪⎩
⎪
⎨⎧⎭⎬⎫+->-<21711|x x x 或 ………5分
（2）()0f x ≥的解集为实数集2
221R a x x ⇔≥---，
当
1
2
x≥时，22
221221
x x x x
---=--+
2
131
2
222
x
⎛⎫
=-++≤-
⎪
⎝⎭
，
当
1
2
x<时，22
221221
x x x x
---=-+-
2
111
2
222
x
⎛⎫
=---<-
⎪
⎝⎭
，2
226
x x
∴---的最大值为
1
2 -.
∴实数a的取值范围为
1
,
2
⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭. ……………10分。