湖南省衡阳县高三数学上学期第二次月考试题 文

2018届高三第二次月考试题
数学试卷（文）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1.已知集合{
{}|,|1x A x y B y y e ==
==-，则A B =（ A ）
A ．[)1,1-
B ．[]1,1-
C ．()1,1-
D ．(][),11,-∞-⋃+∞ 2.下列命题中的假命题是 ( B )
A.0log ,2=∈∃x R x
B.0,2
>∈∀x R x C.1cos ,=∈∃x R x D.02,>∈∀x
R x
3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是 （ ）
A ．2()f x x =
B ．||
()2x f x = C ．2
1
()log ||
f x x = D ．()sin f x x = 4. 设a 、b 、c R ∈，则“a 、b 、c 成等差数列”是2b a c =+的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ D ） A ．
310π B ．320π C.3110π- D ．3120
π-
6.方程()2
ln 10x x
+-
=，()0x >的根存在的大致区间是（ B ） A ．()01，
B ．()12， C. ()2e ， D ．()34， 7.设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( B ) A ．a <b <c B ．c <b <a
C ．b <a <c
D ．b <c <a 8.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则
f ′(1)＝( C )．
A ．－e
B ．1
C ．－1
D ．e 9．执行程序框图（如右），若输入的a 为2，则输出的结果为（ B ） A ．90 B ．110 C ．132 D ．156
10.若x 、y 满足2x y x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
错误！未找到引用源。

则2x y +的最大值为 ( A )
A. 9
B. 5
C. 3
D. 1
11.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( D )．
12.定义在R 上的函数()f x 满足22
1,11()log (|2|2),13x x f x x x ⎧-+-⎪
=⎨--+<⎪⎩≤≤≤，(4)(),f x f x +=若关于x
的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是（ D ） A ．11(,)43 B ．11(,)64 C
．1(16)6- D
．1
(,86
-
二．填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分。

） 13.
函数()f x =__ __ _2[
2,
2],3
3
k k k Z π
π
ππ++∈ 14.
已知向量(a =r ，2b =r ，且=a b λr r
，则实数λ=__ __ _3±
15. 已知直线l ：(4)y k x =+
与曲线:0C x =有且仅有两个交点，则实数k 的取得范围是__________．
113(][,)3223
-
- 16．已知()lg ,0,2,0,
x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩则函数()()2
231y f x f x =-+的零点个数是
．5
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分） 已知向量a (2sin x,
(cos x,cos 2x),f (x)a b 1===⋅+r r r r ，
（Ⅰ）求f ()3
π的值．
（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．
1f (x)2sin x cos x 2x 1
sin 2x 2x 12sin(2x )1
3
π
=++=+=++解：（）
………………….. 4分
f ()2sin(2)12sin 11333
πππ
π=⨯++=+= ………………….. 6分 （2）2T 2
π
π=
= ………………….. 8分 2k 2x 2k k Z 232
-+πππ
ππ≤+≤+∈当，时，函数单调递增， 5k x k k Z 1212
-++ππ
ππ≤≤∈解得，
5k ,k ],k Z.1212
ππ
ππ++∈所以函数的单调递增区间为：[- ………………….. 12分
18.（本小题满分12分）
某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩
.
（1）完成频率分布直方图；
（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改组区间的中点值作代表）；
（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为，并假设，且取得每一个
可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率.
【答案】（1）见解析（2）78（3）0.7
【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，频率分布直方图小长方体的高等于对应概率除以组距，计算数值并完成频率分布直方图；（2）根据组中值与对应概率乘积的和为平均数计算平均成绩（3）先根据平均数等于总分除以总人数得
，再解不等式
得
，最后根据古典概型概率计算公式求概率
试题解析：解：（1）频率分布直方图如图：
（2）
，
即全班同学平均成绩可估计为78分. （3），
故
.
19．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，n S 数列{}n a 的前n 项和,且
2355,15+==a a S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，1134,==b a b a .
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意得11
235
51015+=⎧⎨+=⎩a d a d
解得1d =，11=a ，
所以 ()11n a n n =+-=， ……………………3分
又 22131b 1,b b q q 4==⋅==，
因为 q 0,
q 2=>所以
11122n n n b --=⨯= ………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
2n n n n c a b n -==⋅，则
011222n T =⋅+⋅+21322n n -⋅+⋅L ① ………………………7分
2n T =121222⋅+⋅+L ()1122n n n n -+-⋅+⋅ ② ……………………8分
① -②得：012
121212n T -=⋅+⋅+⋅1122n n n -++⋅-⋅L ……………………10分
()1122
12
n n
n ⋅-=
-⋅-()121n
n =-⋅- …………………12分 所以()121n
n T n =-⋅+.
20. 已知椭圆
经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线
，使其满足:①直线的斜率与直线
的斜率互为相反数；②线段
的中点在直线
上.若存在，求出直线
和
的方程；
若不存在，请说明理由. 【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：(1)利用条件布列关于
的方程组，解之即可;(2) 设直线
的方程为
，代入
，得
.利用设而要求法，
得到，同理
，结合中点坐标公式得结果.
试题解析：
(1)由已知得，
解得
，
∴椭圆的方程
.
(2)设直线的方程为，代入，得
.(*)
设，，且是方程(*)的根，
∴，
用代替上式中的，可得，
故中点横坐标为
，
解得，
∴直线
的方程分别为
，
或，.
21. （本小题满分12分）已知函数a
f (x)ln x (a R,a 0)x
=-
∈≠ （Ⅰ）当1a =-时，讨论()f x 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若()f x 在区间[1,]e 上的最小值是
3
,2
求实数a 的值。

解：⑴当1a =-时，1()ln ,f x x x =+∴22111
()x f x x x x
-'=-= ………… 2分
∵0,x >∴()f x 在区间(0,1)上递减，在区间(1,)+∞上递增。

……6分 ⑵由已知2
()x a
f x x +'=
， 1a ≥-时，而1,x ≥∴10,x a a +≥+≥
∴()f x 在[1,]e 上递增，于是min 3()(1),2f x f a ==-=
有3
2
a =-不成立……8分 ②当a e ≤-时，而,x e ≤∴0,x a e a +≤+≤∴()f x 在[1,]e 上递减， 于是min 3()()1,2a f x f e e ==-
=有2
e
a =-不成立。

……10分 ③当1e a -<<-时，在区间[1,]a -上， 10,a x a +≤+≤则()0,f x '≤∴()f x 递减， 在区间(,]a e -上， 0,x a a e <+≤+则()0,f x '>∴()f x 递增，
∴min 3
()()ln()1,2
f x f a a =-=-+=
∴a =
综上所述得：实数a = ……12分
请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔
在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数
方程为
:12(12
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=.
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值. 解：（Ⅰ）
24cos ,4cos ρθρρθ=∴=, 由222,cos x y x ρρθ=+=，得224x y x +=，
所以曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=. …………… 2分
由112
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，消去t
得：+10x =. 所以直线l
的普通方程为+10x =. …………… 4分
（Ⅱ）把
112
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=
，整理得2
50t -+=，……… 6分
因为272070∆=-=>，设其两根分别为 12,t t
，则12125,t t t t +== ………… 8分 所以
12PQ t t =-== (10)
分
23.（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》 已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；
（2）若,,a b c R ∈，22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值.
解：（1）由于3,1()31,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪
=---≤<⎨⎪+≤-⎩
所以max ()(1)2k f x f ==-=
5分
(2)由已知22
22
2=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ，
因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号）， 所以)(24)()(2
2
2
2
bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ， 故[]2)(max =+c a b .。