2020高考数学(理数)题海集训10 空间向量(30题含答案)

2020高考数学(理数)题海集训10 空间向量
一、选择题
1.
已知向量=(2，4，5)，=(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2方向向量，若l 1∥l 2，则( )
A.x=6，y=15
B.x=3，y=7.5
C.x=3，y=15
D.x=6，y=7.5 2.
若向量=(1,1,x),=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件(﹣)(2)=﹣2,则x 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示，在平行六面体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→=a ，AD ―→=b ，AA 1―→
=c ，
则下列向量中与BM ―→
相等的向量是( )
A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1
2b ＋c
4.若直线l 的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角
等于( )
A ．120°
B ．60°
C ．30°
D ．60°或30°
5.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足
=3
，
=3
，则BE 与DF 所成角正弦
值为( )
A.
B.
C.
D.
6.
(在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AB=
，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.75°
D.105°
7.已知两平面的法向量分别为m=(0，1，0)，n=(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
8.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A. B. C. D.
9.在四棱锥P­ABCD 中，AB →=(4，－2，3)，AD →=(－4，1，0)，AP →
=(－6，2，－8)，则这个四棱锥
的高h=( )
A ．1
B ．2
C ．13
D ．26
10.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→
的夹角为120°，则λ的值为( )
A ．±66
B ．66
C ．－6
6 D ．± 6
11.
已知向量=(1，1，0)，=(﹣1，0，2)，且k +与2-互相垂直，则k 的值是( )
A.1
B.0.2
C.0.6
D.1.4
12.
如图所示，已知空间四边形OABC ，OB=OC ，且∠AOB=∠AOC=
，则cos ＜
，＞的值为( )
A. B.0 C.0.5 D.
13.已知a=(2,1，－3)，b=(－1,2,3)，c=(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ=( )
A ．9
B ．－9
C ．－3
D ．3
14.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→=x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→
(x ，y ，z ∈R)，
则“x =2，y=－3，z=2”是“P，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
15.在下列命题中：
①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；
②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；
④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p=xa ＋yb ＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
16.如图所示，在正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 上的点，A 1M=AN=
2a 3
， 则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
17.在三棱柱ABC­A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，
且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )
A.32 B ．22 C.104 D ．64
18.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD 中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，
则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为( )
A.64 B ．33 C.12 D ．22
19.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是
( )
A ．D
B 1⊥D 1P B ．平面AD 1P ⊥平面A 1DB 1
C ．∠AP
D 1的最大值为90° D ．AP ＋PD 1的最小值为2＋6
2
20.在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→
的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题
21.在空间直角坐标系中，已知P(2，2，5)、Q(5，4，z)两点之间的距离为7，则z= . 22.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→=(2，－1，－4)，AD ―→
=(4,2,0)，
AP ―→
=(－1,2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ； ②AP ⊥AD ； ③AP ―→
是平面ABCD 的法向量； ④AP ―→∥BD ―→.
其中正确的是________．
23.
=(2，﹣3，5)，=(﹣3，1，﹣4)，则|
|= .
24.△ABC 的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC 边上高BD 等于______．
25.点P 是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果
∠BPM =∠BPN =45°，∠MPN=60°，那么二面角α­AB­β的大小为________．
26.已知四棱锥P­ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AD ，则平面PAB 与平面PCD
所成的二面角的大小为________．
27.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，
且MG ―→=2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→=x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．
28.已知长方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范
围是________． 29.如图，已知四棱锥P­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA=PD=5，平面ABCD⊥平面
PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是________．
三、解答题
30.如图所示，四棱锥S­ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧
棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；
(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC.若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．
答案解析
1.D.
2.B.
3.答案为：A ；
解析：BM ―→=BB 1―→＋B 1M ―→=AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→
)=c ＋12(b －a)=－12a ＋12
b ＋c.
4.答案为：C.
解析：设直线l 与平面α所成的角为β，直线l 与平面α的法向量的夹角为γ.
则sin β=|cos γ|=|cos 120°|=1
2.又因为0°≤β≤90°，所以β=30°.
5.A.
6.B.
7.答案为：C.
解析：cos 〈m ，n 〉=m·n |m||n|=11×2=2
2
，即〈m ，n 〉=45°，其补角为135°.
所以两平面所成的二面角为45°或135°.
8.D.
9.答案为：B.
解析：设平面ABCD 的一个法向量为n=(x ，y ，z)．则⎩⎨⎧n⊥AB →，n⊥AD →⇒⎩
⎪⎨⎪⎧4x －2y ＋3z ＝0，
－4x ＋y ＝0，
令y=4，则n=⎝
⎛⎭⎪⎫1，4，43，则cos 〈n ，AP →〉=n·AP →|n||AP →|=－6＋8－32
3133×226=－2626.
因为h |AP →|=|cos 〈n ，AP →〉|，所以h=26
26×226=2.
10.答案为：C ；
解析：OA ―→＋λOB ―→
=(1，－λ，λ)，cos 120°=
λ＋λ
1＋2λ2
·2=－12
，得λ=±6
6. 经检验λ=66不合题意，舍去，所以λ=－66
. 11.D. 12.B.
13.答案为：B ；
解析：由题意设c=xa ＋yb ，则(7,6，λ)=x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ=－9.
14.答案为：B ；
解析：当x=2，y=－3，z=2时，OP ―→=2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→
. 则AP ―→－AO ―→=2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→=－3AB ―→＋2AC ―→， 根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，
根据共面向量定理，设AP ―→=m AB ―→＋n AC ―→
(m ，n ∈R)， 即OP ―→－OA ―→=m(OB ―→－OA ―→)＋n(OC ―→－OA ―→)，即OP ―→=(1－m －n)OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→， 即x=1－m －n ，y=m ，z=n ，这组数显然不止2，－3,2.
故“x =2，y=－3，z=2”是“P，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．
15.答案为：A ；
解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p=xa ＋yb ＋zc ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
16.答案为：B.
解析：因为正方体的棱长为a ，A 1M=AN=2a
3，所以MB →=23A 1B →，CN →=23
CA →，
所以MN →=MB →＋BC →＋CN →=23A 1B →＋BC →＋23CA →=23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →)=23B 1B →＋13
B 1
C 1→，
又CD →是平面B 1BCC 1的一个法向量，且MN →·CD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫23
B 1B →＋13B 1
C 1→·C
D →
=0，
所以MN →⊥CD →
，又MN ⊄平面B 1BCC 1，所以MN∥平面B 1BCC 1.
17.答案为：D.
如图，建立空间直角坐标系A­xyz，易求点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12，1，
平面AA 1C 1C 的一个法向量是n=(1，0，0)，
所以cos 〈n ，AD →〉=3
22=64
，即sin α=6
4.
18.答案为：A ；
解析：设O 为正方形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，C(－1，1，0)，E(12，12，14
2
)，
所以AD →=(－2，0，0)，CE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，－12，142，
所以|cos 〈AD →，CE →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪AD →·CE →|AD →||CE →|=
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪－3
2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1422=64，故选A.
19.答案为：B.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，
C(0，1，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， ∵A 1B →
=(0，1，－1)，又P 为线段A 1B 上的动点， ∴设P(1，λ，1－λ)(0＜λ＜1)， ∴AD 1→=(－1，0，1)，D 1P →
=(1，λ，－λ)，设n=(x ，y ，z)是平面AD 1P 的法向量，
则有⎩
⎨⎧n ·AD 1→
＝0，n·D 1P →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，x ＋λy －λz ＝0，
可取n=⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－1λ，1，
又平面A 1DB 1的法向量可为AD 1→=(－1，0，1)，∵AD 1→
·n=0， ∴平面AD 1P ⊥平面A 1DB 1.故选B.
20.答案为：B ；
解析：法一：如图，令AB ―→=a ，AC ―→=b ，AD ―→=c ，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→
=AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→)
=a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a)=a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a=0.
法二：在三棱锥A­BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．
所以AB ―→·CD ―→=0，AC ―→·DB ―→=0，AD ―→·BC ―→=0.所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→=0.
一、填空题
21.答案为：11或﹣1.
22.答案为：①②③；
解析：∵AP ―→·AB ―→
=－2－2＋4=0，∴AP ⊥AB ，故①正确； AP ―→·AD ―→
=－4＋4＋0=0，∴AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知AP ⊥平面ABCD ，故③正确，④不正确．
23.
答案为：
；
24.答案为：5；
解析：设AD ―→=λAC ―→
，D(x ，y ，z)，则(x －1，y ＋1，z －2)=λ(0，4，－3)， ∴x=1，y=4λ－1，z=2－3λ，∴D(1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→
=(－4,4λ＋5，－3λ)，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)=0，
解得λ=－45，∴BD ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD ―→|= －42
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252=5.
25.答案为：90°；
解析：不妨设PM=a ，PN=b ，如图．
作ME⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F ，因为∠EPM =∠FPN =45°，所以PE=
22a ，PF=2
2
b ， 所以EM →·FN →=(PM →－PE →)·(PN →－PF →)=PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →
=abcos 60°－a×22bcos 45°－22abcos 45°＋22a ×22b=ab 2－ab 2－ab 2＋ab
2
=0，
∴EM →⊥FN →
，∴二面角α­AB­β的大小为90°.
26.答案为：π
4
；
解析：设PA=AD=1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系A­xyz，则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，
D(0，1，0)，∴CD →=(－1，0，0)，PD →
=(0，1，－1)．
设n=(x ，y ，z)是平面PCD 的法向量，则有⎩
⎨⎧n·CD →
＝0，n·PD →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧－x ＝0，y －z ＝0，
可取n=(0，1，1)．易知平面PAB 的一个法向量为AD →
=(0，1，0)，
则cos 〈n ，AD →〉=n·AD →
|n||AD →|
=12=2
2
∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为π
4
.
27.答案为：16，13，1
3；
解析：∵OG ―→=OM ―→＋MG ―→=12OA ―→＋23MN ―→=12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→
)
=12OA ―→＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB ―→＋OC ―→－12OA ―→=16
OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→
，∴x=16，y=13，z=13.
28.答案为：(0，1]
；
解析：如图，以D 1为原点建立空间直角坐标系D 1­xyz.
设AD=a(a ＞0)，AP=x(0≤x≤2)，则P(a ，x ，2)，C(0，2，2)，
所以D 1P →=(a ，x ，2)，CP →
=(a ，x －2，0)，
因为D 1P ⊥PC ，所以D 1P →·CP →=0，即a 2＋x(x －2)=0，a=－x 2＋2x=－（x －1）2
＋1. 当0≤x≤2时，a ∈(0，1]．即AD 的取值范围是(0，1]．
29.答案为：885
85
;
解析：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 且平行于AB 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，则B(1，2，0)，P(0，0，2)，C(－1，2，0)，
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，1，O(0，0，0)，OP →=(0，0，2)，OC →=(－1，2，0)，BM →=⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，－1，1.
设平面PCO 的法向量为m=(x ，y ，z)，则⎩
⎨⎧
m·OP →
＝2z ＝0，
m·OC →
＝－x ＋2y ＝0，
可取m=(2，1，0)，
设直线BM 与平面PCO 所成的角为θ，
则sin θ=|cos 〈m ，BM →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BM →·m |m||BM →|=45×174
=88585.
30.解：
(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD.连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD.
以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
如图．
设底面边长为a ，则高SO=
62a ，于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫－22
a ，0，－62a ， 则OC ―→·SD ―→=0.故OC ⊥SD.从而AC ⊥SD.
(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC.
理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，
且DS ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC ―→=⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22a ，22a ，0. 设CE ―→=t CS ―→，则BE ―→=BC ―→＋CE ―→=BC ―→＋t CS ―→=⎝ ⎛⎭⎪⎫－22
a ，22a 1－t ，62at ， 而BE ―→·DS ―→=0⇒t=13
. 即当SE ∶EC=2∶1时，BE ―→⊥DS ―→.
而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC.。