2006.10.10命题及其关系(三)

反证法
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反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立;
推理过程中一定要用到才行
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理,导 出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由 矛 盾 判 定 假 设 不 正 确 , 从 而 肯 定 命
题的结论正确. 有一位数学家说:“反证法是数学上最
精良的武器之一.”数学上很多有名的结论
都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多
个等.
例2
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例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 . 分析:直接证不好下手.
将“若 p2 q2 2 ,则 p q≤2 ”看成 原命题,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题 “若 pq 2 ,则 p2 q2 2 ”为真命题.
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答案
例 1.证明:若 p2 q2 2 ,则 p q ≤ 2 .
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 , ∵ p2 q2 ≥ 2 pq ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功
y b2 2c 1 0 ② ; z c2 2a 1 0 ③ ;∴ 由 ① +② +③ 得
x y z (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0 ,这 与 (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 ≥ 0 矛
盾，则假设不成立,∴
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于
0新疆 王新敞 奎屯
注:(1) “互为”的含义;
为什么?
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命同真同假. 2
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
原命题 若p,则q
否命题 若p,则q
同真同假
逆命题 为什么? 若q,则p
逆否命题 若q,则p
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练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
证明:假设方程 ax2 bx c 0 有等 根,则 b2 4ac =0,∴ b2 4ac ∵ a 、c 为整数,∴ b2 是偶数. ∴ b 为偶数,原命题的条件不成立 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题正确.
命题及其关系(三)
一、知识学习 四种命题的 方1 法点评 真假情况表
二、例题分析 例1
例2
课堂练习
三、课外练习
作业:自学随堂通
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命题及其关系(三)
复习 上节课我们重点认识了四种命题形式
原命题 若p,则q 互 否
否命题 若 p,则 q
互逆 互为逆否
同真同假 互逆
逆命题 若q,则p
互 否
逆否命题 若 q,则 p
PAC C ∴ DAP PAC
尝试成功
得证
因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.
练习
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练习 1
证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 ,则 a b 1.” 为真命题.
练习 2 证明:“若 a 、b 、c 为奇数,则方程 ax2 bx c 0 无等根.” 为真命题.
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3.用反证法即化难为易.
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1答案
2答案
练习 1 证明:“若 a2 b2 2a 4b 3 0 , 则 a b 1.”为真命题.
证明:假设 a b 1, 则 a2 b2 2a 4b 3 = (a b)(a b) 2(a b) 2b 3
= a b 1 =0 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真. 3
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
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课外练习:
1.已知三个关于 x 的方程： x2 4ax 4a 3 0 ，
x2 (a 1)x a2 0 ，x2 2ax 2a 0 中至少有一
个方程有实数根，求实数 a 的取值范围．
2. 用 反 证 法 证 明 ： 若 a 、 b 、 c R ， 且
x a2 2b 1 ， y b2 2c 1， z c2 2a 1 ，
则
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于
0新疆 王新敞 奎屯
3.已知m、n、p、q∈R，且同时满足
⑴m+n=1，⑵p+q=1，⑶mp+nq＞1.
求证： m、n、p、q中至少有一个是负数.
作业:自学随堂通
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课外练习答案: 1.见参考书 P6 2. 证明:假设 x 、y 、z 均小于 0，即 x a2 2b 1 0 ① ；
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
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方法点评
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， 已知∠DAP≠∠PAC，求证:AP 与 BC 不平行.
分析: 题中条件与结论中 有“∠DAP≠∠PAC”，“AP 与 BC 不平行”这样的不等 关系、否定关系,像这样的 问题直接证明不好说理， 若考虑证明它的逆否命题 来代替会容易些.
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答案
例 2 如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC，
求证:AP 与 BC 不平行.“等腰△ABC中,AB=AC”
不是条件
证明: 假设 AP 与 BC 平行,
∵ AB AC ∴ B C
假设原命题结 论的反面成立
∵ AP BC ∴ DAP B 看能否推出原命题条件的反面成立