新人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题
1．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）．
A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3
B ．AB
C 中，222AB BC AC +=
C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ==
= 2．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ） A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、
3．如图，一圆柱高8cm ，底面周长为12cm ，一只蚂蚁从A 点爬到点B ，要爬行的最短路程是（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm 4．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点
E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C 17cm
D ．94
cm 5．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A ．3，4，5
B ．5，12，13
C ．8，16，17
D ．7，24，25
6．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，
10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（ ）
A ．4.2尺
B ．4.3尺
C ．4.4尺
D ．4.5尺
7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，下列结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②∠ADB=120°；③DB=2CD ；④若CD=4，83AB =，则△DAB 的面积为20．其中正确的结论共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
10．如图，90C D ∠=∠=︒，CAB DBA ∠=∠，若3AC =，4=AD ，则AB 是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 11．代数式()224129x x ++-+的最小值为（ ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．11 12．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）
A ．296cm
B ．248cm
C ．224cm
D ．232cm 二、填空题
13．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 都是格点，则
BAC CDE ∠+∠=_______．
14．如图，ABC 中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，2BD =，114
AC =，则边BC 的长为_______．
15．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．
16．已知一个直角三角形的两边长分别是a ，b ，且a ，b 满足340a b -+-=．则斜边长是____________
17．如图，ABC 中，17AB =，10BC =，21CA =，AM 平分BAC ∠，点D ．E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________．
18．已知O 为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形AOB 中，A(2，4)，点B 是x 轴上的点，则AOB 的面积为_____．
19．如图，Rt ABC △，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为________．
20．如图ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，若CE ＝2，则BE ＝______________．
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．
（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥；
①如图1，若AE BC =，求证：AD BE =；
②如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；
（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，36BF DF ==，求CF 的长． 22．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．
（1）求ABC ∠的度数；
（2）求四边形草地ABCD 的面积．
23．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高．若5BD =1AD =，试求线段CD 的长度．
（2）深入探究
如图2，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点且CA CB >，CD 是AB 边上试探究线段AD 与CB 的数量关系，并给予证明；
24．如图，ABC 中，90︒∠=C ，边AB 的垂直平分线交AB 、AC 分别于点D ，点E ，连结BE ．
（1）若40A ︒∠=，求CBE ∠的度数；
（2）若10AB =，6BC =，求BCE 的周长．
25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
26．本题分为A ，B 两题，可以自由选择一题，你选择 题
A ：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m 处，发现此时绳子底端距离打结处2m ，则旗杆的高度为多少米？
B ：如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的
C 处有一筐水果，一只猴子从
D 处爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两只猴子所经路程都是16m ，求树高AB ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可．
【详解】
解：A 选项：ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，
ABC ∴是直角三角形． B 选项：∵在ABC 中，222AB BC AC +=，
ABC ∴是直角三角形．
C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=，
∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，
又180A B C ︒∠+∠+∠=，
12180x ︒∴=,
345x ︒=，
460x ︒=，
575x ︒=，
ABC ∴不是直角三角形．
D 选项：在ABC 中，1,AB BC AC ===
222AB BC AC ∴+=，
ABC ∴是直角三角形．
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意；
三边长的关系为()()()()22222
2220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
沿着过点A 的高将圆柱侧面展开，再过点B 作高线BC ，如图：则，∠ACB=90°，AC=12
⨯12=6（cm ），BC=8cm ， 由“两点之间，线段最短”可知：线段AB 的长为蚂蚁爬行的最短路程，
在Rt ABC ∆中，
()22226810AB AC BC cm =+=+=，
故选C ．
【点睛】
本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示各线段的长度．
4．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，
22AC BC +，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，
∵AC=12cm ，
∴CE=AE-AC=3cm ，
设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，
在Rt △CDE 中，根据勾股定理得
CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，
解得x=4，
即CD 长为4cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
5．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A 、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D 、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．A
解析：A
【分析】
设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．
【详解】
设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，
∴2224(10)x x +=-，
解得：x=4.2，
故选：A ．
【点睛】
此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
连接PN 、PM ．根据题意易证明APM APN ≅，即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可求出=120ADB ∠︒，故②正确；由30BAD B ∠=∠=︒，可说明AD=BD ，再由AD=2CD ，即可证明BD=2CD ，故③正确；由④所给条件可求出AC 和DB 的长，即可求出=163DAB S ，故④错误． 【详解】
如图，连接PN 、PM ．
由题意可知AM=AN ，PM=PN ，AP=AP ，903060BAC ∠=︒-︒=︒．
∴APM APN ≅，
∴1302
CAD BAD BAC ∠=∠=
∠=︒，即AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵=ADB C CAD ∠∠+∠， ∴=9030=120ADB ∠︒+︒︒，故②正确；
在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，
∴AD=2CD ，
又∵30BAD B ∠=∠=︒，
∴AD=BD ，
∴BD=2CD ．故③正确；
在Rt ABC 中，30B ∠=︒，
∴3122
BC AB ==， ∴=1248BD BC CD -=-=，
又在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，
∴343AC CD ==，
∴11==843=16322
DAB S BD AC ⨯⨯，故④错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平
分线的判定以及勾股定理．熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．
【详解】
∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，
∴10=，
∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，
∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，
∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，
在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，
∵BD 2＋BE 2＝DE 2，
∴（8−x ）2＋42＝x 2，
解得：x ＝5，
∴DE ＝5．
故选B ．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．
【详解】
解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：20AB ===，
∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102
AE BE AB ==
=， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 10．C
解析：C
【分析】
利用AAS 可证明△DAB ≌△CBA ，根据全等三角形的性质可得AC=BD ，利用勾股定理即可得答案．
【详解】
在DAB ∆和CBA ∆中90D C DBA CAB AB BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAB ≌△CBA ，
∴AC BD =，
∵3AC =，4=AD ，
∴3BD =， ∴2222
435AB AD BD =
+=+=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，全等三角形常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 11．B
解析：B
【分析】
建立直角坐标系，设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，则AB 的长即为代数式()224129x x ++
-+ 的最小值，然后
根据Rt △ABC ，利用直角三角形的性质可求得AB 的值．
【详解】
解：如图所示：设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，
∴BC=3－(-2)=5，AC=12
()()()()2222002203x x ⎡⎤+--+-+-⎣⎦-1， ()()22002x ⎡⎤+--⎣⎦-AP ()()22203x -+-1BP ，
∴()224129x x ++-+=AP ＋BP
根据两点之间线段最短AB 的长即为代数式()224129x x ++
-+ 的最小值 ∴AB ＝22BC AC +＝13．
代数式()224129x x ++
-+的最小值为13．
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
如图：作AD ⊥BC 于D ，先根据等腰三角形的性质求得BD ，然后运用勾股定理求得AD ，最后运用三角形的面积公式解答即可 ．
【详解】
解：如图：作AD ⊥BC 于D ，
∵AB=AC=10，
∴BD=DC=
12BC=8cm ， ∴AD=
22221086AC CD -=-= ∴S △ABC =12
BC·AD=48cm 2． 故答案为B ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．
二、填空题
13．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出
∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°
解析：45 ；
【分析】
首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到
∠BAC+∠CDE=45°.
【详解】
解：∵BF=CF,CK=EK，
∴∠FBC=CEK=45°，
∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，
连接AD、BE，
∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，
∴BC²+CE²=BE²，
∴∠BCE=90°，
∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠BAC+∠CDE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．
14．【分析】延长BD到F使得DF=BD根据等腰三角形的性质与判定勾股定理即可求出答案【详解】解：延长BD到F使得DF=BD∵CD⊥BF∴△BCF是等腰三角形∴BC=CF过点C作CH∥AB交BF于点H∴∠
5
【分析】
延长BD到F，使得DF=BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．【详解】
解：延长BD到F，使得DF=BD，
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H ∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，∴HF=HC，
∵CH∥AB，
∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，∴EH=CE，
∵EA=EB，
∴AC=BH，
∵BD=DF=2，AC=11
4
，
∴DH=BH-BD=AC-BD=3
4
，
∴HF=HC=DF-DH=2-3
4=
5
4
，
在Rt△CDH中，
∴由勾股定理可知：CD=22
CH DH
-=1，
在Rt△BCD中，
∴BC=22
BD CD
+=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
15．150°【分析】由可知：PA＝P′A∠P′AB＝∠PACBP′=CP然后依据等式的性质可得到∠P′AP＝∠BAC＝60°从而可得到△APP′为等边三角形可求得PP′由△APP′为等边三角形得∠APP
解析：150°
【分析】
由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P′A ，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．
【详解】
连接PP′，
∵P AB PAC '≌△△，
∴PA ＝P′A=6，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP=10，
∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP ＝AP′＝6，
又∵8PB =，
∴PP′2＋BP 2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．
16．5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab 的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3＝0b−4＝0解得：a ＝3b ＝4当ab 为直角边该直角三角形的斜边长为
解析：5或4．
【分析】
根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a 、b 的值，然后再利用勾股定理，分类求出该直角三角形的斜边长即可．
【详解】
∵a ，b 340a b --=，
∴a−3＝0，b−4＝0，
解得：a ＝3，b ＝4，
当a ，b 为直角边，
该直角三角形的斜边长为：22345+=；
4也可能为斜边长．
综上所述：直角三角形的斜边长为：5或4．
故答案为：5或4．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性，关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
17．8【分析】过B 点作于点与交于点根据三角形两边之和小于第三边可知的最小值是线段的长根据勾股定理列出方程组即可求解【详解】过B 点作于点与交于点作点E 关于AM 的对称点G 连结GD 则ED=GD 当点BDG 三点在
解析：8
【分析】
过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，根据三角形两边之和小于第三边，可知 BD DE +的最小值是线段BF 的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．
【详解】
过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，
作点E 关于AM 的对称点G ，连结GD ，
则ED=GD ，
当点B 、D 、G 三点在一直线上时较短，BG BF >，
当线段BG 与BF 重合时最短，BD+BE=BD+DG=BF ，
设AF=x ，CF-21-x ，根据题意列方程组：
()222222172110
BF x BF x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得：158x BF =⎧⎨=⎩，158x BF =⎧⎨=-⎩
（负值舍去）． 故BD ＋DE 的值是8，
故答案为8，
【点睛】
本题考查轴对称的应用，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握轴对称的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，会利用轴对称找出最短路径，再利用勾股定理构造方程是解题关键．
18．8或4或10【分析】根据已知画出坐标系进而得出AE 的长以及BO 的长即可得出△AOB 的面积【详解】解：如图所示：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ∵点O （00）A （24）∴AE ＝4OE ＝2OA ＝当OA ＝AB 时∴
解析：8或45或10
【分析】
根据已知画出坐标系，进而得出AE 的长以及BO 的长，即可得出△AOB 的面积．
【详解】
解：如图所示：过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，
∵点O （0，0），A （2，4），
∴AE ＝4，OE ＝2，OA 222425+=
当OA ＝AB 时，
∴AE 是△AOB 边OB 的垂直平分线， ∴BE=OE=2，
∴OB=4，
∴B 的坐标为（4，0），
此时S △AOB ＝12OB AE •＝1442
⨯⨯＝8； 当OA ＝OB 时， ∴25OB OA ==，
∴B 的坐标为（5±0），
此时S △AOB ＝
12OB AE •＝12542
⨯＝45 当OB ＝AB 时， 设AB OB x ==，则2BE x =-，
∴2224(2)x x =+-，
解得：5x =，
∴5OB =，
∴B 的坐标为（5，0），
此时S △AOB ＝12
OB AE •＝1542⨯⨯＝10； ∴△AOB 的面积为：8或10．
故答案为：8或10．
【点睛】
此题主要考查了三角形面积以及坐标与图形的性质，利用等腰三角形的性质求得OB 的长是解题关键．
19．【分析】根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三角形是直角三角形运用勾股定理求出DF 的值最后用勾股定理得出的值【详解】解：根据折叠的性质可知∴；∵(三角形外角定理)(都是的余角同角的余角相等)∴∵在中 解析：45
【分析】
根据折叠性质和余角定理可知CEF △是等腰直角三角形，B FD '是直角三角形，运用勾股定理求出DF 的值，最后用勾股定理得出B F '的值．
【详解】
解：根据折叠的性质可知3CD AC ==，4B C BC '==，∠=∠ACE DCE ，BCF B CF '∠=∠，CE AB ⊥，
∴431B D B C CD '-=-'==；
∵ECF DCE B CF ∠=∠+∠'，EFC B BCF ∠=∠+∠(三角形外角定理)，
B ACE ∠=∠(B 、ACE ∠都是A ∠的余角，同角的余角相等)，
∴ECF EFC ∠=∠，
∵在Rt ECF △中，90ECF EFC ∠+∠=︒，
∴=45ECF EFC ∠∠=︒，
∴ECF △是等腰直角三角形，EF CE =，
∵EFC ∠和BFC ∠互为补角，
∴135BFC B FC '∠=∠=︒，
∴==1354590B FD B FC EFC ''∠∠-∠︒-︒=︒，B FD '为直角三角形， ∵1122
ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△， ∴AC BC AB CE ⋅=⋅，
∵根据勾股定理求得5AB =， ∴125
CE =，
∴125EF =，95ED AE === ∴35
DF EF ED =-=，
∴45
B F '=
=． 故答案为：45
． 【点睛】 本题考查折叠性质与勾股定理的应用，掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE 的值是解题关键．
20．2【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】∵DE 垂直平分AB ∴AE ＝BE ∴∠EAB ＝∠B ＝225°∴∠AEC ＝∠EAB ＋∠B ＝45°∵∠C ＝90°∴AC ＝CE ＝2A
解析：
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵DE 垂直平分AB ，
∴AE ＝BE ，
∴∠EAB ＝∠B ＝22.5°，
∴∠AEC ＝∠EAB ＋∠B ＝45°，
∵∠C ＝90°，
∴AC ＝CE ＝2，AE 2＝AC 2＋CE 2，
∴AE
CE ＝，
∴BE ＝AE ＝
．
故答案为：
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）①见解析；②见解析；（2）FC =
【分析】
（1）①根据条件得出EDA CEB △≌△，即可求证；
②延长DE 交CB 的延长线于点G ，得出EDA EGB △≌△再证明GCE DCE △≌△即
可；
（2）解法1：过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，得到FCM FCN △≌△，由222BN BF FN =-，222DM DF FM =-，得到DM BN =，设DM BN x ==，求得5CN =，在Rt FBN △和Rt FCN △中，由勾股定理即可求得CF 的长．
解法2：在CD 上截取CF BC '=，得出362
FF FD '==，过F 作FG CD ⊥，根据22222FC CG FG F F F G ''-==-，即可求得CF 的长．
【详解】
（1）①证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒，
90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒，
ADE BEC ∴∠=∠，
在DEA △和ECB 中
ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =，
EDA CEB ∴△≌△，
AD BE ∴=．
②证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ，
AED BEG ∴∠=∠，
E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =，
EDA EGB ∴△≌△，
EG ED ∴=，
90DEC =︒∠，
18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒，
GEC DEC ∴∠=∠，
CE CE =，
GCE DCE ∴△≌△，
GCE DCE ∴∠=∠，
CE ∴平分BCD ∠．
（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．
CE 平分BCD ∠，
BCF FCD ∴∠=∠，
又FM CD ⊥，FN CB ⊥，
90CNF FMC ∴∠=∠=︒，
在FCM △和FCN △中
BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =，
FCM FCN ∴△≌△，
FM FN ∴=，CM CN =，
在Rt FDM △和Rt FBN △中
MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =-
DM BN ∴=，
设DM BN x ==，
6CD =，4CB =，
4CN x ∴=+，6CM x =-，
CN CM =，
46x x ∴+=-，
1x ∴=，
415CN CB BN ∴=+=+=，
在Rt FBN △和Rt FCN △中
222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，362
BF =，
2
2222362512FN FB BN ⎫⎛∴=-=-=⎪ ⎪⎝⎭ 222255(41)622FC FN CN =+=++=． 解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，
4BC =，6CD =，
642DF CD CF ''∴=-=-=，
在FCB 和FCF '△中
BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=，
FCB FCF '∴△≌△，
FF FB '∴=，
FB FD =，
362
FF FD '∴==， 过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，
112
GF GD DF ''∴==
=， 145CG GF CF ''∴=+=+=， 在Rt FCG △和Rt FF G '△中
22222FC CG FG F F F G ''-==-
2
22236512FC ⎛∴-=- ⎝⎭ 62
FC ∴=． 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题． 22．（1）150°；（2）253（m 2）
【分析】
（1）连接BD ，可得∆ABD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可求解；
（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=53，结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 （1）连接BD ，
∵10AB AD ==m ，∠A=60°
∴∆ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，
∵26CD =m ，24BC =m ，
∴BD 2+BC 2=CD 2，
∴∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°+60°=150°；
（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，则BP=DP=
12BD=5m ，AP=2253AD DP -=， ∴四边形草地ABCD 的面积
=S ∆ABD +S ∆CBD =12BD∙AP+12BC∙BD=12×10×53+12×10×24=253+120（m 2）．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．
23．（1）①是；②2CD =；（2）证明见解析．
【分析】
（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a 2a ，由
)2222,a a a -=结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到
22225,1,CB CD CA CD =+=+根据勾股高三角形的定义得到222CD BC AC =-，再列方程，解方程可得答案；
（2）由△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高，可得：222,CA CD CB -= 再由勾股定理可得：222CA CD AD -=，从而可得结论．
【详解】
解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，
则斜边长222a a a =+=，
∵)222,a a -=等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②,CD AB ⊥ BD =，1AD =，
由勾股定理可得：222222225,1,CB CD BD CD CA CD AD CD =+=+=+=+
∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高，
∴222CD BC AC =-，
∴()()
22251CD CD CD =+-+，
24CD ∴=，
解得，2CD =（负根舍去）；
（2）AD=CB ，
证明如下：∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高， ∴222CD CA CB =-， 222,CA CD CB ∴-=
,CD AB ⊥
∴222CA CD AD -=
∴22CB AD =，
,CB AD 都为线段，
∴AD CB =．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键． 24．（1）10°；（2）14
【分析】
（1）由AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，可得AE=BE ，继而求得∠ABE 的度数，然后由Rt △ABC 中，∠C=90°，求得∠ABC 的度数，继而求得答案；
（2）根据勾股定理得到AC=8，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE ，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE ，
∴∠A=∠ABE=40°，
∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=10°；
（2）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE ，
∴BE+CE=AC=8，
∴△BCE 的周长=BE+CE+BC=AC+BC=14．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；勾股定理，应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．
25．（1）7米；（2）不是
【分析】
（1）利用勾股定理直接求出边长即可；
（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．
【详解】
（1）如图，
由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ， ∴2225247b =-=（米）；
（2）不是，
如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米， 由勾股定理，22252015b =-=（米），
1578-=（米），
即梯子的底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 26．A 题：8米；B 题：412
13
m 【分析】
A 题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；
B 题：根据题意表示出AD 、A
C 、BC 的长，进而利用勾股定理求出A
D 的长，即可得出答案．
【详解】
解：A 题：设旗杆的高度为x 米，则绳子长为（x+2）米，
由勾股定理得：()22226x x +=+， 解得：8x =，
答：旗杆的高度为8米；
B 题：由题意可得：BD=10m ，BC=6m ， 设AD=xm ，则有：AC=()16x -m ， 在Rt △AB
C 中，222AB BC AC +=， 即()()22210616x x ++=-， 解得：3013x =
， 故AB=30410121313
+=m ， 答：树高AB 为412
13m ． 【点睛】
本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．。