九年级数学 一元二次方程组的专项 培优练习题含答案解析

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题含答案解析
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y，
∴1
2PB•BC=12，即
1
2
×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当16
3
＜x≤
22
3
时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
1 2BP•CQ=
1
2
（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-2
3
（舍去）；
③22
3
＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
1 2QP•CB=
1
2
（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
考点：一元二次方程的应用．
2．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
3．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2
【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17
【解析】
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．
4．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
解：x2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b2﹣4ac=9＞0
∴73
2
±
∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m
2
﹣
1
4
=0的两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为7
2
；（2）当
△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．
（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣
m）2﹣4（m
2
﹣
1
4
）=m2﹣2m+1，可求得m.
【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+3
4
=0，
∴x1=1
2，x2=
3
2
．
当1
2
为腰时，
1
2
+
1
2
<
3
2
，
∴1
2、
1
2
、
3
2
不能构成三角形；
当3
2
为腰时，等腰三角形的三边为
3
2
、
3
2
、
1
2
，
此时周长为3
2
+
3
2
+
1
2
=
7
2
．
答：当m=2时，△ABC的周长为7
2
．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4（m
2﹣
1
4
）=m2﹣2m+1=0，
∴m1=m2=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.
5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得
.
∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴
，即
，解得
.
④设AD=x ，易知，即
. 而，
当
时，
；当时，.
∴△FCD 的面积s 的取值范围是
.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．
7．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且22
1212615x x x x +=-，求k 的值.
【答案】（1）3
2
k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：
根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.
根据韦达定理可得：2
121211
14
x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：
因为方程有两个实数根，所以()2
2114112304k k k ⎛⎫
⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 解得3
2
k ≥
. 根据韦达定理，
()2
21212111141 1.
114
k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为22
1212615x x x x +=-，所以()2
12128150x x x x +-+=，将上式代入可得
()
2
211811504k k ⎛⎫
+-++= ⎪⎝⎭
，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为3
2
k ≥
，所以4k =.
8．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6. 【答案】(1)x 1＝1
＋2x 2＝1
－
2
1＝－1，x 2＝5. 【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12
，∴x 2－2x ＋1＝3
2.
∴(x －1)2＝3
2
. ∴x －1＝
. ∴x 1＝1
＋
2，x 2＝1
－
2
. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】
（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得： x+1+（x+1）x ＝36，
解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
10．已知关于x 的一元二次方程()2
2
11204
x m x m +++
-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184
x x x x m ++=-，求m 的值．
【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】
（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】
（1）解：()2
2114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-
⎪⎝⎭
22218m m m =++-+
29m =+
Q 方程有两个实数根
0∴∆≥，即290m +≥
9
2
m ∴≥-
∴ m 的最小整数值为4-
（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，2
12124
x x m =- 由2
2
212121184x x x x m ++=-
得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
13m ∴=，25m =-
9
2
m Q ≥-
3m ∴=
【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.
11．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣1
2
；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】
(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×
14
k 2
＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】
(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +2
14
k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14
k 2
＞0， ∴k ＞﹣
12
； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，
∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？
【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米. 【解析】
试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米． 根据题意得 （100﹣4x ）x=400，
解得 x 1=20，x 2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去． 即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程的应用．
13．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.
（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.
【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.
【解析】
【分析】
（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把
2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，
x 2﹣5x+6﹣p 2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，
∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，
∴1+4p 2＞0，
∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，
∵2212
123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，
∴52=5（6﹣p 2），
∴p=±1．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
14．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0，
∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，
∴a ﹣b=0，
∴a=b ，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0，
∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0，
∴a 2=b 2+c 2，
∴△ABC 是直角三角形；
（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为：
2ax 2+2ax=0，
∴x 2+x=0，
解得：x 1=0，x 2=﹣1．
考点：一元二次方程的应用．
15．已知关于x 的方程()()2
12310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．
()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？
【答案】(1)13
12k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】
【分析】
（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．
【详解】
（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312
且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．
∵x 1+x 2=0，∴﹣
231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312
且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。