20刘维定理泊松括号与泊松定理

刘维定理证明:
假定初始时,体元位置为
q , q dq ; p , p dp ( 1,2,, s)
经历时间dt, 这个固定体元中代表点的数目变化
d(dN ) dt d d dtd
t
t
另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元
多自由度的情况也类似. 对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的 空间叫作相空间. 该力学系统在某一时刻的状况也可用相 空间的一个点表示. 随着时间的推移,相空间中的代表点 给出的曲线形成相轨道, 换句话说, 相轨道给出力学系统 随时间的演变过程.
原则上, 给定力学系统的初始状态, 该系统的运动就 由动力学方程完全确定, 即以相空间中某一点为出发点 的相轨道，由动力学方程所完全决定. 但是, 如果系统的 自由度数比较大, 力学系统比较复杂, 我们不能断定相空 间中究竟哪一点准确地代表系统的状态. 怎么办?
同理
Lz , Lx Ly , Lx , Ly Lz
Lx , L2 Lx , L2x Lx , L2y Lx , L2z Lx , L2y Lx , L2z Ly Lx , Ly Lx , Ly Ly Lz Lx , Lz Lx , Lz Lz
如果函数在运动中保持为常数,则 , H 0
t
如果函数也是正则变量和时间的函数,泊松括号[,]
定义为

,


s 1


q

p

p

q

三、泊松括号的性质
(1) c, 0, 如果c是常数
(2) , ,
数目为

q
q dq dtdA

q dtd
q
同理, 得通过曲面p 和p + dp进入d 代表点的净数目
为
p dtd
p
把上面两式相加,并对 求和, 则得在 dt时间内由于代表
点的运动, 穿过d 的边界而进入其中的代表点的净数目
二、泊松括号的定义
如果函数是正则变量q, p 和时间的函数
(t; q1, q2,, qs; p1, p2,, ps )
则它对时间的导数为
d
dt


t

s
1

q
q

p
p


t


s 1


q
H p
的边界的数目来计算在时间dt中代表点的数目变化
先考虑通过一对曲面q, q + dq进出d 代表点的增加. 把体元d表达式改写为
d dAdq , dA dq1dq1dq1dqs ;dp1dps
在内,d柱t 时体间底内为通dA过,q高进为入qd d的t ,代q表为点相必空定间位中于代一表个点柱垂体直
Ly Lz Lz Ly Lz Ly Ly Lz 0
同理
Ly , L2 Lz , L2 0
四、泊松定理
泊松定理:
如果函数, 都是相空间中的运动常数, 则它们 的组合[, ]也是相空间中的运动常数.
因为 (t; q1, q2,, qs ; p1, p2,, ps ) C1
zpx, ypx zpx, px y z, ypx px yz, px px zpx, ypx 0
xpz , ypx xpz , px y x, ypz px yx, px pz xpz , ypx ypz
Ly , Lz ypz zpy Lx

,

t


0
利用泊松括号的性质, 得
, , , H d , 0
t
dt
显然[,]也是运动常数. 还可以通过类似的关系得到
更多的运动常数.
五、量子力学中的泊松括号
在经典力学中, 两个力学量同时具有确定的值并不成为问题. 可是, 在量子力学中这却是个问题. 力学量在量子力学中是用算符 或矩阵表示的, 两个算符或矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵 的先后次序有关的.两个力学量X和Y是否可以同时具有确定的值 就看它们的量子泊松括号
dt


s 1

p
H q
q
H p
0
证明完毕!
刘维定理的另外表示

t

s 1


q
H p

p
H q


0
刘维定理是统计力学的基本的定理. 它是2s维的相空 间中的定理, 在普通空间或 s 维的位形空间(把 s 个广义 坐标作为直角坐标构成的空间)中并不存在类似的定理. 因此, 在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而 不用拉格朗日动力学.
第二十讲 刘维定理 泊松括号
本讲导读
• 统计力学基本定理 •泊松括号的定义 •泊松括号的性质
刘维定理
•泊松定理
一、刘维定理
分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学 简单, 但是对于大数目系统, 往往牛顿力学无法求解,而 运用哈密顿正则方程却容易的多.
哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统 的运动. 对一个自由度问题, 某一时刻的状态用x和p值表 示, 即xp平面上的一个点表示. 随着时间推移, 状态不断变 化, 它在xp平面上刻画出一条曲线.
于曲面q的速度分量. 所以在dt 时间内通过q进入d的
代表点数为
q
dtdA
q
同理, 在dt 时间内通过曲面q + dq离开d 代表点的数
目为
q dtdA q dq



q
q
q
q
dq
dtdA

两者相减, 得通过曲面q 和q + dq进入d 代表点的净
替代的办法：我们只能考虑各种可能的代表点, 其 中每一点都代表系统的一种可能状态. 实质上, 这是考虑 处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综; 相空间中 每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态, 代 表点的相轨道对应于该系统的演变, 各种可能的代表点 则对应于系综中所有力学系统的状况, 各种可能的相轨 道则对应于系综的演变. 这就是统计力学的起点.
刘维定理: 保守力学体系在相空间中代表点的密度, 在 运动过程中保持不变.
物理含义: 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不 同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道 运动.当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域 时, 在新的区域, 代表点的密度,等于在出发区域中的密 度.
设体积元为 d dq1dq2 dqsdp1dp2 dps

p
H q

, H
t
其中[,H]叫做泊松括号.
因为p, q都是相互独立的, 所以
p p
q q


,
p q
q p
0
这样,正则方程也可以简化为
p p , H , q q , H ( 1,2,, s)
(t; q1, q2 ,, qs ; p1, p2,, ps ) C2
, H 0, , H 0
t
t
由泊松括号性质(6)知
H
,
,

,

,
H


,
H
,


H
,
,


,

t


d(dN
)

s

1

p
p


q
q
dtd

显然 所以

t

s

1


p
p

q
q


d
dt



s 1

p p

q q

利用正则方程, 得
d
先计算泊松括号[Ly,Lz],即 zpx xpz , xpy ypx
zpx xpz , xpy ypx zpx , xpy xpz , xpy zpx , ypx xpz , ypx zpx, xpy z px, py x z, xpx py x z, py px zpx , xpy zpy xpz , xpy x pz , py x x, xpz py x x, py px xpz , xpy 0
(7)
q , p


1 0

(8) , 0
(9) ,,,
例1 计算泊松括号[Ly,Lz],[Lz,Lx]和[Lx,Ly]; [Lx,L2],[Ly,L2] 和[Lz,L2].这里L是质点的角动量. 解: 这里广义坐标q1=x,q2=y, q3=z; 广义动量p1=px,p2=py, p3=pz;
n
n
(3) 如 ψ j , 则, ,ψ j
j 1
j 1
(4) , , ,
(5)
t
,ψ



t
,ψ

,
ψ t

(6) , , , , , , 0
1 XY YX
i
是否为零.
如果两个力学量的经典泊松括号为零, 则它们的量子松括号也 为零, 在量个力学中它们是可以同时确定的. 比如, 任意两个广义 坐标可以同时确定, 任意两个广义动量也可以同时确定, 一个广义 坐标和对应的广义动量不能同时确定,一个广义坐标和非对应的广 义动量可以同时确定. 又比如, 角动量的任意两个分量不能同时确 定, 但角动量的一个分量和角动量的平方可以同时确定.
其中代表点的数目为dN, 代表点的密度为, 则
dN d
一般密度随时随地不同, 所以从
(t; q1, q2,, qs; p1, p2,, ps )
知
d
dt

t

s
பைடு நூலகம் 1


q
q

p
p
刘维定理说明在 体系中d/dt=0