马尔科夫与布朗运动在股价预测中的运用

PRICE(-1)
PRICE(-1)
C
PRICE为历史数据各期股价，在上表中我们可以清晰地看到：M(-1) 的系数6.88559在置信水平5％的水平楼下是显著的，M(-2)和M(-3)的系数 -0.898和0.505在置信水平5％的水平楼下是不显著的，这说明，t期的股 价变化只与t-1期有关，与t-2和t-3期值都无关，这说明江泉实业股价的 变化具有马尔科夫性。 (2 )江泉实业（2011年7月4日～ 2011年8月6日40个交易日的收盘价 格）如表1所示 ： 表1 T：时间 P:价格 C：状态
马尔科夫与布朗运动在股价预测中的运用
主讲人： 小组成员：
研究背景 股民们都希望从研 究股票 市场价格的变化中找出一些规律。 使自己损失最小化，收益最大化。 但是股票市场是一个复杂的非线 性运动系统。受到多种因素的交互影响，精确预测股票未来价格是 非常困难的。但对于短期的某种程度的预测是可行的，而且对投资 者的投资行为具有借鉴意义。经济预测方法有很多，而本文企图 引 入马 尔科夫过程和布朗运动过程，来构建股票价格预测模型。最 后通过引实证进行分析，进一步对比这两种方法的联系与区别。
布。
2 ．模拟公式的推导 dWt dt , ~ N (0,1) 根据股票价格 St在任意时间段内服从对数正态分布， 由（6）式可以得到随机微分方程的离散形式为： 2 ln St t ln St ( )t t （7 ）
2
那么在已知时间段 t , t 时刻的股票价格 St 的情况下，如果能够求 得股票收益的均值 和标准差 ，可根据公式（7）算出时间间隔内股票 价格对数的改变量ln St t ln St ，如果将 t 控制在一个小的时间范围内就 可以模拟股票走势。为了利用（7）式模拟股票走势，我们先计算出股票 收益对数的均值 和标准差 ，我们可以根据股票价格的历史数据来正 确估计股票收益对数的均值和标准差。又因为 ~ N (0,1), dWt dt ~ N (0,1), , t 是常数 ，那么
（8） （9）
可以通过股票价格的历史{Si }(1, 2, 格走势。
, T )利用以上公式来模拟股票价
二 、实 证 分 析 (一) 马尔科夫转移矩阵预测股价(以江泉实业为例实证分析) (1 ) 首先对原始数据进行马尔科夫性检验
PRICE(-1) PRICE 1.062849 -0.15436 [6.88559] -0.194415 -0.2164 [-0.89842] 0.069069 -0.13681 [0.50484] 0.829462] -0.48464 [1.71152]
由公式 ln S ln S ( 2 )t t 可模拟出2011年8月31日以后每个 交易日江泉实业的收盘价格，以60个交易日为例。这里 t 1 60 , 是用R 软件生成的服从N(0，1)的随机数。通过计算，得到模拟价格，模拟趋 势如图1所示：
t t t
2
参考文献：
【1】《运用马尔科夫预测法构建股价预测模型》汪森、罗剑 经济师 2005.l 【2】《基于布朗运动的股价模拟与实证分 析》 迟卓 中央民族大学 学报(自然科学报) 2009.1 【3】《基于马尔科夫链的股价预测》赵颖洁、王建国 商场现代化 2009.2
thanks
将这40个收盘价格划分为5个区间（由低到高每区间O.5个价格单 位），得到区间状态为：i(5.5以下)，j(5.5—6.0)，k(6.0—6.5)， L(6.5—7.0)，m(7.0以上)。由以上资料得到这4O个交易日的收盘价格状 态转移情况如表2： 表2
下 本期 i 期
i
6

1
k
0
l
0
m
0
j
k l m
T P C T P C T P C T P C T P C 1 5.26 i 9 5.69 j 17 6.74 l 25 6.08 k 33 7.06 m 2 5.42 i 10 5.83 j 18 6.66 l 26 5.66 j 34 6.92 l 3 5.38 i 11 5.84 j 19 6.66 l 27 6.16 k 35 7.09 m 4 5.29 i 12 5.75 j 20 6.35 k 28 6.37 k 36 6.85 l 5 5.21 i 13 5.76 j 21 6.77 l 29 6.69 l 37 7.08 m 6 5.37 i 14 5.86 j 22 6.72 l 30 7.23 m 38 7.21 m 7 5.69 j 15 5.86 j 23 6.61 l 31 7.16 m 39 7.15 m 8 5.7 j 16 6.13 k 24 6.71 l 32 7.28 m 40 7.01 m
dSt dt dWt St
dSt St dt St dt
其中 和 分别是股票收益的均值和标准差。股票价格的改变量dSt 应由确定项(期望项)和波动项(随机项)组成。据Ito定理得： 2 （6） d ln St ~ N [( )dt , 2 dt ] 2 所以，股价 St 在任意时间段内[t , t dt ]服从，即股价服从对数正分
表1知，第40个交易日的收盘价为7.01(即为m状态区间)，所以用马 P(0) 0 0 0 1 0 。由（1） 尔科夫链进行预测时初始概率向量为： 式 可计算出第40个交易日以后各天的股价。
P(1) P(0)P 0 0 0.2 0.5 0.3
由此可见，第41个交易日的股价出现在m区间的 概率最大，故预测 的第一个状态为 l 状 态，与实 际值 6.96所属状态一致。 (二 ) 布朗运动预测股价 已知 2011年江泉实业收盘价格为5.26元，我们将模拟接下来的60个 交易日该股票的价格走势。最后对模拟数据与实际数据进行对比分析。 首先。选择2009年9月30日前五年的月K线图中的数据来估计股票收 益对数的均值 和标准差 。 由（8）和 （9）式，取 t 1 ，可以得到 = 0.0012, =0.046.
n
j 1
ij
j 1
k k步转移概率矩阵 为 ： P P P k 1
k
（1）
T 记概率向量 P(t ) (P 为第t个时间段股价的绝对概率向 ,P 1 (t ), P 2 (t ), n (t )) 量其中Pi (t )表示第t个时间段股价处于第 i (i I )区的绝对概率，据(1)可知 股价第 t k (t , k T ) 个时段的绝对概率向量为： k P(t k ) P(t ) Pk P(t ) P （2） 1 若给定初始概率向量。可知 t 个时问段后的股价预测的马尔科夫过程 模型为：
图1
三、对比分析 1 、在进行股票价格预测的时候，发现布朗运动模拟出的股价比 较平稳，变化比较小，在股票价格波动不大的时候比较有效。从折线 图可以看出江泉实业预测价格和真实价格的接近程度还不错，但是也 有一些偏差。造成偏差的原因有： • （1）利用R软件生成的随机数 的组数只生成了一组，随机性较强； • （2）影响股价波动的因素很复杂； • （3）股票价格服从布朗运动的一个假设是股票市场是有效市场，而 我国的股票市场还处在初级阶段，不能完全认为是有效市场。 以上的分析可以看出，基于布朗运动的股价模拟模型有一定的应 用价值，但 是要得到更精确的模拟还需结合我国股票市场的具体情况 ，全面考虑影响股票价格波动的因素。 2 、在运用马尔科夫链进行股价预测的时候，由于状态的转移仅 与它前一期 的状态和取值有关，而与前一期以前所处的状态和取值无 关 ，因此用状态转移矩阵进行股价的预测的时候下一期都一直依赖于 上一期 ，而在进行不断的预测的时候 ，“上一期 ”数据已经变成了我 们预测出来的数据，而不是真实的前一期值，因此在做短期的预测的 时候，不断地依赖前一期的真实值使预测数据更准确。
四、结论 本文分别用马尔科夫链和布朗运动建立股价数学模型，并用模型预 测了股票价格的波动情况，并对马尔科夫链和布朗运动对股价的预测效 果进行了对比，由于马尔科夫链有“无后效性”，所以在股票市场有效 的条件下，比较客观地刻画股票价格的变化规律，从而达到相对准确地 预测股票价格的目的。但是这两种预测只是表明了预测对象将来将以某 一概率趋向于某种状态。而不是绝对处于这种状态。也并不能完全得到 股票价格的具体数值。由于股市的波动是一个复杂的非线性系统，股票 价格的变化受到了多种因素的影响，不仅包括多空双方力量对比，还包 括基本面、政策面、宏观面以及人们的心理因素等等，决不存在既定的 变化规律。因而包括马尔科夫和布朗运动在内的任何一种预测方法都不 可能准确地预测出股价每日的变化。运用马尔科夫预测法对股价作短期 预测只能取得一定的效果，运用布朗运动能够对价格平稳的股票价格取 得效果较好的预测。
t P(t k ) P(0) P P (0) P t 1
（3）
所 以，可在已知初始概率向量的情况下，对于任意时间段后股价所 处的区间的概率分布做出预测。
二、基于布朗运动的股价的预测模型 1．股价的基本模型 dSt dt dWt 一般认为描述股价运动的形式为：St （4 ） 和 分别称为期望漂移率和波动 其中，St 表示t时刻的股票价格， Wt 是标准的布朗运动。在时间间隔 t 内， Wt ~ N (0, t ) ，即 率， （5 ） dWt dt , ~ N (0,1) ,（4）左端表示股票的“瞬间收益率 ”，其均值 为 dt ，方差为 2 dt 。由于布朗运动的特性，股票 “瞬间 收益率”是 一 个服从正态分布的随机变量。可将（4）式改写成：
E[ln St t ln St ] E[(
2
2
)t t ]
2
2
)t
2 通过上式，可以导出均值和标准差的计算公式
Var[ln St t ln St ] Var[(
2
)t t ] 2 t
E[ln St t ln St ] 2 t 2 Var[ln St t ln St ] 2 t
一、理论基础与模型构建 (一 ) 马尔科夫预测法 1．运用 马尔科夫预测法预测股票价格的步骤 • 第 一 步 ，马尔科夫模型的建 立 ； • 第 二 步 ，构 造 股 票 价格 变化 的分 布 状 态 ； • 第 三步 ，检验马尔科夫性。 2 ．马尔科夫模型的建立 利用股市的历史资料，统计得出连续两个时间段内，前一时间段股价 处于区，后一时间段股价处于 j 区的概率 ，构造 一步转移概 P ij (i, j I ) n nij 率矩阵 P1 ( Pij ) 。 其中Pij n 且 Pij 1。
0
0 0 0
8
1 0 0
2
1 2 0
0
3 5 3
0
0 3 5
可计算出各状态间的概率转移矩阵： 0 0 0 0.792 0 0 0.8 0.2 0 0 P 0 0.2 0.2 0.6 0 0 0.2 0.5 0.3 0 0 0 0.375 0.625 0