江西省新建二中高三数学适应性考试试题(一)理 新人教A

新建二中2013届高三适应性考试(一)数学(理)试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}01
1
|
{>-=x x B ，则=B A I ( ) A ． ]2,2[- B ． )1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞-
2. 已知复数()1ai
a R i
∈+2的圆内（不包括边界）
，则a 的取值范围是（ ）
A ．()2,2-
B ．(2,0)(0,2)-U
C ． (7,7)-
D ． ()0,2 3.设b a ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列结论成立的是（ ） A.若βα⊂⊂b a ,，且b a //，则βα// B.若βα⊂⊂b a ,，且b a ⊥，则αβ⊥ C.若αα⊂b a ,//，则b a // D.若αα⊥⊥b a ,，则b a //
4. 已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,且2436a a =-,则9S =（ ）
A ．25
B ．27
C ．50
D ．54
5. 已知椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N
是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为21,k k ，若4
1
21=⋅k k ，则椭圆的离心率为( ) A ．
12 B ．22 C ．32
D ．
2
3
6. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为
12，则
23
a b +的最小值为（ ） A ．256 B ．83 C ．11
3
D ．4
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ） A. 43 B. 8 C. 47838.设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a
≡b (mod m ).已知a =2+C 120+C 220·2+C 320·22
+…+C 2020·219
，b ≡a (mod 10),则b 的值可以是
（ ）
A. 2012
B. 2013
C. 2014
D. 2015
9.一批零件有5个合格品和2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品数为X ，则EX 等于（ ）
A ．
221
B ．
5
7
C ．
521
D ．13
10.如图，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在[]0,1上的四个函数，其中满足性质：“对[]0,1中任意的1x 和2x ，任意[]12120,1,[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的有（ ）
A. 13(),()f x f x
B.2()f x
C. 23(),()f x f x
D. 4()f x 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 ; 12．若9290129(2)x a a x a x a x +=++++L ，则
()()a a a a a a a a a ++++-+++2213579246835792468的值为 ；
13. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为
)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使
1
221sin sin F PF c
F PF a ∠=∠，
则该椭圆的离心率的取值范围为 ；
14. 为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域{(,)|0,0}x y x y ≥≥ 内植树,第一棵树在1(0,1)A 点，第二棵树在1(1,1)B 点，第三棵树在C 1（1，0）点， 第四棵树2(2,0)C 点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2013
棵树所在的点的坐标是 。

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.
15（1）（不等式选做题）已知函数)212(log )(2m x x x f -+++=．若关于x 的不等式
1)(≥x f 的解集是R ，则的取值范围是 ；
15（2）
（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心到直线cos 2sin 10ρθρθ-+=的距离为 .
四。

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 16. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知3sin 2sin cos sin cos 2
A C
B B
C =+. （1） 求A sin 的值；（2）若3
3
2cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．
D
C
B
A
E F
M
N
P
F
E
A
B
C
D
17. （本小题满分12分）
一个房间有4扇同样的窗子 ，其中只有一扇窗子是打开的．春暖花开，有一只燕子从开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去，燕子在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间．燕子飞向各扇窗子是等可能的．(1)假定燕子是没有记忆的，求它恰好在第2次试飞时出了房间的概率；(2)假定这只燕子是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只燕子恰好在第X 次试飞时飞出了房间，求试飞次数X 的分布列及其数学期望．
18. （本小题满分12分）
如图（1），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==
，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点． （1）求证： AP ⊥DE ；
（2）当AD 多长时，平面CDEF 与
平面ADE 所成的锐二面角为60o
？
图（1） 图（2）
19. （本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，都有33321212()n n a a a a a a +++=+++L L (1)求12,a a 的值和数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列21n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，不等式1
log (1)3
n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．
20.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程为2
2(0),x py p =>过抛物线上
点()M p -作,MAB ∆A 、B 两均在抛物线上．
过M 作x 轴的平行线，交抛物线于点.N （1）若MN 平分AMB ∠，求证：直线AB 的斜率为定值；
（2）若直线AB ,p 且点N 到直线,MA MB 的
距离的和为4p ，试判断MAB ∆的形状，并证明你的结论.
21. （本小题满分14分） 设函数()(0,1)1x
x
a f x a a a =>≠+
(1)当0x >时,证明:不等式1
()ln 2
f x x a >+
或者恒成立,或者恒不成立; (2)已知11[()][()]2
2
I f x f x =++--,其中[]m 表示不超过实数m 的最大整数,且()1e f I e
=+.当5()n n N +≥∈时,证明: 1
(1)()(
1)2
2
f f f n n n +++<
+L .
高三适应性考试(一)数学(理)试卷参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
A
D
B
C
A
C
A
D
A
11.
3
4
12. 123 13. (21,1) 14. （11，44） 三、选做题
15.（1）1
2
m ≤- （25
四、解答题:共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 解：（1）由
C B B C A cos sin cos sin 2sin 2
3
+=得A C B A A sin )sin(cos sin 3=+= --2分，由于ABC ∆中0sin >A ，1cos 3=∴A ，3
1
cos =A -----------------4分
322cos 1sin 2
=-=∴A A -------------------6分
（2）由332cos cos =+C B 得3
3
2cos )cos(=++-C C A -----------------7分
即
3
32cos cos cos sin sin =
+-C C A C A ，
3
3
2cos 32sin 322=+∴
C C -----------9分 得
3cos sin 2=+C C ，C
C sin 23cos -=，平方得
3
6
sin =
C --------------10分 由正弦定理得2
3
sin sin ==
A C a c -----------------------12分
17. 解：(1)由题意可知：燕子每次试飞出了房间的概率均为1
4
.所以燕子恰好在第2次试飞
时出了房间的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14＝3
16
. -----------------5分
(2)由题意：P (X ＝1)＝14 P (X ＝2)＝34·13＝14 P (X ＝3)＝34·23·12＝1
4
P (X
＝4)＝34·23·12·1＝14
即试飞次数X
所以试飞次数X 的数学期望为EX
＝1·4＋2·4＋3·14＋4·14＝5
2
.
-----------------------12分
18. 解：（
1）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE
∵AP ⊂平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------2分 ∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形 ∴//AP BF ，2AP BF ==
而2,AE PE ==222
AP AE PE += ∴90EAP ∠=o ，即AP AE ⊥-----4
分
又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ，
∵
DE ⊂
平面ADE
， ∴
AP ⊥DE .-----------------------------------------------6分
（2）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),A D m E P 易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =u u u r
，-----------10
设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0
n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r
故22020x y y mz -+=⎧⎨-=⎩
，即020x y y mz -=⎧⎨-=⎩
令1x =，则21,y z m ==，故2
(1,1,)n m
=r ----------------------------------------10
分
∴2
2cos ,4||||
22AP n
AP n AP n m ⋅<>==
+
uu u r r
uu u r r uu u r r ，
依
题
意
，
2
212
422m =
+
，
2
m =，
-------------------------------------------------------11分 即2AD =
时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为
60o ．------------------------12分
解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥ ∴AMP
∠为二面角A-DE-F 的平面角，
------------------------------------------------------8分 由
AMP
∠=60
，AP=BF=2得AM
23
tan 603
AP =
=
o ，
------------------------------------10分 又AD AE AM DE ⋅=⋅得2223
223
AD AD =⋅+， 解得2AD =
，即2AD =时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o ．----12
19. 解：(1)当n ＝1时，有a 3
1＝a 2
1，由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 3
1＋a 3
2＝(a 1＋
a 2)2，
将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2
，
①,则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2
.②
②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2
，
由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2
n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋
a n (n ≥2)，④ ,③－④，得a 2n ＋1－a 2
n ＝a n ＋1＋a n ，
所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n . ----------------------6分
(2)由(1)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1
a n －1a n ＋1
＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.∵S n －1－S n
＝
1n ＋1n ＋3＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞1
3
log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要
13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.
所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12. ----------------------12分
20. 解：（1）(,)M p p -2Q 在()x py p =>220上，p p \=242， 易得p =2，可设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的 斜率为k -，则直线MA 的方程为：y kx k =++222，
联立2222
4y kx k x y ⎧=++⎪⎨=⎪⎩可得248280x kx k ---=，则4A M x x k +=，即
442A M x k x k =-=+224B x k =
则1
()()224
A B AB A B MA MB A B y y k x x k k x x -==+=+=-为定值。

-----------------------6分
（2）由（1）可知A MA x k =224，
B MB
x k =224，则
1()()24
A B AB
A B MA MB A B y y k x x k k x x -==+=+-由条件AB k =
2可得MA MB k k =-，即直线,MA MB 关于MN 对称，则点(,)N 222到直线
MA 或MB 距离都为p
d ==442
，由点到直线距离公式，解得221MA MB k k ==，所以1MA MB k k =-g ，2
AMB π
∴∠=
，即MAB V 为直角三角形。

-----------------------13分。