用二分法求方程的近似解

解：设函数 f (x)=2x+x-4 上是增函数∵ 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 在 上是增函数 内有惟一零点， ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点， 在 内有惟一零点 内有惟一解x 方程2 在 内有惟一解 ∴方程 x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解 0. 由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得： x0∈(1.375,1.4375) 的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 ∵ 1.375与1.4375的近似值都是 与 的近似值都是
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由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！ 数离形时少直观，形离数时难入微！
1．简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
数学理论(建立数学) 建立数学)
问题4 如何描述二分法？ 问题4．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断 ， 且 f(a)f(b)<0 上连续不断， 对于在区间 上连续不断 的函数y=f(x)， 通过不断地把函数 的函数 ， 通过不断地把函数f(x)的零点所 的零点所 在的区间一分为二， 在的区间一分为二 ， 使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根 或对应方程的根)近似解的 零点，进而得到零点 或对应方程的根 近似解的 方法叫做二分法． 方法叫做二分法．
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课堂小结
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用 理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 方法． 2.能借助计算机 器)用二分法求方程的近 能借助计算机(器 用二分法求方程的近 能借助计算机 似解，体会程序化的思想即算法思想． 似解，体会程序化的思想即算法思想． 3.进一步认识数学来源于生活，又应用于 进一步认识数学来源于生活， 进一步认识数学来源于生活 生活． 生活． 4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数 感悟重要的数学思想： 感悟重要的数学思想 等价转化、 与方程、数形结合、分类讨论以及无限 与方程、数形结合、分类讨论以及无限 逼近的思想. 逼近的思想
指出：用配方法可求得方程 的解， 指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 的解 但此法不能运用于解另外两个方程. 但此法不能运用于解另外两个方程 问题2．不解方程 能否求出方程 的近似解？ 能否求出方程(2)的近似解 问题 ．不解方程,能否求出方程 的近似解？
问题3． 不解方程， 如何求方程x 问题 ． 不解方程 ， 如何求方程 2-2x-1=0的 的 一个正的近似解（精确到0.1） 一个正的近似解（精确到 ）? y y=x2-2x-1 画出y=x2-2x-1的图象 如图 的图象(如图 画出 的图象 如图) 由图可知：方程x 由图可知：方程 2-2x-1=0 x 的一个根x 在区间(2,3)内， 的一个根 1在区间 内 -1 0 1 2 3 另一个根x 在区间(另一个根 2在区间 -1,0) 内． 结论： 的图象， 结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们 - 的图象 发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 ， 在区间(2, 上穿过 轴一次， 上穿过x轴一次 在区间 3)上穿过 轴一次，可得出方程在区 上有惟一解. 间(2,3)上有惟一解 上有惟一解
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3．计算f )： 3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； 若 ＝ ， (2)若f (a)•f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(a, x1)); 此时x 若 ＜ ，则令b＝ 此时 (3)若f (a)•f(x1)＜0，则令 ＝x1 (此时 0∈(x1,b)). 此时x 若 ＜ ，则令a＝ 此时
问题6：能否给出二分法求解方程 问题 ：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤？ 近似解的基本步骤？ 近似解的基本步骤
1．利用 ＝f(x)的图象，或函数赋值法 即验证 ．利用y＝ 的图象 或函数赋值法(即验证 的图象， f (a)•f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间 b). ＜ ，判断近似解所在的区间(a, 2．“ 二分 ” 解所在的区间 ， 即取区间 ． 二分”解所在的区间，即取区间(a, b) a+b 的中点 = x
问题5：二分法实质是什么？ 问题 ：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 用二分法求方程的近似解， 取中点”的方法，运用“ 过 “ 取中点 ” 的方法 ， 运用 “ 逼近思想逐步缩 小零点所在的区间。 小零点所在的区间。
应用数学) 数学运用(应用数学 应用数学
例题：利用计算器，求方程 例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 - 的近似解 精确到0.1） （精确到 ） 怎样找到它的解所在的区间呢？ 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数 y=2x 的图象（ 与y=4-x的图象（如图） - 的图象 如图） 方程有一个解x 方程有一个解 0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？ 能否不画图确定根所在的区间？
； ；
4．判断是否达到给定的精确度，若达到，则 ．判断是否达到给定的精确度，若达到， 得出近似解；若未达到，则重复步骤2～ ． 得出近似解；若未达到，则重复步骤 ～4．
练习1： 练习 ： 求方程x 的一个近似解(精确到 求方程 3+3x-1=0的一个近似解 精确到 0.01) 的一个近似解 的图象比较困难， 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 的图象比较困难 变形为x 变形为 3=1-3x，画两个函数的图象如何？ ，画两个函数的图象如何？ 有惟一解x0∈(0,1) 有惟一解 知识拓展 介绍如何利用excel来 来 介绍如何利用 帮助研究方程的近似解？ 帮助研究方程的近似解？
理解数学) 回顾反思(理解数学)
思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有15 从上海到美国旧金山的海底电缆有 个接点， 现在某接点发生故障， 个接点 ， 现在某接点发生故障 ， 需及时修 为了尽快断定故障发生点， 理 ， 为了尽快断定故障发生点 ， 一般至少 需要检查几个接点？ 需要检查几个接点？ 6 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15
教学重点：用二分法求方程的近似解 教学难点：二分法求方程近似解的算法
提出问题) 问题情境(提出问题)
中学电视台 幸运52”录制现场 “幸运 录制现场
有奖竞猜
请同学们猜一猜某物品的价格
体验数学、感知数学) 学生活动 意义建构(体验数学、感个方程
(1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0
用二分法求方程的近似解 教学目标： 教学目标
掌握二分法求方程近似解的一般方法， 掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计 算机或计算器求方程的近似解； 算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程近 似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系； 似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系； 培养学生利用现代信息技术和计算工具的能力； 培养学生利用现代信息技术和计算工具的能力； 培养学生探究问题的能力与合作交流的精神， 培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辩 证思维的能力； 证思维的能力； 鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣， 鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣， 培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观. 培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观.
1
y
y=x3
x
0 1
y=1-3x
excel
练习2: 练习 下列函数的图象与x轴均有交点 轴均有交点,其中不能 下列函数的图象与 轴均有交点 其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
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x
0
x
0
x
0
x
问题7:根据练习 ， 问题 根据练习2，请思考利用二分法求函数 根据练习 零点的条件是什么？ 零点的条件是什么？ 1. 函数 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 上连续不断． 在 上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a)f (b)<0，则在 内必有零点. 满足 ，则在(a,b)内必有零点 内必有零点
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+
3
2.25
+ 2.5 + 2.5
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y
3
+
y=x2-2x-1
3
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x
-1 0 1 2 3
+ 2.25 2.375 2.5
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+ 2.25 2
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+ +
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3
2.25 2.375 2.5 2.4375