2021年新教材高一数学暑假作业二新人教A版

高一数学暑假作业
一、单选题
1. 已知集合A ={x|log 2(4+x −x 2)>1}，集合B ={y|y =(1
2)x ,x >1}，则A ∩
(∁R B)=( )
A. [1
2,2) B. (−1,1
2]
C. (−1,0]∪[1
2,2)
D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
2. 已知复数z =
2−i 33−i ，则z =( )
A. 12−1
2i
B. 12+1
2i
C. 710−1
10i
D. 710+1
10i
3. 已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为( )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若l//m ，m ⊂α，则l//α
C. 若l//α，l//β，则α//β
D. 若l//α，l ⊥β，则α⊥β
4. 已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，
那么向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1
2a
⃗ −1
2b ⃗ B. −12a
⃗ +1
2b ⃗ C. a
⃗ +1
2b ⃗ D. −12a
⃗ −1
2b ⃗ 5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中
等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )
A. 1
3
B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6
6. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则|a ⃗ −3b ⃗ |=( )
A. √11
B. √37
C. 2√10
D. √43
7. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
A. 15
B. 2
5 C. 3
5 D. 4
5
8.
√1−2sin10°cos10°sin10∘−√1−sin 210∘
的值为( )
A. 1
B. −1
C. sin 10°
D. cos 10°
9. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发
出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与标准声调m 0(m 0约
为10−12，单位：W/m 2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L =lg
m
m 0，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声
音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y =2x ，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为( )米．
A. 5
B. 10
C. 45
D. 48
10. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ≤1,x +2
x
,x >1,
设，若关于x 的不等式f(x)≥|x
2+a|在
上恒成立，则a 的取值范围是( )
A. [−47
16,2]
B. [−4716,39
16]
C. [−2√3,2]
D. [−2√3,39
16]
二、多选题
11. 已知函数f(x)=log a (x 2−ax +1)(a >0且a ≠1)，则下列为真命题的是( )
A. 当a =2时，f(x)值域为R
B. 存在a ，使得f(x)为奇函数或偶函数
C. 当a >2时，f(x)的定义域不可能为R
D. 存在a ，使得f(x)在区间(−∞,2)上为减函数
12. 下列命题正确的是( )
A. 已知幂函数f(x)=(m +1)2x −m−1在(0,+∞)上单调递减，则m =0或m =−2
B. 函数f(x)=x 2−(2m +4)x +3m 有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个
充分不必要条件是m <−1．
C. 已知函数f(x)=x 3+sinx +ln(1+x
1−x )，若f(2a −1)>0，则a 的取值范围为
(1
2,+∞)
D. 已知函数f(x)满足f(−x)+f(x)=2，g(x)=
x+1x
，且f(x)与g(x)的图象的交点
为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)……(x 8,y 8)，则x 1+x 2+⋯+x 8+y 1+y 2+⋯+y 8的值为8 13. 设函数f(x)=sin(ωx −π
6)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，对于下列
4个说法正确的是( )
A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2
B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点
C. f(x)在(0,π
2
)单调递增
D. ω的取值范围是[13
6,19 6
)
三、单空题
14.复数z=i(1+i)所对应的点在第______象限．
15.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(−4,3)的夹角为θ，则cosθ=______ ．
16.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的
方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．
17.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2−b2=√3ac，则
角B的值是______．
18.已知三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3cm，AC=4cm，
AB⊥AC，AA1=12cm，则球O的表面积为______cm2．
19.已知x，y>0，且1
x+3+1
y
=1
2
，则x+y的最小值为______ ．
20.将函数f(x)=2−4sin2x的图象向左平移5π
6
个单位后得到函数g(x)的图象，若函数
g(x)在区间[0,a
2]和[3a,7π
6
]上均单增，则实数a的范围是______．
四、解答题
21.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，√2cosC(acosB+bcosA)+c=0．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若a=√2，b=2.求：
(ⅰ)边长c；
(ⅰ)sin(2B−C)的值．
22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模
式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)由频率分布直方图；
(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分
成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
23.如图所示，在三棱锥A−BCD中，点M、N分别在棱BC、AC上，且MN//AB．
(Ⅰ)求证：MN//平面ABD；
(Ⅱ)若MN⊥CD，BD⊥CD，求证：平面CBD⊥平面ABD．
24.函数g(x)=ax2+2x+1的图象与函数f(x)的图象关于直线x=0对称，方程
f(x)=0的两根x1，x2满足0<x1<x2<2．
(1)求a的范围；
=t，求t的取值范围；
(2)若x2
x1
(3)若|x1−x2|≥m2−2bm−2对b∈[−1,1]恒成立，求m的范围．
25. 已知函数f(x)=cosx ．
(1)若α，β为锐角，f(α+β)=−√55
，tanα=4
3，求cos2α及tan(β−α)的值；
(2)函数g(x)=f(2x)−3，若对任意x 都有g 2(x)≤(2+a)g(x)−2−a 恒成立，求实数a 的最大值；
(3)已知f(α)+f(β)−f(α+β)=3
2，α，β∈(0,π)，求α及β的值．
26. 已知函数f(x)=lg 1−x
x+1．
(1)求不等式f(f(x))+f(1g2)>0的解集；
(2)函数g(x)=2−a x (a >0,a ≠1)，若存在x 1，x 2∈[0,1)，使得f(x 1)=g(x 2)成立，求实数a 的取值范围； (3)若函数ℎ(x)={
f(x),−1<x <1
k|x|+1,x ≤−1或x ≥1
，讨论函数y =ℎ(ℎ(x))−2的零点个数
(直接写出答案，不要求写出解题过程)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查了集合的运算与不等式的解法和应用问题，是基础题．
求函数的定义域和值域得出集合A 、B ，根据交集和补集的定义计算即可． 【解答】
解：集合A ={x|log 2(4+x −x 2)>1}={x|4+x −x 2>2} ={x|x 2−x −2<0}={x|−1<x <2}， 即A =(−1,2)，
集合B ={y|y ={y|y =(1
2)x ,x >1}={y|0<y <1
2}，即B =(0,1
2)， ∴∁R B =(−∞,0]∪[1
2,+∞)，
A ∩(∁R B)=(−∞,0]∪[1
2,2)． 故选：C ．
2.【答案】B
【解析】解：∵复数z =2−i 33−i
=
2+i 3−i
=
(2+i)(3+i)
(3−i)(3+i)=12+1
2
i ，
故选：B ．
利用复数除法的运算法则进行求解即可．
本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β， 对于A ，若m//α，n//α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若l//m ，m ⊂α，则l//α或l ⊂α，故B 错误； 对于C ，若l//α，l//β，则α与β平行或相交，故C 错误；
对于D ，若l//α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ．
对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，l//α或l ⊂α；对于C ，α与β平行或相交；
对于D ，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且M 、N 分别是BC 、CD 的中点，
∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +1
2
b ⃗ ． 故选：B ．
由题意画出图形，利用向量加法的三角形法则得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 及AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得答案．
本题考查平面向量的基本定理，考查了向量加法的三角形法则，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马， 田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马． 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛， 基本事件总数n =3×3=9， 田忌获胜包含的基本事件有：
田忌的上等马对齐王的中等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的中等马对齐王的下等马，共3种，
∴田忌获胜的概率P =3
9=1
3． 故选：A ．
基本事件总数n =3×3=9，利用列举法求出田忌获胜包含的基本事件有3种，由此能求出田忌获胜的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=1×2×(−1
2
)=−1；
∴(a⃗−3b⃗ )2=a⃗2−6a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=1+6+36=43；
∴则|a⃗−3b⃗ |=√43．
故选：D．
根据题意，由向量a⃗、b⃗ 的模以及夹角计算可得a⃗⋅b⃗ 的值，进而由数量积的计算可得(a⃗−3b⃗ )2=a⃗2−6a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2，代入数据计算，再开方可得答案．
本题考查向量模的计算，关键是掌握向量的数量积的计算公式．属于简单题．
7.【答案】D
【解析】解：连结BC1，因为C1D1//AB且C1D1=AB，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，故BC 1//AD1，
所以∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角，
连结A1C1，由AB=1，AA1=2，
则A1C1=√2,A1B=BC1=√5，
所以cos∠A1BC1=
2×√5×√5=4
5
，
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为4
5
．
故选：D．
连结BC1，利用棱柱的几何性质得到BC1//AD1，从而得到∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角，三角形中利用余弦定理分析求解即可．
本题考查了空间角的求解，涉及了两条异面直线所成角的求解，解题的关键是寻找平行线，找到两条异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：√1−2sin10°cos10°
sin10∘−√1−sin210∘=√(cos10°−sin10°)2 sin10∘−√cos210∘
=|cos10°−sin10°| sin10∘−cos10∘=cos10°−sin10°
sin10∘−cos10∘
=−1．
故选：B．
由同角三角函数的基本关系式变形，开方后化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，
是基础题．
9.【答案】C
【解析】解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，
由10lg m m
0=2x，得lgm−lgm
=0.2x，①
∵10lg10m
m0
=2×50，∴1+lgm−lgm0=10，②
①−②得：−1=0.2x−10，
解得x=45，
∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．
故选：C．
设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，根据题意可得lgm−lgm0=0.2x，1+lgm−lgm0=10，两式相减即可求出x的值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得−x2+1
2
x−3≤a≤x2−
3 2x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x>1时，同样可得−(3
2
x+2
x
)≤
a≤x
2+2
x
，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．对f(x)
求导，由导数的几何意义求解．
另解：可由数形结合的思想，作出f(x)的图象和折线y=|x
2
+a|，由图象求解．【解答】
解：当x≤1时，关于x的不等式f(x)≥|x
2
+a|在上恒成立，
即为−x2+x−3≤x
2
+a≤x2−x+3，
即有−x 2+12x −3≤a ≤x 2−3
2x +3，
由y =−x 2+1
2x −3的对称轴为x =1
4<1，可得x =1
4处取得最大值−47
16； 由y =x 2−3
2x +3的对称轴为x =3
4<1，可得x =3
4处取得最小值39
16， 则−47
16≤a ≤3916①
当x >1时，关于x 的不等式f(x)≥|x
2+a|在上恒成立，
即为−(x +2
x )≤x
2+a ≤x +2
x ， 即有−(3
2x +2
x )≤a ≤x
2+2
x ，
由y =−(32x +2x )≤−2√3x 2⋅2
x
=−2√3(当且仅当x =2
√3>1)取得最大值−2√3；
y =12
x +2x
≥2√12
x ⋅2
x
=2(当且仅当x =2>1)取得最小值2．
则−2√3≤a ≤2②
由①②可得，−47
16≤a ≤2．
另解：作出f(x)的图象和折线y =|x
2+a| 当x ≤1时，y =x 2−x +3的导数为y ′=2x −1， 由2x −1=−1
2，可得x =1
4，
切点为(14,45
16)代入y =−x
2−a ，解得a =−47
16； 当x >1时，y =x +2
x 的导数为y ′=1−2
x 2， 由1−2
x 2=1
2，可得x =2(−2舍去)， 切点为(2,3)，代入y =x
2+a ，解得a =2． 由图象平移可得，−47
16≤a ≤2． 故选：A ．
11.【答案】AC
【解析】解：当a =2时，函数f(x)=log 2(x 2−2x +1)， 令y =log 2t ，则t =x 2−2x +1=(x −1)2≥0， 因为t 能取遍大于0的一切实数， 所以f(x)的值域为R ，故选项A 正确；
假设f(x)为奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，
所以log a (x 2−ax +1)+log a (x 2+ax +1)=0，即log a [(x 2−ax +1)(x 2+ax +1)]=0，
所以(x 2−ax +1)(x 2+ax +1)=1，
所以x 2(a 2+x 2−2)=0不能恒成立，则a 不是常数，所以f(x)不是奇函数； 假设f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)， 所以log a (x 2−ax +1)=log a (x 2+ax +1)，
所以a =0，又因为a >0，所以f(x)不是偶函数，故选项B 错误； 令y =log a t,t =x 2−ax +1，
因为t =x 2−ax +1开口向上，且△=a 2−4， 又a >2，所以△=a 2−4>0，
所以f(x)的定义域不可能是R ，故选项C 正确； 令y =log a t,t =x 2−ax +1，
当a >1时，则y =log a t 在定义域上是增函数，t =x 2−ax +1在(−∞,a
2)上单调递减， 所以{a >1a
2≥24−2a +1>0无解，即不存在a 可使得f(x)在区间(−∞,2)上为减函数，故选项
D 错误． 故选：AC ．
利用换元法，令y =log 2t ，分析t 的取值范围再结合对数函数的性质即可判断选项A ，假设函数f(x)是奇函数或是偶函数，然后进行分析推导，推出矛盾即可判断选项B ，利用换元法研究t =x 2−ax +1的取值情况来判断选项C ，利用换元法结合函数的单调性即可判断选项D ．
本题考查了函数的综合应用，涉及了对数函数的图象和性质的应用、二次函数的图象和性质、函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，涉及的知识点较多，综合性强，对学生而言有一定的难度．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A ，由f(x)是幂函数可知(m +1)2=1，故m =0或m =−2， 由f(x)在(0,+∞)上单调递减可知−m −1<0，即m >−1，故m =0，故A 错误； 对于B ，若f(x)=x 2−(2m +4)x +3m 有两个零点，一个大于0，一个小于0，则3m <0，即m <0，
若m <−1，则3m <−3<0，∴f(x)=x 2−(2m +4)x +3m 有两个零点，一个大于0，
一个小于0，
∴m<−1是函数f(x)=x2−(2m+4)x+3m有两个零点，一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，故B正确；
对于C，f(x)的定义域为(−1,1)，故f(2a−1)>0必须满足条件：−1<2a−1<1，即0<a<1，故C错误；
对于D，∵f(−x)+f(x)=2，g(x)=x+1
x =1+1
x
，
∴f(x)和g(x)的图象都关于点(0,1)对称，
∴f(x)和g(x)的图象的8个交点中，两两关于点(0,1)对称，
∴x1+x2+⋯+x8=0，y1+y2+⋯+y8=4×2=8，
∴x1+x2+⋯+x8+y1+y2+⋯+y8=8.故D正确；
故选：BD．
根据幂函数概念和单调性列不等式组得出m的值判断A，根据f(0)<0和充分必要条件定义判断B，根据f(x)的定义域判断C，根据f(x)和g(x)的对称性判断D．
本题考查了幂函数、二次函数的性质，函数对称性的判断和应用，属于中档题．13.【答案】AD
【解析】解：画出大致
图象如下图，当x=0时
y=sin(−π
6)=−1
2
而
ω>0，
所以x>0时小区间递
增，
函数在[0,π]仅有3个零点时，则π的位置在C～D之间(包括C，不包括D)，
令f(x)=sin(ωx−π
6)=0，则ωx−π
6
=kπ得，x=(π
6
+kπ)⋅1
ω
(k∈z)，
y轴右侧第一个点横坐标为π
6ω，周期T=2π
ω
，
所以π
6ω+T≤π<π
6ω
+3
2
T⇒π
6ω
+2π
ω
≤π<π
6ω
+3
2
⋅2π
ω
⇒13
6
≤ω<19
6
，
所以D正确．
在[0,π]区间上，函数达到最大值和最小值，
所以存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2，所以A正确，由大致图象得，可能有两个最大值，B不一定正确；
因为ω最小值为136，所以0<x <π2时，−π6<ωx −π6<11π12
∉(−π2,π
2)，
所以x ∈(0,π
2)，函数f(x)不单调递增， 所以C 不正确． 故选：AD ．
由题意根据在区间[0,π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T +|OA|,3
2T +|OA|]，再用ω表示周期，得ω的范围．
本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的大致位置，进而解ω的范围，再判断区间(0,π
2)单调性．此题属于中难档题．
14.【答案】二
【解析】解：∵z =i(1+i)=−1+i ，
∴复数z =i(1+i)所对应的点的坐标为(−1,1)，在第二象限． 故答案为：二．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
15.【答案】√1010
【解析】解：由题意得cosθ=a
⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b
⃗ |=
10×5
=
√10
10
． 故答案为：√10
10．
由已知结合向量的夹角公式即可直接求解． 本题主要考查了向量夹角公式，属于基础题．
16.【答案】60
【解析】 【分析】
本题主要考查分层随机抽样的方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求． 【解答】
解：根据分层随机抽样的方法，一年级本科生人数所占的比例为4
4+5+5+6=1
5
，
故应从一年级本科生中抽取学生为300×1
5
=60(名)，
故答案为：60．
17.【答案】π
6
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2−b2=√3ac，
由余弦定理可知cosB=a2+c2−b2
2ac =√3
2
，因为B是三角形内角，所以B=π
6
．
故答案为：π
6
．
直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．
本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．
18.【答案】169π
【解析】解：由题意，三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱ABC−
A1B1C1，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC−A1B1C1
补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为1
2
√32+42+122=13，
则三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积是4πR2=169πcm2．
故答案为：169π．
由于直三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC−
A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．
本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是基础题．19.【答案】5
【解析】解：x，y>0，且1
x+3+1
y
=1
2
，
则x+y=x+3+y−3，
=2[(x+3)+y](1
x+3+1
y
)−3=2(2+y
x+3
+x+3
y
)−3，
≥2(2+2√y
x+3⋅x+3
y
)−3=5，
当且仅当y
x+3=x+3
y
且
1
x+3
+1
y
=1
2
，即y=4，x=1时取等号，
则x+y的最小值为5．
故答案为：5．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．
20.【答案】[2π
9,π3 ]
【解析】解：将函数f(x)=2−4sin2x=2cos2x的图象向左平移5π
6
个单位后得到函数
g(x)=cos(2x+5π
3)=−cos(2x+2π
3
)的图象，
若函数g(x)在区间[0,a
2]和[3a,7π
6
]上均单调递增，
则y=cos(2x+2π
3)在区间[0,a
2
]和[3a,7π
6
]上均单调递减，
在区间[0,a
2]上，2x+2π
3
∈[2π
3
,a+2π
3
]，
在[3a,7π
6]上，2x+2π
3
∈[6a+2π
3
,3π]，
∴a+2π
3∈(0,π]，且6a+2π
3
∈[2π,3π]，
求得2π
9≤a≤π
3
，
故答案为：[2π
9,π3 ].
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数a的范围．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得√2cosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinC= 0………(2分)
∴√2cosCsinC+sinC=0，∴cosC=−√2
2
，
∵0<C<π，…………(4分)
∴C=3π
4
…………………(5分)
(Ⅱ)(ⅰ)因为a=√2,b=2，C=3π
4
，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC=2+4−2×√2×2×(−√2
2
)=10，
∴c=√10…………………(7分)
(ⅰ)由c
sinC =b
sinB
⇒sinB=√5
5
，…………………(9分)
因为B为锐角，所以cosB=2√5
5
…………………(10分)
sin2B=2×√5
5×2√5
5
=4
5
，cos2B=cos2B−sin2B=3
5
…………………(12分)
sin(2B−C)=sin2BcosC−cos2BsinC=4
5×(−√2
2
)−3
5
×√2
2
=−7√2
10
……(14分)
【解析】(I)利用正弦定理、和差公式化简即可得出．
(II)(ⅰ)因为a=√2,b=2，C=3π
4
，利用余弦定理即可得出．
(ⅰ)由c
sinC =b
sinB
⇒sinB=√5
5
，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．
本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025)×20= 1，
解得a=0.005．
(2)(i)∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，
∴三科总分成绩的中位数在[220,240)内，设中位数为x，
则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(x−220)=0.5，
解得x=224，即中位数为224．
(ii)三科总分成绩的平均数为：
170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+
290×0.05=225.6．
(3)三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内的学生分别为25人，10人，
∴抽样比为7
25+10=1
5
，
∴三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为：25×1
5
=5人，
10×1
5
=2人，
设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，
从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，
基本事件总数n=C72=21，
事件A包含的基本事件个数m=C51C21=10，
∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P(A)=
m n
=10
21．
【解析】(1)由频率分布直方图能求出a ． (2)(i)由频率分布直方图能求出中位数．
(ii)由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数．
(3)先求出抽样比为1
5，再求出三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件A 表示“抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总
数n =C 72
=21，事件A 包含的基本事件个数m =C 51C 21=10，由此能求出抽取的这2
名学生来自不同组的概率．
本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23.【答案】证明：(1)∵在三棱锥A −BCD 中，点M 、
N 分别在棱BC 、AC 上，且MN//AB ． ∵MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ， ∴MN//平面ABD ．
(2)∵MN ⊥CD ，MN//AB ，∴AB ⊥CD ， BD ⊥CD ，DB ∩AB =B ， ∴CD ⊥平面ABD ， ∵CD ⊂平面BCD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD ．
【解析】(1)由MN//AB ，利用直线与平面平行的判断定理，证明MN//平面ABD ． (2)推导出BA ⊥DC ，DC ⊥BD ，从而CD ⊥平面ABD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD ． 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
24.【答案】解：(1)因为函数g(x)与函数f(x)的图象关于直线x =0对称，
所以g(x)的两根为x 1′，x 2′与x 1，x 2关于x =0对称， 又0<x 1<x 2<2， 所以−2<x 2′<x 1′<0，
则{△=b 2−4ac =4−4a >0
f(0)>0f(−2)>0
，解得3
4<a <1，
所以a 的取值范围为(3
4,1)．
(2)因为函数g(x)与函数f(x)的图象关于直线x =0对称， 所以f(x)=a(−x)2+2(−x)+1=ax 2−2x +1， 所以x 1+x 2=2a ，x 1x 2=1
a ， 所以x 1+x 2
x
1x 2
=2，①
因为t =x
2
x 1，则x 2=tx 1，
代入①，得
x 2
t +x 2x 2t
⋅x 2=2，
则t =2x 2−1，0<x 1<x 2<2，
所以x
2
x 1
>1，
所以t 的取值范围为(1,3)．
(3)|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(2
a )2−4
a =2
a √1−a =2√1−a
a 2，
令m(a)=1−a a 2
，
则m′(a)=
2a−2a 3，a ∈(3
4,1)，
所以m(a)在(3
4,1)上单调递减，
所以m(a)<m(3
4)=4
3，m(a)>m(1)=0，
由|x 1−x 2|≥m 2−2bm −2，对于∀x ∈[−1,1]上恒成立， 所以m 2−2bm −2<0， 若m =0时，−2<0成立，
若m >0时，y =−2mb +m 2−2在[−1,1]上单调递减，
所以b =−1时，即y max <0，m 2+2m −2<0，得0<m <√3−1， 若m <0时，y =−2mb +m 2−2在[−1,1]上单调递增，
所以b =1时，y max <0，即m 2−2m −2<0，得1−√3<m <0， 综上所述，m 的取值范围为(1−√3,√3−1)．
【解析】(1)根据题意设g(x)的两根为x 1′，x 2′与x 1，x 2关于x =0对称，又0<x 1<x 2<2，则−2<x 2′<x 1′<0，可得则{△=b 2−4ac =4−4a >0
f(0)>0f(2)>0，解得a 的取值范围．
(2)根据题意可得f(x)=ax 2−2x +1，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，则x 1+x 2
x
1x 2
=2①，
由t =x
2
x 1，得x 2=tx 1，进而可得t =2x 2−1，0<x 1<x 2<2，即可得出答案．
(3)|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√
1−a a
2
，令m(a)=1−a a 2
，求导，分析单调性，可
得m(a)<4
3，m(a)>0，分三种情况：若m =0时，若m >0时，若m <0时，求出m 的取值范围．
本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
25.【答案】解：(1)∵tanα=4
3，
∴cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2α
cos 2α+sin 2α=1−tan 2α
1+tan 2α=
1−
16
91+
169
=−7
25，
∵α，β为锐角，即α,β∈(0,π
2)，∴2α∈(0,π)，α+β∈(0,π)． ∴sin2α=√1−cos 22α=
24
25
，∴tan2α=sin2αcos2α=−24
7， ∵f(x)=cosx ，∴f(α+β)=cos(α+β)=−√55
， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=
2√55
，∴tan(α+β)=sin(α+β)
cos(α+β)=−2，
∴tan(β−α)=tan(α+β−2α)=tan(α+β)−tan2α
1+tan(α+β)tan2α=−2+
24
71+2×
24
7
=2
11．
综上，cos2α=−7
25，tan(β−α)=2
11． (2)g(x)=f(2x)−3=cos2x −3，
∵对任意x 都有g 2(x)≤(2+a)g(x)−2−a 恒成立，
∴(cos2x −3)2≤(2+a)(cos2x −3)−2−a 恒成立，即(cos2x −4)a ≥(cos2x −3)2−2(cos2x −3)+2恒成立，
设cos2x −4=t ，则t ∈[−5,−3]，∴at ≥(t +1)2−2(t +1)+2=t 2+1，则a ≤t +1
t ． 设y =t +1
 t ，由对勾函数的性质可知，函数y 在区间[−5,−3]上为增函数， ∴y =t +1
 t ≥−5−1
5=−26
5，∴a ≤−26
5， 故a 的最大值为−26
5．
(3)∵f(α)+f(β)−f(α+β)=3
2， ∴cosα+cosβ−cos(α+β)=32， ∴cosα+cosβ=
3
2
+cos(α+β)=
12+12(sin 2α+cos 2α)+1
2
(sin 2β+cos 2β)+cosαcosβ−sinαsinβ
=
12+12(sin 2α−2sinαsinβ+sin 2β)+12(cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β) =12+12(sinα−sinβ)2+12(cosα+cosβ)2，
∴12(sinα−sinβ)2+12
[(cosα+cosβ)2−2(cosα+cosβ)+1]=0 即12(sinα−sinβ)2+12(cosα+cosβ−1)2=0，
∴sinα−sinβ=0且cosα+cosβ−1=0，
当α=β时，cosα=cosβ=12，∵α，β∈(0,π)，∴α=β=π3；
当α=π−β时，cosα=−cosβ与cosα+cosβ−1=0相矛盾，不符合题意． 综上所述，α=β=π3．
【解析】(1)结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α
=1−tan 2α
1+tan 2α，代入已知数据计算即可； 由于α，β为锐角，所以2α∈(0,π)，α+β∈(0,π)，再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan2α=−247，tan(α+β)=−2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan(β−α)=tan(α+β−2α)=tan(α+β)−tan2α1+tan(α+β)tan2α，代入已得数据进行计算即可；
(2)g(x)=f(2x)−3=cos2x −3，原问题可转化为(cos2x −4)a ≥(cos2x −3)2−2(cos2x −3)+2恒成立，设cos2x −4=t ，则t ∈[−5,−3]，所以at ≥(t +1)2−2(t +
1)+2=t 2+1，则a ≤t +1t .令y =t +1 t ，结合对勾函数的性质即可得函数y 的最小值，从而得解；
(3)根据同角三角函数的平方关系，结合配方法对等式f(α)+f(β)−f(α+β)=32进行变形，可推出sinα−sinβ=0且cosα+cosβ−1=0，再分α=β和α=π−β两种情况，分类讨论即可．
本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 26.【答案】解：(1)函数f(x)=lg 1−x x+1，
由1−x 1+x >0，
可得−1<x <1，
f(−x)=lg1+x
1−x
=−f(x)，即f(x)为奇函数，
且0<x<1时，f(x)=lg(−1+2
x+1
)递减，可得f(x)在(−1,1)递减，
且f(x)的值域为R，
不等式f(f(x))+f(1g2)>0，
即为f(f(x))>−f(lg2)=f(−lg2)，
则−1<f(x)<−lg2，
即−1<lg1−x
1+x <lg1
2
，
即为0.1<1−x
1+x <1
2
，
解得1
3<x<9
11
，
则原不等式的解集为(1
3,9
11
)；
(2)函数g(x)=2−a x(a>0,a≠1)，
若存在x1，x2∈[0,1)，
使得f(x1)=g(x2)成立，
当0≤x<1，f(x)=lg1−x
x+1
的值域为(−∞,0]，
当a>1时，g(x)在[0,1)递减，可得g(x)的值域为(2−a,1]，
由题意可得f(x)和g(x)的值域存在交集，
即有2−a<0，即a>2；
若0<a<1，则g(x)在[0,1)递增，可得g(x)的值域为[1,2−a)，由题意可得f(x)和g(x)的值域不存在交集，
综上可得a的范围是(2,+∞)；
(3)由y=
ℎ[ℎ(x)]−
2，
得
ℎ[ℎ(x)]=
2，
令t=
ℎ(x)，
则ℎ(t)=2，
作出图象，
当k ≤0时，
只有一个−1<t <0，
对应3个零点，
当0<k ≤1时，
1<k +1≤2，
此时t 1<−1，
−1<t 2<0，t 3=1k ≥1，
由k +1−1k =k 2+k−1k =1k
(k +1+√52)(k −√5−12)， 得在√5−12<k ≤1，k +1>1k ，三个t 分别对应一个零点，共3个，
在0<k ≤√5−12
时，k +1≤1k ，三个t 分别对应1个，1个，3个零点，共5个， 综上所述：当k >1或k =0或k <−200101时，y =ℎ[ℎ(x)]−2只有1个零点，
当−200101≤k <0或√5−12
<k ≤1时，y =ℎ[ℎ(x)]−2有3个零点， 当0<k ≤√5−12时，y =ℎ[ℎ(x)]−2有5个零点．
【解析】(1)求得f(x)的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1<1−x 1+x <12，解不等式即可得到所求范围；
(2)求得当0≤x <1时，f(x)的值域；以及讨论a >1，0<a <1时，g(x)的值域，由题意可得f(x)和g(x)的值域存在交集，即可得到所求范围；
(3)由y =ℎ[ℎ(x)]−2，得ℎ[ℎ(x)]=2，令t =ℎ(x)，则ℎ(t)=2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数．
本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题．。