2020年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数
高考数学经典易错题会诊与2020届高考试题预测(二)(含解析)
4． ( 典型例题 ) 若集合 M={y|y=2 -x } ， P={y|y= x 1 } ，则 M∩ P 等于 ( )
A ． {y|y ＞ 1} B ． {y|y ≥ 1}
C.{y|y>0} D
． {y|y ≥ 0}
[ 考场错解 ] 选 A 或 B
[ 专家把脉 ] 错误地认为是求函数 y=2-x 和 y= x 1 的定义域的交集．实际上是求两函
， y=g(x) ， 规 定 ： 函 数
h(x)=
f (x) g(x) f (x) g( x)
当x D f 且x Dg 当x D f且x Dg 当x D f 且x D g
(1) 若函数 f(x)= 1 ,g(x)=x 2 ，写出函数 h(x) 的解析式 ;
x1
(2) 求问题 (1) 中函数 h(x) 的值域． [ 考场错解 ] (1) ∵ f(x) 的定义域 Df 为(- ∞， 1) ∪ (1 ， +∞) ， g(x) 的定义域 Dg 为 R. ∴
1
集合 N．求 (1) 集合 M， N； (2) 集合 M∩ N． M∪ N.
[ 考场错解 ] (1) 由 2x-3 ＞ 0 解得 x＞ 3 ．∴ M={x|x ＞ 3 } ．由 1- 2 ≥ 0 得 x-1 ≤ x-3
2
2
x1
∴-1 ≤ -3 ．∴ N= ?．
(2) ∴ M∩ N=?． M∪ N={x|x> 3 } ．
数的值域的交集． [ 对症下药]
∵集合中的代表元素为 y，∴两集合表示两函数的值域，又∴
-x
M={y|y=2 }={y|y>0} ， P={y|y= x 1 }={y|y ≥ 0} ．∴ M∩ P={y|y ＞ 0} ，故选 C．
2020年高考数学容易失分的知识点
下面是本网为你收集的2020年高考数学容易失分的知识点，希望可以帮助同学们解决相关问题。
更多内容请持续关注本网站。
2020年高考数学容易失分的知识点01.遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝？时也满足B？A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
02.忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
03.混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。
04.充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A？B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B？A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A？B，则A，B互为充分必要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断。
05.“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真？p真或q真，命题p∨q假？p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真？p真且q真，命题p∧q假？p假或q假（概括为一假即假）；綈p真？p假，綈p假？p真（概括为一真一假）．求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解。
06.函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。
07.判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。
高考数学出错知识点
高考数学出错知识点近年来，随着高考数学难度的增加，考生对于数学出错知识点的关注也越来越高。
本文将详细介绍高考数学中常见的出错知识点，帮助广大考生避免犯错，取得好成绩。
一、函数知识点容易出错1.函数概念混淆：有些考生经常将函数的自变量和因变量搞混，这是一个常见的错误。
函数的自变量是指函数中的变量，而因变量则是由自变量决定的变量。
2.函数运算错误：在进行函数的加、减、乘、除等运算时，考生容易出错。
在进行函数运算时，需要正确对函数进行合并、分解等操作。
3.反函数的理解不准确：有关反函数的相关概念，考生容易混淆。
反函数是指一个函数f的逆函数，记为f的倒数。
考生在使用反函数时，需要注意区分正函数和反函数之间的关系。
二、概率与统计中容易出错的知识点1.概率的计算错误：在计算概率时，考生容易犯错。
计算概率时，需要根据事件的样本空间和样本点进行确定，而不是随意计算。
2.核心概念混淆：在统计学中，考生容易混淆样本均值和总体均值、样本方差和总体方差等概念。
考生需要明确这些概念的含义和计算方法。
3.抽样调查错误：在进行抽样调查时，考生经常犯错。
抽样调查需要满足一定的条件，而不是随意进行，否则会导致结果的不准确。
三、函数与方程中容易出错的知识点1.解方程错误：在解方程时，考生容易漏项、错项或者运算错误。
在解方程的过程中，要仔细检查每一步是否正确，保证解答的准确性。
2.函数的性质混淆：在讨论函数的增减性、单调性和最值等性质时，考生容易混淆。
对于函数的性质要有清晰的理解，并运用正确的方法来推导和分析。
3.函数图像认知错误：在绘制函数图像时，考生容易出错。
对于不同函数类型，考生应该熟悉其图像特点，并正确绘制。
四、几何中常见的出错知识点1.平行线与垂直线的判断错误：在判断平行线和垂直线时，考生容易混淆。
考生需要掌握判断平行线和垂直线的准确方法。
2.图形对称性分析错误：在分析图形的对称性时，考生容易出错。
对于不同类型的对称图形，考生需要准确判断其对称轴和对称点。
2020年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题03 二次函数和指数函数
2020年高考数学易错点点睛与高考突破专题03 二次函数和指数函数2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-x2．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数a 、b(a≠b)使f(x)在[a ，b]上的值域为[ab 1,1],若存在，求a 和b ，若不存在，说明理由．∴x 1=-1,x 2=-251+,x 3=251-(舍)，∴a=-251+,b=-1. 综合①,②知存在实数a,b,使f(x)在[a,b]上的值域为[ab 1,1]，有a=1,b=251+或a=-1或b-251+. 3.已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数g(x)=-bx,其中a 、b 、c∈R，且满足a ＞b＞c,f(1)=0.(1)证明：函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点A、B;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a、b的值.(3)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围..难点 2 三个“二次”的综合问题1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，且a>0)，设方程f(x)=x的两个实根为x1和x2，(1)如果x1＜2<x2<4，且函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0>-1．(2)如果|x1|＜2,|x2-x1|=2,求b的取值范围．2．设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ，b ，c∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R,f(x -4)=f(2-x)，且f(x)≥x； ②当x∈(0，2)时,f(x)≤2)21(x ； ③f(x)在R 上的最小值为0． (1)求f(x)的表达式；(2)求最大的m(m ＞1)，使得存在t∈R，只要x∈就有f(x+t)≤x 恒成立．3．已知f(x)=ax 2+2bx+4c(a 、b 、c∈R)(1)当a≠0时，若函数f(x)的图像与直线y=±x 均无公共点，求证：4ac-b 2＞41. (2)若a+c=0,f(x)在[-2，2]上的最大值为32，最小值为-21求证：ab≤2．(3)当b=4，c=43时，对于给定负数a ，有一个最大正数M(a)使得x∈[0，M(a)]时都有|f(x)|≤5，问a 为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)证明你的结论．(4)若f(x)同时满足下列条件①a>0；②当|x|≤2时，有|f(x)|≤2；③当|x|≤1时,f(x)最大值为2，求f(x)的解析式．M(a)=21424216228648=++=+--πa a a难点3含参数的对数函数与不等式的综合问题1．已知函数f(x)=log2(x+1)，当点(x，y)在y=f(x)图像上运动时，点P(21 +-tx,2y)在函数y=g(x)的图像上运动．(1)求y=g(x)的解析式；(2)当t=4，且x∈[0，1]时，求g(x)-f(x)的最小值；(3)若在x∈[0，1]时恒有g(x)＞f(x)成立，求t的取值范围．(3)由g(x)>f(x)，即2log2(2x+t)>log2(x+1)，在x∈[0，1]时恒成立，即ϕ(x)=4x 2+4(t-1)x+t 2-1>0在[0，1]上恒成立．即⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧∆--≤⎪⎩⎪⎨⎧--1)1(1814081400)0(0814φφπφπϕϕt t t 或或即1＜t≤817或t ＞817综合，得t>1．即满足条件t 的取值范围是(1，+∞)2．设函数f(x)=a x+3a(a ＞0且a≠1)的反函数为y=f -1(x)，已知函数y=g(x)的图像与函数y=f -1(x)的图像关于点(a ，0)对称．(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)是否存在实数a ，使当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f -1(x)-g(-x)|≤1成立?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【易错点点睛】易错点1 二次函数的图象和性质的应用1．(2020模拟题精选)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围．由①,②得a=1.3．已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．【特别提醒】利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-ab2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.【变式探究】1 若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( )A ．f(2)>f(0)>f(-2)B ．f(-2)＞f(2)＞(0)C ．f(0)＞f(-2)＞f(2) D. f(-2)＞f(0)>f(2)3 设函数f(x)=ax 2+bx+1(1，b∈R)．(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．4 已知二次函数f(x)=(lga)x 2+2x+4lga 的最大值为3，求a 的值．答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga a aa x lg 4lg 1)lg 1(2+-+由已知，f(x)有最大值3，∴lga<0并且.3lg 4lg 1=+-a a整理得4（lga ）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=.101000410.41lg .0lg .4141==∴-=<-a a a 故取Θ易错点2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1．(2020模拟题精选)函数y=e｜lnx ｜-|x-1|的图像大致是 ( )2．(2020模拟题精选)在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x 这四个函数中，当0<x 1<x 2<1，使f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221x x >2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 ( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．33．(2020模拟题精选)若函数f(x)=lo g a (2x 2+x)(a>0且a≠1)在区间(0,21)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 ( )A.(-∞，-41) B ．(-41，+∞) C ．(0，+∞) D．(-∞，-21) 【错误答案】 选A 或C【错解分析】 选A ，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C ，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上 (0，+∞)是f(x)的递减区间．【正确解答】 D ∵f(x)=log a (2x 2+x)(a>0且a≠1)在区间(0，21)内恒有f(x)>0，若a>1，则由f(x)>0 x>21或x<-1．与题设矛盾.∴0<a<1．设ϕ(x)=2x 2+x=2(x+41)2-81.ϕ(x)>0⇒x>0(2)解法1 由｜m-f -1(x)｜+ln(f′(x))<0得-ln .a e e x x ++ln(e x -a)<m<ln(e x-a)+ln ．即对于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有ae a e e x x x +-)(<em ＜xx e a e 22)(- ①设t=e x，u(t)=a t a t t +-)(，v(t)=ta t 22-，于是不等式①化为u(t)<e m<v(t)，t∈[3a，4a] 当t 1<t 2,t 1,t 2∈[3a，4a]时u(t 2)-u(t 1)=a t a t t +-222)(-a t a t t +-111)(=))((])()[(212212112a t a t a t t a t t t t ++-++-＞0.【特别提醒】论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用.【变式探究】 1 已知函数f(x)=e21(e x +e 2-x)(x<1)(其中e 为自然对数的底数)，则 ( ) A ．f -1(21)<f -1(23) B ．f -1(21)＞f -1(23)C.f -1(23)<f -1(2) D.f -1(23)＞f -1(2)答案： D 解析： f(x)=.).2()23(.],1[)(,,)1,(1)(,),0(,)1)((211112D f f x f x f e t t e x e e e e x x x 选上是减函数在性相同在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令--->∴+∞∴-∞≥∈=<+2 已知f(x)=a x+log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.41B. 21C ．2D ．4 答案： B 解析：f(x)=a x+log a (x+1)是单调递增（减）函数. (∵y=a x与y=log a (x+1)单调性相同).且在[0，1]的最值分别在端点处取得，最值之和：f(0)+f(1)=a o+log a 1+log 22=2, ∴log a 2+1=0, ∴a=∴.21选B.3 对于0<a<1，给出下列四个不等式 ( )①log a (1+a)＜log a (1+a 1) ②log a (1+a)＞loga(1+a1) ③a 1+a <a a 11+④a 1+a>a a 11+其中成立的是 ( )A.①与③B.①与④C.②与③ D．②与④ 答案： D 解析：.),11(log )1(log .log .111,11,10111a a a a x xa a a aa a y y a a a a a ++>+>+∴==+<+∴<<∴<<均为减函数与而Θ选D 。
高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数
2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题02 函数和反函数1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx 成立．若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明：34＜x x f )(＜23．难点2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a ＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a ．【答案】(1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x 3-2ax得f(x)=4x 3-2ax(x∈[-1，0])2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．当21a>2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．难点3 反函数与函数性质的综合1．在R 上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M ⊂R +函数值f(x)的集合为[0，2]且f(21)=1；又对M 中的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)．(1)求证：41∈M，而81∉M ；(2)证明:f(x)在M 上的反函数f -1(x)满足f -1(x 1)·f -1(x 2) =f -1(x 1+x 2)．(3)解不等式f -1(x 2+x)·f -1(x+2)≤41(x∈[0，2])． 【解析】 由给定的函数性质，证明自变量x 是属于还是不属于集合"，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．【答案】(1)证明：∵21∈M，又41=21×21,f(21)=1．∴f(41)=f(21×21)=f(21)+f(21)=1+1=2∈[0，2]， ∴41∈M，【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )．【变式】函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A．2 B．4 C．6 D．8解析：令1－x＝t，则x＝1－t.【易错点点睛】易错点1 函数的定义域和值域1．(2013模拟题精选)对定义域D f 、D g 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈∙gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()()()( (1)若函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域．【错误答案】 (1)∵f(x)的定义域D f 为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域D g 为2．(2013模拟题精选)记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A ； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．3．(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=121--的定义域为集合N ．求集合M ，N ；集合M∩N．M∪N.⎩⎨⎧≠≥--⇒≥--10)1)(3(013x x x x x ∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题02 三角函数的图象和性质(含答案)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题02 三角函数的图象与性质【主题考法】主题点考题形式为选择填空题，主要考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值、有 界性、图象的平移和伸缩变换及图像及图像应用，考查运算求解能力、转化化归思想、数形结合思想。
分值为5分，在复习时应予以关注.【主题回扣】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；学科-网 当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． 【易错提醒】1.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.3.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为||ωπ，而不是φ.【主题考向】考向一 三角函数的单调性【解决法宝】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：（1）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的函数的单调区间，基本思路是把x ωϕ+看作是一 个整体，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈求得函数的增区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈求得函数的减区间．（2）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=-+>>的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数， 得到sin()y A x ωϕ=--，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤-≤+∈得到函数的减区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤-≤+∈得到函数的增区间． （3）对于sin()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+等，函数的单调区间求法与sin()y A x ωϕ=+ 类似．例1将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）A. （）B. （）C.（） D.（）【分析】先通过变换求出的解析式，再利用整体代换求出单调递减区间.【答案】C考向二 三角函数的周期性与奇偶性【解决法宝】1．对三角函数的奇偶性的问题，首先要对函数的解析式进行恒等变换，化 为一个角的三角函数，再根据定义、诱导公式去或图像判断所求三角函数的奇偶性，对奇偶性熟记下列结论可以快速解题：①)sin(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；②)sin(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；③)cos(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；④)cos(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；2．对三角函数周期问题，先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用 下列方法求三角函数周期：①利用周期函数的定义；②利用公式：sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2||πω，tan()y x ωϕ=+的 最小正周期为||πω； ③利用图象． 例2 已知函数，下列结论中错误的是（ ）． A. 的图象关于点中线对称 B.的图象关于对称C.的最大值为D.既是奇函数，又是周期函数【分析】通过计算)2()(x f x f -+π是否为0，即可判断选项A 是否正确；通过计算即可判 定)()(x f x f =-π是否成立，即可判定B 是否正确；利用倍角公式、换元法和导数即可求出函数)(x f 的最值；利用函数奇偶性的概念与函数周期定义即可对D 作出判断.【解析】项，因为．即，故函数图象关于点成中心对称．故正确；项，，故函数图象关于直线对称，故项正确；项，，令，，令，得或，根据函数的单调性分析得有极大值，而当时，，时，，所以时，取得最大值，即的最大值为，故项错误； 项，因为，所以函数是奇函数，且图象关于对称，即，，因此，从而．即函数是以为周期的奇函数，故选．考向三 三角函数的对称性【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用正弦函数、余 弦函数、正切函数的对称性及整体思想，求解对称轴和对称中心，也可以利用对称轴过最值点解题.例3已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.【分析】根据图象求出)(x f 的解析式，再用整体代换法即可求出)(x f 对称轴. 【解析】,,,所以,右移的到,将选项代入验证可知选项正确.考向四 三角函数的值域与最值【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为形如)sin(ϕω+=x A y 的一个角的三角函 数，再根据所给自变量的范围，利用不等式性质求出ϕω+x 范围，再利用函数x y sin =图像与性质求出)sin(ϕω+=x y 的值域（最值），即可求出)sin(ϕω+=x A y 的值域（最值）.例4 已知函数()23sin cos f x x x ωω=⋅ 22cos 1(0)x ωω+->的最小正周期为2π，则当 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是（ ） A. []2,1-B. []2,2-C. []1,1-D. []1,2-【分析】先利用降幂公式对()f x 降幂，再利用辅助角公式化为一个角的三角函数，利用周期公式求出ω的值，再利用复合函数求值域的方法，即可当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域.【答案】D考向五 三角函数的图象及其应用【解决法宝】1.函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤（1）确定sin()(0,0,||)y A x k A ωϕωϕπ=++>><中的参数的方法：在由图象求解析式时， 若最大值为M ，最小值为m ，则2M mA -=，2M m k +=，ω由周期T 确定，即由2T πω=求出，ϕ由特殊点确定．（2）由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再 周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．2.已知三角函数图像求三角函数解析式：思路①，先用三角函数的最值列出关于振幅的方 程，从而解出振幅，再利用五点作图法，列出关于ϕω,的方程，解出ϕω,，即可求出解析式；思路②，先用三角函数的最值列出关于振幅的方程，从而解出振幅，利用周期求出ω，再利用特殊点（一般为为最值点）求出ϕ，即可写出解析式.3.在求三角函数在某个区间上的值域（最值）时，常常要用到三角函数图像与性质. 例5已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数 ()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin 4g x x =B. ()2sin2g x x =C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】先由()f x 的图象求出函数()f x 的解析，再通过对函数的图象变换即可求出()g x 的解析式.【解析】由图象可得2,4T A π==，故14,2T πω==，∴()12sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵点（0,1）在函数的图象上，∴()02sin 1f ϕ==，∴1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，∴6πϕ=．∴()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将函数()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14所得图象对应的解析式为12sin 42sin 2266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后再向右平移6π个单位，所得图象对应的解析式为2sin 22sin(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()2sin(2)6g x x π=-．选D ．【主题集训】 1.已知函数，则下列说法不正确的是( )A. 的一个周期为B. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称C.在上单调递减 D.的图象关于对称【答案】B2.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在 区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)32cos(2)(π-=x x g ,故该函数的单调递增区间为ππππk x k 2322≤-≤-,即)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ,由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤3263πππa a ,解之得23ππ≤≤a ,应选 A.3.将函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移56π个单位得到函数()y g x =的图象，则 712g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 3- D. 3【答案】A【解析】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，向左平移56π个单位得到函数()y g x ==22sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭，故7722sin 212123g πππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知函数，其中，，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C.在上单调递增D.在上单调递增【答案】B 【解析】函数，其中，，是奇函数,故，，根据直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为得到周期为，故得到w=4,故函数表达式为，单调减区间为故得在上单调递减，故选B.5.若函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为奇函数，且在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，则θ的一个值为（ ） A. 3π-B. 6π-C.23πD.56π 【答案】D 6.设函数 ，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A ．7.将函数()3sin cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ）A ．(,)42ππ-B ．(,)2ππC ．(,)24ππ--D ．3(,2)2ππ 【答案】C【解析】 因为()2sin()26x f x π=-，所以2()()2sin()2cos 32632x xg x f x πππ=-=--=-，则()g x 在(,)24ππ--上递减．8．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一条对称轴方程可能是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】由题得，所以它的对称轴方程是故选C.9.若将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为图象关于原点对称，将代入，∴，解得，∵，当时，，故选10.若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图得再将代入中，得，则，结合，令可得，（为常数），当时，，则：，故选C.11．已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个12.函数()()13tan cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．31+ 【答案】C【解析】()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=6sin 2sin 3cos cos tan 31πx x x x x x f ，因为63ππ<<-x ，所以366πππ<+<-x ，故()f x 的最大值为3，故选C.13.函数的部分图象如图所示，已知，，且，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，函数的周期满足：，当时，，据此可得：，令可得，则，由，，且，可得：，则，故选C .14.若函数()()()()3sin 2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．-1B ．3- C. 12- D ．32-【解析】因为()3sin(2)cos(2)2sin(2)6f x x x x θθθπ=+++=++，则由题意，知()2sin()026f θππ=π++=，又0θ<<π，所以6θ5π=，所以()2sin 2f x x =-，在[,]44ππ-上是减函数，所以函数()f x 在[,]46ππ-的最小值为()2sin 363f ππ=-=-，故选B ．15.函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A 【解析】根据函数（其中，）的图象过点，可得A=1，．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，函数f （x ）=sin （2x+）．故把f （x ）=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=sin （2x++）=cos2x 的图象，故选：A ．16.已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】函数（），若是函数的一条对称轴，则是函 数的一个极值点，，根据题意有，又，故，结合选项，点所在的直线为，故选C.17.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.18.已知函数，若，则函数恒过定点__________．【答案】【解析】由题意是图象的一条对称轴，∴，化简得，因此在中令，则，即过定点．19.设函数，给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的一个零点为；④在单调递减，其中正确结论有__________（填写所有正确结论的编号）．【答案】①②③20.将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则__________．【答案】3【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，因为，所以为一个对称中心，即=，因为在上单调递减，所以即21.设函数，已知常数且满足，，则关于的不等式的解集为________.【答案】22.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________．【答案】【解析】把函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则，因为令可得，故答案为.20.【山东省烟台市2018届自主练习】已知函数与的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数可能为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题得是一个偶函数，当由得，由得，所以函数的增区间是，减区间是，所以函数的草图如下，且.函数与的图象有两个公共点,所以，所以函数的最长周期为1-（-1）=2，所以.所以，故选A.。
高考数学易错知识点
高考数学易错知识点高考数学易错知识点13篇在平日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺帮大家整理的高考数学易错知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
高考数学易错知识点1一、集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。
2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗？4.简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。
6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。
7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。
8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。
9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
例如：。
10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？定义法(取值，作差，判正负)和导数法11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。
12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题？①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗？14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次？)的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形？二、不等式1.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？3.解分式不等式应注意什么问题？用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么？4.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.5. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。
2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题：函数的应用(全国版含解析)
高考考点
命题分析
函数的零点
函数模型及其 应用
高考对函数应用的考查主 要是函数零点个数的判断、零点 所在的区间．近几年全国卷考查 函数模型及其应用较少，但也要 引起重视.
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ高考探源
2019 江苏 14 2019 浙江 9 2018 课标全国Ⅰ9 2018 课标全国Ⅲ15 2017 课标全国Ⅲ6 2017 课标全国Ⅲ11
☆技巧点拨☆
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象 及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)、f(b)与 0 的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下 三种常用方法： ①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间； ③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
3x2
lx
3
x
l 6
2
l2 12
，
x
0,
l 3
，
∴当且仅当
2016 四川 5 2015 四川 13
考查频率 ★★★★
2020高三复习策略：高考数学最易失分知识点全梳理
2020高三复习策略：高考数学最易失分知识点全梳理2020高考即将开战，你准备好了吗？为各位考生整理了一些高考复习方法，供大家参考阅读！1、忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=空集时也满足B真属于A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
2、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
3、混淆命题的否定与否命题命题的否定与命题的否命题是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对若p，则q形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。
4、函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图像，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
5、判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数6、函数零点定理使用不当致误如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)0时，不能否定函数y=f(x)在(a，b)内有零点.函数的零点有变号零点和不变号零点，对于不变号零点函数的零点定理是无能为力的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题7、导数的几何意义不明致误函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率.但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程.然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解.因此解题中要分清是在某点处的切线，还是过某点的切线。
反函数的知识点总结
反函数的知识点总结一、反函数的概念反函数是函数的一个重要概念，它是指对于一个给定的函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得对于f的定义域中的任意x，都有f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么g就是f的反函数，记作g=f^(-1)。
也就是说，反函数是对原函数进行逆运算的函数。
反函数的存在与否直接与原函数的性质有关，比如函数是否是一一对应的，以及函数的定义域和值域等。
二、反函数的性质1. 对于函数f(x)，其反函数f^(-1)(x)的定义域和值域是原函数f(x)的值域和定义域，即f^(-1)(x)的定义域是f(x)的值域，f^(-1)(x)的值域是f(x)的定义域。
2. 对于反函数f^(-1)(x)，有f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x成立。
3. 若原函数f(x)是一一对应的，则其反函数f^(-1)(x)也是一一对应的。
一一对应的函数是指对于不同的自变量，其函数值必然不同。
4. 原函数f(x)和其反函数f^(-1)(x)的图象关于y=x对称。
三、反函数的求解方法求解函数的反函数，一般有以下几种方法：1. 通过代数方法直接求解对于一些简单的函数，可以通过代数方法直接求解其反函数。
比如对于f(x)=2x+3，可以通过代数运算得到其反函数f^(-1)(x)=(x-3)/2。
2. 通过图像求解通过作出原函数的图象，再通过求出其关于y=x的对称图象，得到反函数的图象，从而得到反函数的表达式。
3. 通过换元法求解对于一些复杂的函数，可以通过换元法来求解其反函数。
比如对于f(x)=e^x，可以通过令y=e^x来求解其反函数。
4. 通过迭代法求解对于一些无法用代数方法求解的函数，可以通过迭代法来求解其反函数。
迭代法是通过反复逼近的方式来求解函数的反函数。
四、反函数的应用反函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 函数的逆运算反函数是对原函数进行逆运算的函数，它可以帮助我们对原函数进行逆运算，从而解决一些实际问题。
高考数学考前易混易误点提示
高考数学考前易混易误点提示1、log x xa y a y ==指数函数与对数函数互为反函数2、函数的奇偶性、对称性、周期性的有关结论记熟悉了吗()()2||()(,0)(,0)()2||()(,0)()4||.....y f x x a x b y f x T b a y f x a b y f x T b a y f x x a b y f x T b a =====-===-====-函数的对称轴和，则函数的周期函数的对称中心和，则函数的周期函数的对称轴和对称中心，则函数的周期3、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？4、判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域关于原点对称的条件下，进一步判断时需要在定义域条件下把解析式化到最简在判断吗？ 5、切记定义在R 上的奇函数y=f(x)必定过原点。
6、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)7、 你知道勾勾函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！8、 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀. 9、 你知道判断对数b a log 符号的快捷方法吗？10、对数型函数、指数型函数过定点会求吗？（基本规则是01,log 10|a a ==）11、有关指数运算法则熟悉吗？( a m ) n = am nmnmn aa1=-m n mn a a =12、有关指数运算法则熟悉吗？l o g l o g m na an b b m =log a N =aNlog1 log a a b= ba log a N = N log a Nb = b log a N （9）换底公式：log a N =a Nb bloglog13、指数式与对数式的互化会吗？l o g baN b a N =⇔=14、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？15、在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？16、在三角中，你知道1等于什么吗？（22=1sin x+cos x这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用．17、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）18、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()19、忽视注意三角函数值对角范围的制约致错三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。
高中数学【易错点3】反函数
1 求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域 例3、 ()2112
x x a f x ⋅-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数()1f x - 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.
（2）由1a =即()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211x y y -=+由于1y ≠故121x y y +=-，112log y
y x +-=，而()2121
x x f x -=+()211,121x =-∈-+所以()()1112log 11x x f x x +--=-<< 【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。
（2）应用1()()f b a f a b -=⇔=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数()()111f x x x =
-≥的反函数是（） A 、()2221y x x x =-+< B 、()2221y x x x =-+≥
C 、()221y x x x =-<
D 、()2
21y x x x =-≥ 答案：B。
2024年高考数学易错知识点总结
2024年高考数学易错知识点总结一、函数与导数1. 极限与连续- 对于函数极限的计算，要注意分母为0的情况，可以通过分子分母同时除以最高次的幂来进行化简- 对于无穷小与无穷大的计算，要掌握常用的等价无穷小，如lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→+∞)x^n/Exp(x)=0- 判断函数的连续性时，要注意在函数定义域内是否有间断点，如分段函数、有理函数在分母为0时的情况等2. 函数及其性质- 函数的单调性判断，可以通过导数的正负来判断，但要注意导数为0的点，以及临界点的处理- 判断函数的最值时要分析临界点和区间端点处的函数值- 函数的奇偶性和周期性的判断，要利用函数与自身进行运算的性质，如f(-x)=f(x)为偶函数，f(x+T)=f(x)为周期函数3. 导数与应用- 导数的定义和计算要熟练，并注意在计算过程中的合并、分解、化简等操作- 对于复合函数的导数计算，要掌握链式法则和导出对应关系- 有关曲线的切线、法线等问题，要根据给定条件利用导数求解二、数列与数学归纳法1. 数列的概念和性质- 数列的概念和表示要清楚，包括通项公式、递推公式、前n 项和等- 数列的性质中，等差数列和等比数列的公式要熟记，并能根据给定条件求解未知量2. 数列极限- 数列极限的概念要清楚，与函数极限的差异也要明确- 数列极限的计算要根据给定条件选择合适的方法，如加减常数法、乘除常数法、夹逼定理等- 数列极限的存在性要搞清楚，在给定条件下是否收敛或发散3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想要掌握，并能正确运用到具体问题中- 数学归纳法的证明步骤要清晰，包括验证基本步骤、假设n=k成立时推导出n=k+1成立等三、概率与统计1. 概率的计算- 简单事件与复合事件的计算，要注意乘法原理与加法原理的运用- 条件概率的计算要用到乘法定理，注意条件的约束关系- 事件的独立性要根据给定条件进行判断，注意独立事件与互不相容事件的区别2. 随机变量与概率分布- 随机变量的概念与分类要明确，包括离散型随机变量和连续型随机变量- 概率分布的计算要找出随机变量的取值范围和对应的概率，并计算期望、方差等相关指标3. 统计与抽样- 统计调查的基本概念和方法要掌握，包括调查对象、抽样方法等- 样本参数与总体参数的关系要明确，并能根据样本数据估计总体参数- 统计推断与假设检验的基本原理要理解，包括零假设、备择假设的设定、显著性水平等四、解析几何1. 平面与直线- 二维坐标系的建立和性质要掌握，包括斜率、距离等基本公式的运用- 直线的方程要能够根据给定条件写出，并能进行相交、平行等关系的判断2. 曲线与圆- 圆的方程要熟记，并能根据给定的条件求解未知量- 椭圆、双曲线等的方程和性质要了解，包括焦点、准线等概念3. 空间几何- 三维空间直角坐标系的建立和性质要掌握，包括点的坐标表示以及与直线、平面的关系等- 二次曲面的方程和性质要了解，包括球面、椭球面等的概念以上为2024年高考数学易错的知识点总结，建议同学们在备考过程中重点关注这些知识点，加强理解和巩固。
反函数知识点总结
反函数知识点总结
反函数知识点总结
函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，
例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条件
按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．
3．函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．4．反函数的几个简单命题
（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．
（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．
高中数学反函数知识点总结（二）。
高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题02 三角函数(教师版)
高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题02 三角函数（教师版）一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、 反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。
2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。
解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。
成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。
图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可。
3．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
2020年高考数学(文)之纠错笔记专题02 函数含答案
专题02 函数易错点1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0）， 即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+，则()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x - C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t =，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-，又11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．易错点2 分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2af f f a ＝的a 的取值范围是 A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122af a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝， 方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a f f a －－＝＝，故()()()2af f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222aa f＝，故()()()2af f f a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3 C ．(0,2)D ．(]0,2【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <；1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 【答案】D易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．()4,16 B ．[]4,16C ．[)16,+∞D ．][(),416,-∞+∞U【解析】根据题意，函数2()6f x x kx =--的对称轴为x 2k =，若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2k ≤2或2k≥8， 解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）； 故选D ． 【答案】D易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x 2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） (2)||2f x x ---＝，∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵()()f x f x x-=--，∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是 A ．cos y x x =+ B ．3sin y x x =C ．)lny x =D ．e e x x y -=+【解析】cos11cos(1)1,cos11[cos(1)1]+≠--+≠---Q ，所以A 为非奇非偶函数，33sin [()sin()],x x x x x =--∈R Q ，所以B 为偶函数，0,,x x x ≥∴∈R Q))lnln()ln10x x +-==Q ，所以C 为奇函数，()e e e e ,x x x x x ----+=+∈R Q ，所以D 为偶函数，故选C . 【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.易错点5 因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ] 12＝________.【错解】（1－a ）[（a －1）－2·（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（a －1）－1·（－a ）14 ＝－（－a ）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a ）12 ，即相当于告知－a ≥0，故a ≤0，这样，[（a －1）－2]12 ≠（a －1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件． 【试题解析】由（－a ）12 知－a ≥0，故a －1<0.∴（1－a ）[（a －1）－2（－a ）12 ]12 ＝（1－a ）（1－a ）－1·（－a ）14 ＝（－a ）14 . 【参考答案】（－a ）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a -，则必须有－a ≥0，即a ≤0.5．已知a =b =c =则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【解析】a =b =c =则a 70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b 70＝514＝（52）7＝257， c 70＝710＝（72）5＝495，∴a >c ，a >b ， 又b 70＝514＝（57）2＝（78125）2 c 70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b >c ， ∴a ＞b ＞c ， 故选A ． 【答案】A易错点6 忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log （a －2）（5－a ）＝b 中，实数a 的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则113x y+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．【解析】∵lg2x +lg8y ＝lg2，∴lg （2x •8y ）＝lg2，∴2x +3y ＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ． 【答案】C易错点7 复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）． 【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数，要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域； （2）拆分函数；（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性； （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【答案】A不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.易错点8 零点存在性定理使用条件不清致误函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ． 【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞【解析】函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选D ． 【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A →非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数 f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期． （4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题．（2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度.②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点．（2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）· f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．2sin cos ++x xx xC ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称． 又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦U D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦U .故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+ C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e(,)e e-+∞+ 【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x 值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②. 当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b 1−a，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．已知函数()()()ln 2ln 6f x x x =-+-，则A ．()f x 在()2,6上单调递增B ．()f x 在()2,6上的最大值为2ln2C ．()f x 在()2,6上单调递减D ．()y f x =的图象关于点()4,0对称 【答案】B【解析】()()()()()ln 2ln 6ln 26f x x x x x ⎡⎤=-+-=--⎣⎦，定义域为()2,6，令()()26t x x =--，则ln y t = ,二次函数()()26t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在()2,4上单调递增，在()4,6上单调递减，A 错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以()()()max ln 42ln 642ln2f x =-+-=，B 正确．13．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+,若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=L LA ．2018-B ．2C ．0D ．50【答案】B【解析】f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数， 可得f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1﹣x ）=f （1+x ）即有f （x +2）=f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ），进而得到f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ）， f （x ）是周期为4的函数，若f （1）=2，可得f （3）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2， f （2）=f （0）=0，f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0， 可得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018） =504×0+2+0=2． 故选：B ．14．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________．【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1xa u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-.【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝__________．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.16．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜ g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．17．已知函数()212,632,x x af x x x x a ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．【答案】1,36⎛- ⎝【解析】函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，就是函数()f x 与y ax =有三个交点，也就是函数y ax =与()232,f x x x x a =++≤的图象有两个交点，y ax =与()12,6f x x x a =+>的图象有一个交点，画出函数()f x 与y ax =的图象如图，函数y ax =，看作直线斜率为a ，由图象可知，1,6a a >小于直线与抛物线相切的斜率，由232y axy x x =⎧⎨=++⎩，可得()()22320,380x a x a ∆+-+==--=，解得3a =-，综上1,36a ⎛∈-⎝时，函数()f x 与y ax =的图象有三个交点，即函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，故答案为1,36⎛- ⎝.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .18．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[][]2.72, 1.32=-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为__________． 【答案】1e 2e+- 【解析】由题意可知：[]1x x x -<≤ . 令()ln(1)(1)g x x x =+--.则()1101g'x x =-<+. 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<， 所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点，只需考虑：()10ln 11x x -<<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，()01ln 10x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()12 ln 11x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()23ln 12x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得三个零点分别为11,e 1,0e--， 故答案为:1e 2e+-． 【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素.20．设函数32()31f x x x =++．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a -=--，x ÎR ，则实数a =__________，b =__________． 【答案】2-，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．【思路点睛】先计算()()f x f a -，再将2()()x b x a --展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．21．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________． 【答案】512【解析】Q 定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数， 因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10，根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=， 当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点， 结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有_______________对关于原点成中心对称的点． 【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图象的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图象的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有3对关于原点成中心对称的点．23．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是__________． 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。
高考数学 黄金易错点专题汇编 专题02 函数和反函数
2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题02 函数和反函数1．记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B. (1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．2．记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=121--的定义域为集合N ．求 集合M ，N ；集合M∩N．M ∪N.3．若集合M={y|y=2-x}，P={y|y=1-x }，则M∩P 等于 ( )A ．{y|y ＞1}B ．{y|y≥1}C.{y|y>0} D ．{y|y≥0}4．已知a≥0，且函数f(x)=(x2-2ax)ex 在[-1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．5．已知函数f(x)=ax+12+-x x (a ＞1)(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．6．若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x 的取值范围是 ( )A ．(-∞，2)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-2，2)7．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=21对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______8．设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0．(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上根的个数，并证明你的结论．9． y=22x x -(1≤x≤2)的反函数是 ( ) A.y=1+21x -(-1≤x≤1) B.y=1+21x - (0≤x≤1) C.y=1-21x - (-1≤x≤1) D.y=1-21x - (0≤x≤1)10．设f-1(x)是函数f(x)=21(ax-a-x)(a ＞1)的反函数，则使f-1(x)＞1成立的x 的取值范围为 ( )A ．(a a 212-，+∞) B．(-∞，a a 212-)C ．(a a 212-,a) D ．(a ，+∞)11.设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=________．故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(-∞，-2)∪[21，1]．【错解分析】上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．【正确解答】设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=ax2+121211122+---+-x x a x x x = ax2-ax1+12121122+--+-x x x x =ax1(ax2-x1-1)+)1)(1()1)(2()2)(1(122121+++---+x x x x x x =ax1(ax2-x1)+)1)(1()(31212++-x x x x .∵x2-x1>0，又a>1，8．【错误答案】依题意f(x)=f(4-x)．f(x)=f(14-x)．∴f(4-x)=f(14-x)，∴f(x)=f(x+10)∴f(x)是以 10为周期的函数,f(3)=0．∴f(-3)=f(7)=0．∴f(3)=f(-3)=-f(3)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由(1)知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(1)=0，∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0．故f(x)在[0，10]上有两个解，从而可知函数y=f(x)在[0，2005]上有401个解．[-2005，0]上有401个解，所以函数丁y=f(x)在[-2005，2005]上有802个解．10．【错误答案】 C∵y= 21 (ax-a-x)，∴a2x-2y·ax -1=0．ax=21222++y y =y+12+y ．∴x=loga(y+12+y )，x 、y 对换．∴f-1(x)=loga(x+12+x )(x ∈R)又∵f-1(x)＞1，∴loga(x+12+x )＞1⇒x +12+x ＞a. 12+x ＞a-x ⎪⎩⎪⎨⎧-⇔a a x a x 212 ∴a a 212-<x<a ．选C. 易错起源1、函数的定义域和值域例1．对定义域Df 、Dg 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈∙g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()()()((1)若函数f(x)=11x ,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．1.对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年高考数学易错点点睛与高考突破专题02 函数和反函数1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx 成立．若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明：34＜x x f )(＜23．难点2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x -2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a ＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a ．【答案】 (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x 3-2ax得f(x)=4x 3-2ax(x∈[-1，0])2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．当21a>2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．难点3 反函数与函数性质的综合1．在R 上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M ⊂R +函数值f(x)的集合为[0，2]且f(21)=1；又对M 中的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)．(1)求证：41∈M，而81∉M ；(2)证明:f(x)在M 上的反函数f -1(x)满足f -1(x 1)·f -1(x 2)=f -1(x 1+x 2)．(3)解不等式f -1(x 2+x)·f -1(x+2)≤41(x∈[0，2])． 【解析】 由给定的函数性质，证明自变量x 是属于还是不属于集合"，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．【答案】(1)证明：∵21∈M，又41=21×21,f(21)=1．∴f(41)=f(21×21)=f(21)+f(21)=1+1=2∈[0，2]，∴41∈M，【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论． 【例1】设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )．【变式】函数y＝11－x的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A．2 B．4 C．6 D．8解析：令1－x＝t，则x＝1－t.【易错点点睛】易错点1 函数的定义域和值域1．(2020模拟题精选)对定义域D f 、D g 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈•gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()()()( (1)若函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域．【错误答案】 (1)∵f(x)的定义域D f 为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域D g 为2．(2020模拟题精选)记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A ； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．3．(2020模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=121--的定义域为集合N ．求集合M ，N ；集合M∩N．M∪N.⎩⎨⎧≠≥--⇒≥--10)1)(3(013x x x x x ∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。
2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．【变式探究】1 若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0)答案：D 解析：∵4-a .0,024.2402≤∴><⇔>•a R a R xxx 上恒成立在的解集为2 已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为 ( ) A ．[-4，1] B ．[0,5] C ．[-4，1]∪[0，5] D ．[-2，3]答案：D 解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.3 已知函数f(x)=lg(x 2-2mx+m+2)(1)若该函数的定义域为R ，试求实数m 的取值范围．解析：(1)由题设，得不等式x 2-2mx+m+2>0对一切实数x 恒成立， ∴△=（-2m ）2-4(m+2)<0,解得-1<m<2.(2)若该函数的值域为R ，试求实数m 的取值范围．答案：由题设，得不等式△=（-2m ）2-4(m+2) ≥0解得m≤1或m≥2.3.已知函数f(x)=log 31822+++x nx mx 的定义域为R ，值域为[0，2]，求实数m ，n 的值．或⎩⎨⎧≥≥-0)1(11g a解得，a∈Ø．(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数， 则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．∴e x[x 2+2(1-a)x -2a]≤0在[-1，1]上恒成立．∵e x>0．∴h(x)=x 2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立． 则有.4343010)1(0)1(≥∴⎩⎨⎧≤-≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-a a h h∴当a∈[43，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．2．(2020模拟题精选)已知函数f(x)=a x+12+-x x (a ＞1) (1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．即不存在0＞x 0>-1的解．当x 0<-1时．x 0+1＜0013x +<0，-1+013x +＜-1，而a x0>0矛盾．即不存在x 0<-1的解． 3．(2020模拟题精选)若函数f(x)=l0g a (x 3-ax)(a ＞0且a≠1)在区间(-21，0)内单调递增，则a 的取值范围是 ( )A.[41，1] B.[43，1] C.[49，+∞] D.(1，-49)【特别提醒】1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域． 2．函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a ，b)与(c ，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a ，b)∪(c，d)上一定是增(减)函数．3．设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数．若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]是减函数．列出下表以助记忆．y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)]↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↘↗↘【变式探究】1 函数f(x)对任意实数x 都有f(x)<f(x+1)那么 ( ) A.f(x)是增函数 B.f(x)没有单调减区间C.f(x)可能存在单调增区间，也可能不存在单调减区间 D ．f(x)没有单调增区间答案：C 解析：根据函数单调性定义进行判断.2 函数y=21log (x 2-3x+2)的单调增区间是_______.单调递减区间是_________.解析：(-∞,1),(2,+ ∞)根据复合函数单调性法则进行求解。
3 如果函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数a ，b 满足f(a+b)=f(a)·f(b)． (1)设f(1)=k(k≠0)，试求f(n)(n∈N *) 解析(1){}.()]1([)1()(,,)(.0)1()()1(),1()()1(1*N ∈=•=∴∴≠==+∴•=+-n k f f n f k k n f k f n f n f f n f n f n n 为公比的等比数例为首项是以Θ设当x ＜0时,f(x)＞1，试解不等式f(x+5)＞)(1x f . 答案：(2)对任意的.0)(,,0.0)()()()(,0,0)(,,0)2()22()(,2>∈≠=•-=+-=<=∈≥=+=∈x f R x x f x x f x x x f x f x x f R x xf x x f x f R x o o o o o o 必有于是对任意这与已有则取使假定存在易错点3 函数的奇偶性和周期性的应用1．(2020模拟题精选)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，4]时,f(x)=x-2．则 ( )A ．f(s in 21)＜f(cos 21) B ．f(sin3π)＞f(cos 3π) C ．f(sin1)＜f(cos1) D.f(sin 23)＜f(cos 23) 【错误答案】 A由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期．设x∈[-1，0]知x+4∈[3，4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴f(x)在[-1，0]上是增函数 又f(x)为偶函数．∴f(x)=f(-x)2．(2020模拟题精选)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( )A．(-∞，2)B．(2，+∞)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2，2)4．(2020模拟题精选)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0．(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2020，2020]上根的个数，并证明你的结论．f(3)=f(13)=…=f(2020)=0f(x)=0在[0，2020]上共有402个解．同理可求得f(x)=0在[-2020，0]上共有400个解．∴f(x)=0在[-2020，2020]上有802个解．【特别提醒】1．函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简．2．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化关系和图像的对称性解决有关问题．3．解题中要注意以下性质的灵活运用.(1)f(x)为偶函数 f(x)=f(-x)=f(|x|)．(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0.【变式探究】1 f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)是奇函数，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2020，则f(2020)的值为 ( )A．2020 B．-2020C.-2020 D．2020答案：D 解析：由题设条件易得f(x+4)=f(x), ∴f(2020)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2020. ∴f(2006)=2020.2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x+x2．(1)求证:f(x)是周期函数；3.设a 、b∈R，且a≠2定义在区间(-b ，b)内的函数f(x)=lg xax211++是奇函数，求b 的取值范围．解析：f(x)=lg)(211b x b xax<<-++是奇函数，等价于，对任意x∈(-b,b)都有：⎪⎩⎪⎨⎧>++-=-02121)()(xaxx f x f ① ②式即为lg.121lg 211axx x ax ++=--即a 2x 2=4x 2.此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a 2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.代入(2)得02121>+-xx即].21,0(2121),(.2121的取值范围为所以得都成立相当于此式对任意b b b b b x x <<-≤--∈<<- 易错点4 反函数的概念和性质的应用1．(2020模拟题精选)函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是 ( )A ．a∈(-∞，1)B ．a∈[2，+∞]C ．a∈[1，2]D ．a∈(-∞，1)∪[2，+∞]+∞]．∴x -1=21y -⇒=1+21y -．x 、y 对换得y=1+21x - 又∵y=1)1(222+--=-x x x (1≤x≤2)．∴0≤y≤1即原函数值域为[0，1]．所以反函数为y=1-21x - (0≤x≤1).选B.3．(2020模拟题精选)设f -1(x)是函数f(x)=21(a x -a -x )(a ＞1)的反函数，则使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围为 ( )A ．(a a 212-，+∞) B．(-∞，a a 212-) C ．(aa 212-,a) D ．(a ，+∞)4.(2020模拟题精选)设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=________．【错误答案】填0 ∵y=f(x)的图像关于点(1，2)对称，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f-1(4)=0【错解分析】上面解答错在由图像过点(4，0)得到图像过点(4，0)上，因为f(x)图像关于点(1，2)对称不是关于y=x对称，因此应找出图像过点(-2，4)是关键．【正确解答】填-2．【特别提醒】1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f -1(y)，如求出的x 不唯一，要根据条件中x 的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域．2．分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成．3．若点(a ，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b ，a)在反函数y=f -1(x)的图像上． 【变式探究】1 函数y=3x 2-1(-1≤x＜0)的反函数是 ( ) A ．y=x 3log 1+(x≥31) B ．y=-x 3log 1+ (x≥31) C ．y=x 3log 1+ (31<x≤1) D.y=-x 3log 1+ (31<x≤1) 答案：D 解析：由y=3x2-1得 x 2-1=log 3y ∵-1≤x<0, ∴x=-,1log ,1log 33+-=+x y xy x 互换得.)131(log 1:.11331,011,01322D x x y x x x 选故原函数的反函数为≤<+-=≤-<∴≤-<-∴<≤-Θ 2 (2020模拟题精选)定义在R 上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T ，若函数y=f(x)，x∈(0,T)时E 有反函数y=f -1,x∈D．则函数y=f(x)，x∈(2T,3T)的反函数为 ( )A.y=f -1(x)，x∈D B ．y=f -1(x-2T),x∈D C.y=f -1(x+2T)，x∈D D.y=f -1(x)+2T ．x∈D答案：D 解析：∵x∈(2T,3T), ∴x -2T=(0,T).又∵f(x)的周期为2T ，y=f(x)=f(x-2T). ∴x -2T=f -1(y)+2T,x,y 互换，得y=f -1(x)+2T.当x∈(2T,3T)的反函数为y=f -1(x)+2T,x∈D. 3 已知f(x)=1---a x x a 的反函数．f -1(x)的图像的对称中心是(-1，3)，求实数a 的值．2 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)．当x ＞2时，f(x)单调递增，如果x 1+x 2<4且(x 1-2)(x 2-2)<0，则f(x 1)+f(x 2)的值为 ( )A.可能为0 B ．恒大于0 C.恒小于0 D ．可正可负答案：C 解析：不妨设x 1<x 2,则x 1<2<x 2,且x 1+x 2<4,由f(-x)=-f(x+4)可知，函数f(x) 的图象关于点（2，0）成中心对称，函数在（2，+∞）上单调递增，∴f(x 1)+f(x 2)<f(x 1)+f(4-x 1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故选C.3 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)=(21)x，那么f(x)=(21)x，那么f -1(0)+f -1(-8)的值为 ( )A ．2B ．-3C ．3D ．-2答案：C 解析：f(x)=0)0(,)0(2)0(0)0()21(1=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-f x x x xx故 f -1(-8)=3.故选 C.4.符号[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]=3，[-1．08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，那么下列命题中正确的个数是 ( )①函数{x}的定义域为R ，值域为[0，1]； ②方程{x}=有无数解； ③函数{x}是周期函数； ④函数{x}是增函数．A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：C解析：∵f(x)的周期为3，∴f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即--<+-解得.1132a a 1<a<32.故选C. 5 设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1,f(2)=132+-a a ，则 ( )A ．a<32B ．a ＜32且a≠-1 C.-1<a<32 D ．m>32或m<-1 答案：D解析：因为函数y=f(x)为偶函数，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由y=f(x)的图向右平移1个单位得到，故对称轴为x=1,且在（4，6）内是增函数，故选D 。