成都市第四十三中学选修一第二单元《直线和圆的方程》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0
B ．()0,4
C ．()2,5
D ．()3,2
2．如图一所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，2AB BP ==，过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，则QAP 的面积的最大值为（ ）
A ．
83
B 83
C ．
163
D 163
3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ C ．30,
,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢
⎥⎣⎭⎝⎦
4．已知圆()2
22x a y a -+=平分圆()()2
2
121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ） A ．0
B ．3-
C ．25
-
D ．
52
5．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则
22(2)(2)a b -+- ）
A 5
B ．5
C ．25
D ．10
6．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y ＋1＝0
7．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A ．1 B ．2 C 2
D ．228．若实数x 、y 满足222210x y x y +--+=，则
3
2
y x --的取值范围为（ ）
A ．30,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．3,4
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭
9．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=
D ．22890x y y +--=
10．圆2
2
1:2410C x y x y ++++=与圆2
2
2:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 11．直线0x ay a +-=与直线(23)10ax a y ---=互相垂直，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．－3或1
C ．2或0
D ．1或0
第II 卷（非选择题）
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参考答案 12．圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（ ） A ．22
15()(3)2
2x y -+-= B ．22
15()(3)2
2x y -++= C ．22
125()(3)2
4
x y ++-=
D ．22
125()(3)2
4
x y +++=
二、填空题
13．已知点(1,0)P 在直线l 上，且直线l 与圆22
:(1)(1)1C x
y 相切于点A ，则
||AP =________.
14．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．
15．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．
16．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则
AM MN +的最小值等于_________.
17．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_______．（写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；
③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点； ④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数． 18．已知(3,1)P ，在1y x =+(1x ≥-)和x 轴(1x ≥-)上各找一点M ､N ，使得三角形PMN 周长最小，则最小时直线MN 的方程为___________
19．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个
20．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞
=___________．
三、解答题
21．已知圆C ：()()2
2
344x y +++=，直线l 过定点()1,0A -.
（1）若l 与圆相切，求l 的方程；
（2）若l 与圆相交于PQ 两点，PQ 线段中点为M ，又l 与0l ：220x y +-=交点为
N ，求证：AM AN ⋅为定值.
22．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线m ：y x n =+圆C 截得的弦与圆心构成CDE △，若CDE △的面积有最大值，求出直线m ：y x n =+的方程；若CDE △的面积没有最大值，请说明理由. 23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径
（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；
（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.
24．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ：24y x =-.圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上.
（1）若直线34120x y +-=与圆C 相切，求圆C 的标准方程；
（2）已知动点(),M x y ，满足2=MA MO ，说明M 的轨迹是什么？若点M 同时在圆
C 上，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
25．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点. （1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；
（3）当直线l 平行移动时，求CAB △面积的最大值. 26．已知圆C ：22420x y x +-+=. （1）求圆心C 的坐标和半径.
（2）已知过点()1,3P 的直线l 交圆C 于,A B 两点，且2AB =，求直线l 的方程.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由恒等式的思想得出20
30x x y -=⎧⎨-+=⎩
，解之可得选项.
【详解】
由2030x x y -=⎧⎨
-+=⎩，解得：2
5
x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，
故选：C. 【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
2．B
解析：B 【分析】
以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大值，由此能求出QAP 的面积的最大值. 【详解】
以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 因为2AB BP ==，所以()3,0P
，设(),Q x y
因为过动点Q 作圆的切线QR ，满足2PQ QR =，
()2224PQ QO OR =-
所以()()
2
2
2
2
341x y x y -+=+-，
整理得：()2
2
1613
x y ++=
， 所以点Q 的轨迹是以()1,0-为圆心，以3
为半径的圆， 所以当点Q 在直线1x =-上时，3
y =±此时点Q 到AP 距离最大，QAP 的面积的最大，
所QAP 的面积最大为1183
4223333
QAP
S AP =⨯⨯=⨯⨯==
， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是建立直角坐标系，设(),Q x y ，利用
()222244PQ QR OQ OR ==-，即可求出点Q 的轨迹方程，可得点Q 到AP 距离的最大
值，即为三角形高最大，从而QAP 的面积最大.
3．C
解析：C 【分析】
作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：
直线PA 的斜率为21110
PA k -+=
=--，直线PB 的斜率为11
120PB k +=
=-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-.
因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎭
. 故选：C.
【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
4．B
解析：B 【分析】
由题可知，两圆的公共直线必过()()2
2
121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线
的方程，列式计算即可得解. 【详解】
圆2
2
2
()x a y a -+=平分()()22
121x y ++-=的周长，
所以两圆的公共直线过()()2
2
121x y ++-=的圆心()1,2-，
两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=， 将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-. 故选：B . 【点睛】
两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.
5．A
解析：A 【分析】
由直线过圆心得,a b 满足的关系式，说明点(,)a b 在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值． 【详解】
由题意直线l 过已知圆的圆心，圆心为(2,1)--，∴210a b --+=，即210a b +-=， 点(,)a b 在直线210x y +-=上，
210x y +-=的点(,)a b 到点(2,2)的距离，
∴=
故选：A ． 【点睛】
方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出,a b 满足的条件，得点(,)a b 在一条直线210x y +-=上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．
6．D
解析：D 【分析】
根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】
由于,PA PB 是圆()()2
2
:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，
所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :1
1(x 1)2
y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨
++=⎩得1,
,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩
PC 的中点为1
(0,),||2
PC ==
以PC 为直径的圆的方程为2215(),24
x y +-=即22
10x y y +--=，
两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=
故选：D.
7．C
解析：C 【分析】
求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】
圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，
所以d =
= ，
圆22
(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=
故选C ． 【点睛】
圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】 令
3
2
y k x -=-，可得出320kx y k -+-=，问题转化为直线320kx y k -+-=与圆222210x y x y +--+=有公共点，可得出关于实数k 的不等式，进而可解得实数k 的取
值范围.
【详解】 令
3
2
y k x -=-，可得出320kx y k -+-=， 将圆的方程化为标准方程得()()2
2
111x y -+-=，圆心坐标为()1,1，半径为1， 则直线320kx y k -+-=与圆()()2
2
111x y -+-=
1≤，
整理可得340k -≤，解得34
k ≥. 因此，
32y x --的取值范围为3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 故选：C. 【点睛】
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）y b
z x a
-=-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率； （2）
z =
(),x y 到点(),a b 的距离；
（3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C
++=倍.
9．A
解析：A 【分析】
求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】
易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，
设圆心C 的坐标为()0,b
，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，
因此，圆C 的方程为()2
2325x y ++=，即为2
2
6160x y y ++-=.
故选：A. 【点睛】
求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都
要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
10．C
解析：C 【分析】
将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】
圆22
1:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆22
2:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，
圆心距125C C ==
1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.
故选:C. 【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
先考虑其中一条直线的斜率不存在时（0a =和3
2
a =）是否满足，再考虑两直线的斜率都存在，此时根据垂直对应的直线一般式方程的系数之间的关系可求解出a 的值. 【详解】
当0a =时，直线为：1
0,3
x y ==，满足条件； 当32a =
时，直线为：332
0,223
x y x +-==，显然两直线不垂直，不满足； 当0a ≠且3
2
a ≠
时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上：0a =或2a =. 故选C. 【点睛】
根据两直线的垂直关系求解参数时，要注意到其中一条直线斜率不存在另一条直线的斜率为零的情况，若两直线对应的斜率都存在可通过12
1k k 去计算参数的值.
12．C
解析：C 【分析】
根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】
因为圆心为1,32C ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 所以设圆的方程为：222
1
()(3)2
x y r ++-=， 将直线方程代入圆的方程，得到2
2
8552004
y y r -+
-=， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有2
1212174,45
r y y y y +=⋅=-，
因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=， 所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，
整理得121296()50y y y y -++=，即2
179645()045
r -⨯+⨯-=，
求得2
254
r =
， 所以圆C 的方程为：22
125()(3)2
4
x y ++-=， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.
二、填空题
13．2【分析】显然直线l 的斜率存在圆心与之间的距离半径由勾股定理得【详解】显然直线l 的斜率存在如图所示圆圆心半径当时切点当时圆心与之间的距离半径由勾股定理得故答案为：2【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆
解析：2 【分析】
显然直线l 的斜率存在，圆心C 与P 之间的距离=CP 1r =，由勾股定理得
2AP =.
【详解】
显然直线l 的斜率存在，如图所示
圆22:(1)(1)1C x
y ，圆心(1,1)C -，半径1r =，
当0k =时，切点(1,0)A -，2AP =
当0k ≠时，圆心C 与(1,0)P 之间的距离3=CP 1r =，由勾股定理得2AP = 故答案为：2 【点睛】
结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d r <⇔相交；d r =⇔相切；d r >⇔相离．
14．【分析】由题意可知直线的斜率存在且不为零可设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件可求得的取值范围并求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求得面积的最小值及其对应的值由此可求得直线的方程【详解】由题意 解析：480x y +-=
【分析】
由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，求出点
A 、
B 的坐标，结合已知条件可求得k 的取值范围，并求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求得AOB 面积的最小值及其对应的k 值 ，由此可求得直线l 的方程.
【详解】
由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，
可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-. 在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41
k x k
-=
. 即点41,0k A k -⎛⎫
⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得41
0140
k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <， AOB 的面积为
()()14111111481682168222AOB k S k k k k k k ⎛-⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯-=--≥+-⋅-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝△，
当且仅当()1160k k k
-
=-<时，即当1
4k =-时，等号成立，
所以，直线l 的方程为()1
144
y x -=--，即480x y +-=. 故答案为：480x y +-=. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）将三角形的面积利用k 加以表示；
（2）在求解最值时，可充分利用基本不等式、导数、函数的单调性等知识来求解.
15．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=
【分析】
直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】
∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=
1=，
∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为2
2
1x y +=． 故答案为：2
21x y += 【点睛】
本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.
16．【分析】利用对称性作点关于轴的对称点利用数形结合求的最小值【详解】作点关于轴的对称点则最小值即为到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点则再利
解析：
5
【分析】
利用对称性，作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '
--，
||||||||AM MN A M MN '+=+，利用数形结合求AM MN +的最小值.
【详解】
作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '
--，
则||||||||AM MN A M MN '+=+，
最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，
1255d =
=，所以||||AM MN +125
故答案为：1255
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '
--，则
AM A N '=，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算||||AM MN +的最小值. 17．①③【分析】给直线分别取不同的方程可得到②和④的反例同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点③正确【详解】①令直线为：则其不与坐标轴平行且不经过任何整点①正确；②
解析：①③ 【分析】
给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①的直线；通过直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】
①令直线l 为：1
2
y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确； ②令直线l 为：22y x =
-()2,0，②错误；
③令直线l 为：y kx b =+，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y ，
则112
2y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-，
即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈，
∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；
④令直线l 为：1
1
32
y x =+，则l 不过整点，④错误. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
18．【分析】作点关于射线与轴的对称点连接两对称点得解【详解】如图作出作点关于射线与轴的对称点连接两对称点与射线与与轴交于两点则此时三角形周长最小因为所以最短设则解得同理得所以故直线的方程为故答案为：【点 解析：53120x y +-=
【分析】
作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 得解, 【详解】
如图，作出作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 与射线1y x =+与与x 轴交于两点,M N ,则此时三角形PMN 周长最小.
因为,PM CM PN NB ==,所以PM PN MN CM MN NB CB ++=++=最短，
设(,)C x y 则13122
113y x y x ++⎧=+⎪⎪⎨
-⎪=-⎪-⎩ 解得(0,4)C ，同理得(3,1)B - 所以5
3
CB k =- 故直线MN 的方程为53120x y +-= 故答案为：53120x y +-=
【点睛】
作出点关于已知两射线的对称点是解题关键，属于基础题.
19．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点
解析：7
【分析】
根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】
解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，22
2:(2)1O x y -+=是相离的，
所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：
与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即2
2
9x y +=；
与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b
4b =⇒=±
∴22(9x y +±=，
同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：
与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；
分别为223()(92x y ++±=
和22
3()(92x y -+=，
共7个， 故答案为：7． 【点睛】
由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.
20．【分析】求出三条直线的交点坐标从而可求得三角形的面积再求极限即可【详解】由得即同理可得到直线的距离为∴∴故答案为：【点睛】本题考查数列的极限解题关键是求出三角形的面积 解析：
12
【分析】
求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。

【详解】
由00nx y n x ny n +-=⎧⎨+-=⎩得1
1n x n n
y n ⎧=
⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，即(
,)11n n C n n ++，同理可得(1,0),(0,1)A B ，
AB =C 到直线AB
，
∴111
222(1)
n n S AB d n -=
==
+， ∴1
111lim lim lim 12(1)2
2(1)
n n n n n n S n n
→∞→∞→∞-
-===++。

故答案为：12。

【点睛】
本题考查数列的极限，解题关键是求出三角形的面积n S 。

三、解答题
21．（1）1x =-或3430x y -+=；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设直线l 的方程为1x ty =-，由圆心到直线距离等于半径可求得参数，得直线方程； （2）设直线l 的方程为1x ty =-，与0l 方程联立解得N 点坐标，PQ 线段中点为M ，则
CM PQ ⊥，设直线CM 的方程为()43y t x +=-+，与l 方程联立求得M 点坐标，由
,,A M N 共线，得AM AN ⋅AM AN =⋅，即得结论．
【详解】
解：（1）由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，则由l 与圆相切得：
2d =
=，解得：0t =或4
3，故l 的方程为1x =-或3430x y -+=.
（2）∵l 与圆相交于PQ 两点，故l 斜率存在且不为0.设直线l 的方程为1x ty =-，
联立122x ty x y =-⎧⎨+=⎩得31
2
32t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，故331,22t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； ∵PQ 线段中点为M ，∴CM PQ ⊥，设直线CM 的方程为()43y t x +=-+，
联立14(3)x ty y t x =-⎧⎨+=-+⎩，得2222411241t t
x t t y t ⎧--=-⎪⎪+⎨--⎪=
⎪+⎩
，故222
24241,11t t t M t t ⎛⎫----- ⎪++⎝⎭； ∴222
2424,11t t t AM t t ⎛⎫----= ⎪++⎝⎭
，33,22t
AN t t ⎛⎫= ⎪++⎝⎭， ∴6AM AN ⋅=-，又由于A ，M ，N 三点共线， ∴6AM AN ⋅=得证，AM AN ⋅为定值.． 【点睛】
关键点点睛：本题在计算AM AN ⋅时，利用A ，M ，N 三点共线，这样有
AM AN ⋅AM AN =⋅，为此求出,M N 的坐标即可，设出l 方程为1x ty =-，由直线
相交得交点坐标，M 是弦PQ 中点，利用CM PQ ⊥，由l 方程写出CM 方程后可得交点
M 坐标，由坐标运算求得向量的数量积，
22．（1）22(3)(2)25x y +++=；（2）存在4n =-或6n =，最大值为25
2
，直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【分析】
（1）设圆的一般式方程，代入A 、B 两点坐标，再圆心在直线上，列方程组得解. （2）设圆心到直线的距离为()0h h >，将三角形CDE △的面积表示为h 的函数，用基本不等式求最值及取最值时h 的取值，进一步可得对应的直线方程. 【详解】
（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为点()1,1A 和()2,2B -在圆上，圆心C 在直线l ：10x y -+=上，
所以110442201022D E F D E F D E ⎧
⎪++++=⎪⎪
++-+=⎨⎪⎛⎫⎪---+= ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得6D =，4E =，12F =-，
所以圆的方程为2264120x y x y +++-=，即22
(3)(2)25x y +++=． （2）设圆心C 到直线m 的距离为()0h h >，H 为DE 的中点，连接CH . 在CDE △中，
∵DE ==
∴CDE △
的面积为11
22
CDE
S DE CH h h =
⋅=⋅=∴
222525
22
CDE
h h S
+-=≤=
， 当且仅当2225h h
=-，即2
h =
此时CDE △的面积取得最大值.
∵|1|22CH n h =
=-==
， ∴|1|5n -=，∴4n =-或6n =，故存在4n =-或6n =，使得CDE △的面积最大，最
大值为
25
2
，此时直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【点睛】
此题为直线与圆的综合题，属于能力题.
方法点睛：直线与圆相交的弦、弦心距、圆的半径三者构成的直角三角形是此类问题中的特征三角形，边长满足勾股定理是解决此类问题关键.
23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）1
6
m =-时，直线l 被圆C 截
得的弦最短，弦长为【分析】
（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；
（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】
（1）因为6,12,20D E F =-== 所以6322D --
=-=，12622
E -=-=-，所以(3,6)C -，
所以半径5R =
==. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，
由28030
x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，
5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.
（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，
则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，
因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，
||AB
取最小值=111
2363
43
CM
m k =-
=-
=-
-+-，所以16
m =-.
所以1
6
m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】
关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出
CM l ⊥时，弦长最短.
24．(1) 22(3)(2)1x y -+-=或22232()()11111x y -+-=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
(1）设圆心C 为（a ，2a -4)，利用直线与圆相切，求解a ，得到圆心坐标，求出圆的方程. (2)由2=MA MO ，求出动点M 的轨迹方程，说明轨迹，通过点M 同时在圆C 上，说明圆C 与圆D 有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C 的横坐标a 的取值范围即可．
（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a-4)，
|1128|
1
5
a-
==，即|1128|5
a-=，
所以11285
a-=±，
解得3
a=或
23
11
a=，
所以圆心C的坐标为(3，2)或
232
,
1111
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
所以圆C的标准方程为22
(3)(2)1
x y
-+-=或22
232
()()1
1111
x y
-+-=
(2) 由2
=
MA MO,=
化简得：22230
x y y
++-=，
即22
(1)4
x y
++=，
所以动点M的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，
若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，
则21||21
CD
-≤≤+，
即1 3.
≤≤
整理得：
2
2
51280,
5120
a a
a a
⎧-+≥
⎨
-≤
⎩
解得
12
5
a
≤≤，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，
12
5
].
【点睛】
关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得21||21
CD
-≤≤+，解不等式即可求解,属于中档题. 25．（1）()()
22
129
x y
-++=；圆心()
1,2
C-，3
r=；（2）存在；；1
y x
=+或4
y x
=-；（3）
9
2
.
【分析】
（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；
（2）设:l y x m
=+，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用OA OB
⊥，即
1212
x x y y
+=，由此整理可得方程求得m，进而得到所求方程；
（3）设:l y x m
=+，由垂径定理表示出AB，将所求面积表示为关于圆心到直线距离d的函数，利用函数最值的求法可求得结果.
（1）由222440x y x y +-+-=得：()()2
2
129x y -++=.
∴圆C 的圆心为：()1,2C -，半径3r =.
（2）假设存在直线l ，设方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 以AB 为直径的圆过圆心O ，∴OA OB ⊥，即12120x x y y +=. 由22
2440
y x m x y x y =+⎧⎨
+-+-=⎩消去y 得：()22
221440x m x m m ++++-=.
由()()
2
2
418440m m m ∆=+-+->得：33m -<<.
由根与系数关系得：()121x x m +=-+，21244
2
m m x x +-=，
()()()212121212y y x m x m x x m x x m ∴=++=+++，
()21212121220x x y y x x m x x m ∴+=+++=，解得：1m =或4-.
∴直线l 方程为：1y x =+或4y x =-.
（3）设圆心C 到直线l ：y x m =+的距离为d ，则AB =
1
2
CAB
S
d ∴=⨯==
∴当2d =()max 92
CAB S
=
，
∴圆心到直线距离2d =
=，解得：0m =或6m =-， ∴当直线l 的方程为y x =或6y x =-时，CAB △面积取得最大值
9
2
. 【点睛】
方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离d 或者半径r 的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果.
26．（1）圆心()2,0C ，半径r =2）1x =或43130x y +-=.
【分析】
（1）将圆的一般方程化为标准方程，由此得到圆心和半径；
（2）直线l 斜率不存在时，可验证满足题意；当直线l 斜率存在时，假设l 方程，利用垂径定理构造方程可求得斜率k ，从而得到所求方程. 【详解】
（1）圆C 方程可化为：()2
222x y -+=，∴圆心()2,0C ，半径r =
（2）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为：1x =，
由(
)221
22x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得：11x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，()112AB ∴=--=，满足题意； ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为：()31y k x -=-，即30kx y k --+=， ∴圆心C 到直线l
的距离d ==
，
2AB =
，
2∴==，解得：43
k =-， 413:033
l x y ∴--+=，即43130x y +-=； 综上所述：直线l 的方程为：1x =或43130x y +-=.
【点睛】
易错点睛：本题考查根据直线被圆截得弦长求解直线方程的问题，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，造成求解不完整.。