2013年迎春杯小高组复赛详解

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2013年第十八届华杯赛小高组初赛详解

D E C
帅
老
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师
A O
B
10．圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中，已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）．那么，共有________种不同的选择．【考点】计数——枚举法、整数的裂项与拆分【难度】☆☆☆ 【答案】31 【分析】36 个同样的礼物装在 8 个袋子中，每个袋子礼物的个数至少为 1 且各不相同，而 1 2 3 L 8 (1 8) 8 2 36 ，明确 8 个袋子分别装的礼物数是 1～8．根据题意要求选出袋子里装的礼物数为 8 的倍数，分情况枚举即可． 8 0 8 、 1 7 、 2 6 、 3 5 、 1 2 5 、 1 3 4 ．共六种． 16 7 8 1 、 2 6 8 、 3 5 8 、3 6 7 、 4 5 7 、3 4 8 1 、 2 5 8 1 、1 7 2 6 、 3 5 2 6 、 1 7 3 5 、 2 3 4 7 、 1 4 5 6 、 1 3 4 2 6 ．共十三种． 24 3 6 7 8 、4 5 7 8 、 1 3 5 7 8 、 1 2 6 7 8 、2 3 5 6 8 、2 3 4 7 8 、 1 4 5 6 8 、 2 4 5 6 7 、 1 2 3 4 6 8 、 1 2 3 5 6 7 ．共十种． 32 2 4 5 6 7 8 、 1 2 3 5 6 7 8 ．共两种．合计 31 种．

-迎春杯试卷汇总(小高组)培训课件

2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷（测评时间：2010 年1月3日9：00—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________填空题：（每题10分，共120分）．2. 小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．3. 如图，长方形ABCD 中，BE=4，EC=4，CF=4，FD=1，则⊿AEF 的面积是．5. 一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有项是整数．6. 甲、乙两车同时从A 城市出发驶向距离300千米远的B 城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B 城市．那么，甲车在距离B 城市千米处追上乙车．7. 已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即），则这个五位回文数最大的可能值是．8. 请从1, 2,3···,9,10 中选出若干个数，使得1,2,3···,19,20 中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出个数．9. 如图，请沿虚线将7×7的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，并且这个数字就是此长方形的面积．则第四列的小方格属于个不同的长方形．=+-+-++⨯+-⨯227213319)4131(12)3121(6.1deed abcba ⨯=4510. 九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从A到B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线，如图的虚线就是一种走法．共有种不同的走法．11.如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，则⊿ABC的面积是．12.C，D为AB的三等分点；甲8点整时从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B点出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲，乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲，丙8:30相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点分2010年“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初试试卷（测评时间：2010 年1月3日9：00—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________填空题：（每题10分，共120分）2.小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买13支，那么降价前这些钱可以买________支签字笔．3.满足图中算式的三位数abc最小值是________．4. 三个半径为100厘米且圆心角为60º的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘米．（π取3.14）5.用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．6.梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积为________．7. 有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是________．8.一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．9. 九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从A点走到B点，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从A点走到B点共有________种不同的走法．10. 学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影．确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可能性听错（把4听成10或者把10听成4）．班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错．那么小明认为看电影的日期是正确日期的可能性为________%．11. 如图，C,D为AB的三等分点；8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲,乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲,丙8:30相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．12.图中是一个边长为1 的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F 位置上（例如：a+b+g+f=A）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a×g×d=___________．2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日8：30—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.=⨯-⨯+1457266.22010 ．2. 下表是人民币存款基准利率表．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存整取的方式存款，三年后他连本带利一共能从银行拿到元人民币．整存整取时间三个月半年一年三年五年年利率（％）1.711.982.253.333.603. 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．4. 有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功,每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻千克．5.在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6. 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC 和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE 如图摆放．M 为AE 的中点，则△ACM 的面积为平方厘米．新品种25% 旧品种2 60 1 0A CBED M104 4147. 黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5．每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；……）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是．8. 蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有种方法．9. 在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击次．10. 如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于_________平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．12. 现有一块L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米．13. 小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程千米．1 0 00 0 0 0 222 222 2 22 2 2 2 10厘米10厘米10厘米 20厘米 30厘米14.9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．15.小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有个肥皂泡出现．2011“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷（测评时间：2010年12月19日8:30—9:30）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题（每题8分，共40分）1. 算式12345678910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的计算结果是．2. 十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期．(星期一至星期日用数字1至7表示)3. 右图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4，那么这个等腰梯形的周长等于．4. 某乐团女生人数是男生人数的2倍，若调走24名女生，则男生人数是女生人数的2倍，那么该乐团原有男女学生一共人．5. 规定12010203=+=※...，232349=0+0+0=0※....，54567826=0+0+0+0=※.....．如果 15165a =※.，那么a 等于．二．填空题（每题10分，共50分）6. 如图，蚂蚁从正方体的顶点A 沿正方体的棱爬到顶点B ，并且恰好经过正方体每个顶点一次，那么蚂蚁一共有种不同的爬法．7. 在右图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么两个乘数的和是．8. 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形．若其中较小正方形的边长为12厘米，那么较大正方形的面积是平方厘米．A B AB20 1 09. 如图的5×5的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数ABCDE = ．10. 小人国有2011个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子．小矮人戴红帽子时说真话，戴蓝帽子时说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．那么这一天他们总共最少改变了次帽子的颜色．三．填空题（每题12分，共60分）11. 如图，一个大长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米．那么大长方形的面积最大是平方厘米．12. 如图是一个6×6的方格表，将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1~6都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1~6也恰好都只出现一次，那么最下面一行的前4个数字组成的四位数ABCD 是．13. 甲、乙两车同时从A 地出发开往B 地．出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小时快2.5千米．10分钟后，甲车减速了；再过5分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车每小时慢0.5千米．又过了25分钟后两车同时到达B 地．那么甲车当时速度每小时减少了千米．14. 把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数”：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字．例如：132、871、54132都是“幸运数”；但8918（数字“8”重复）、990（数字“9”重复）都不是“幸运数”．那么最大“幸运数”从左往右的第二位数字是．15. 一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：（1）这个数组中的每个数（除了1以外），都可被2、3、5中的至少一个数整除．（2）对于任意非零自然数n ，若此数组中包含有2n 、3n 、5n 中的一个，则此数组中必同时包含有n 、2n 、3n 和5n ．如果此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组包含个数． A B DC EＢＡＡＣＤ2011“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初试试卷（测评时间：2010年12月19日8:30—9:30）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题（每题8分，共40分）1. 今天是2010年12月19日，欢迎同学们参加北京第27届“数学解题能力展示”活动．那么，算式1027100121910002010++的计算结果的整数部分是．2. 某校有2400名学生，每名学生每天上5节课，每位教师每天教4节课，每节课是一位教师给30名学生讲授．那么该校共有教师位．3. 张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买25支．那么降价前这些钱可以买签字笔支． 4. 右图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为40毫米、20毫米，则阴影图形的面积是平方毫米．（π取3.14）5. 用4.02乘以一个两位整数，得到的乘积是一个整数，这个乘积的10倍是．二．填空题（每题10分，共50分）6. 某支球队现在的胜率为45%，接下来的8场比赛中若有6场获胜，则胜率将提高到50%．那么现在这支球队共取得了场比赛的胜利．7. 定义运算：a ba b a b ⨯♥=+，算式920102010201020102010♥♥♥♥♥♥L 144444424444443共颗“”的计算结果是．（题中共9个“♥”，计算顺序从左到右）8. 在△ABC 中，BD ＝DE ＝EC ，CF : AC ＝1 : 3．若△ADH 的面积比△HEF 的面积多24平方厘米，则△ABC 的面积是平方厘米．20 40F EDCB AH9. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么这个正整数是．10. 如图，一个6×6的方格表，现将数字1~6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1~6都恰好出现一次．图中已经填了一些数字，那么剩余空格满足要求的填写方法一共有种．三．填空题（每题12分，共60分）11. 有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个圆柱体．如果大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的倍．12. 某岛国的一家银行每天9:00～17:00营业．正常情况下，每天9:00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17:00下班时有现金60万元．如果每小时提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14:00银行就没现金了．如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17:00下班时银行还有现金50万元，那么9:00开始营业时需要准备现金万元．13. 40根长度相同的火柴棍摆成右图，如果将每根火柴棍看作长度为1的线段，那么其中可以数出30个正方形来．拿走5根火柴棍后，A ,B ,C ,D ,E 五人分别作了如下的判断： A ：“1×1的正方形还剩下5个．” B ：“2×2的正方形还剩下3个．”C ：“3×3的正方形全部保留下来了．”D ：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．”E ：“拿走的火柴棍中有4根在同一直线上．”已知这5人中恰有2人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出个正方形．14. 甲、乙、丙三人同时从A 出发去B ，甲、乙到B 后调头回A ，并且调头后速度减少到各自原来速度的一半．甲最先调头，调头后与乙在C 迎面相遇，此时丙已行2010米；甲又行一段后与丙在AB 中点D 迎面相遇；乙调头后也在C 与丙迎面相遇．那么AB 间路程是米．15. 如果算式19.1220102=-+-I GHF DE ABC 中的A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,I 表示1～9中各不相同的数字，那么五位数ABCDE ＝．1 2 3 4 5 625 3 4 4 3 5 26 5 4 3 212011年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷（测评时间：2011年1月30日8:00—9:30）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果，否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. 定义一种新运算a ☆b 满足：a ☆b ＝b ×10＋a ×2．那么2011☆130＝．2. 从1999年到2010年的12年中，物价涨幅为150%（即1999年用100元能购买的物品，2010年要比原来多花150元才能购买）．若某个企业的一线员工这12年来工资都没变，按购买力计算，相当于工资下降了 %．3. 右图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是平方厘米（π取3.14）．4. 某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别．小学的两个组共占总人数的1615，不是小学高年级组的占总人数的21．那么小学中年级组参赛人数为．5. 右图是一个除法竖式．这个除法竖式的被除数是．二．填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6. 算式1!×3－2!×4＋3!×5－4!×6＋…＋2009!×2011－2010!×2012＋2011!的计算结果是．7. 春节临近，从2011年1月17日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2011个工作日（一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计）．其中周六、日休息，且无人缺勤．那么截至到1月31日，回家过年的工人共有人．8. 有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011倍．这个整数的最小值是．20 1 1 1 3 09. 一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房；各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住．一天他们5人在花园中聊天：赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．” 他们说的话全是真话．设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A 、B 、C 、D 、E ，那么五位数ABCDE ＝．10. 6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有种．三．填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 0～9可以组成两个五位数A 和B ，如果A ＋B 的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A ×B 的不同取值共有个．12. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，在AB 间往返行走；甲出发的同时，丙也从A 出发去B ．当甲、乙两人第一次迎面相遇在C 地时，丙还有100米才到C ；当丙走到C 时，甲又往前走了108米；当丙到B 时，甲、乙正好第二次迎面相遇．那么A 、B 两地间的路程是米．13. 如右图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB 长为3.6厘米，则大正方形的面积为平方厘米．14. 用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体．在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到个小长方体．15. 平面上有15个红点，在这些红点间连一些线段．一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了条线段．B A 五层四层三层二层 109 110 107 108 105 106 103 104 101 102 一层2012“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷（测评时间：2011年12月17日9:00—10:00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题（每小题8分，共32分）1. 算式50311111212012101÷÷⨯⨯的计算结果是．2. 在右图中，BC = 10，EC = 6，直角三角形EDF 的面积比直角三角形F AB 的面积小5．那么长方形ABCD 的面积是．3. 龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生42人，五年级二班是一班人数的76，五年级三班是二班人数的65，五年级四班是三班人数的1.2倍．五年级共有人．4. 在右图中，共能数出个三角形．二．填空题（每小题10分，共40分）5. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是ABCD 2011，那么=ABCD ．6. 在右图的除法竖式中，被除数是．7. 五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局则各积1分．比赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第1、2、3、4、5名分别平了A 、B 、C 、D 、E 场，那么五位数ABCDE ＝．C FEBDA20 21 08. 今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1、2个2、1个0、1个7．用这8个数字组成若干个合数再求和（每个数字恰用一次，首位数字不能为0，例如21110与217的和是21327），这些合数的和的最小值是．三．填空题（每小题12分，共48分）9. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离B 地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的2倍；甲到B 后立即调头，追上乙时，乙还有50米才到A ．那么，A 、B 间的路程长米．10. 在右图中，线段AE 、FG 将长方形ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是2 cm 2、11cm 2，且E 是BC 的中点，O 是AE 的中点，那么长方形ABCD 的面积是 cm 2．11. 在算式 2011=⨯⨯⨯+H G F E ABCD 中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 代表1～8中不同的数字（不同的字母代表不同的数字）．那么四位数ABCD ＝．12. 有一个6×6的正方形，分成36个1×1的正方形．选出其中一些1×1的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出条对角线．O G F EDC B A 2 112012“数学解题能力展示”读者评选活动六年级组初试试卷（测评时间：2011年12月17日9:00—10:00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题（每小题8分，共32分）1. 算式11111(97531)1226122030++++⨯的计算结果是_________．2. 将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍．3. 一辆玩具汽车，第一天按100%的利润定价，无人来买；第二天降价10%，还是无人买；第三天再降价360元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.44倍，那么这辆玩具汽车的进价是_________元．4. 在右图中的竖式除法中，被除数为________．二．填空题（每小题10分，共40分）5. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．那么2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD ，那么ABCD =_________．6. 一个n 位正整数x ，如果把它补在任意．．两个正整数的后面，所得两个新数的乘积的末尾还是x ，那么称x 是“吉祥数”．例如：6就是一个“吉祥数”；但16不是，因为11621625056⨯=，末尾不再是16．所有位数不超过3位的“吉祥数”之和是_________．7. 有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是_________厘米． 2 0 21 0水油。

NOIP2013年普及组复赛真题解析

NOIP2013年普及组复赛真题解析T1 计数问题解析：对于100%的数据，1≤ n ≤ 1,000,000，0 ≤ x ≤ 9。

枚举每个数的每一位就行。

程序：include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int main(){int n,x;cin>>n>>x;int i,c=0;for(i=1;i<=n;i++){int a=i;while(a!=0){if(a%10==x)c++;a/=10;}}cout<<c;return 0;}===================================================T2 表达式求值解析：对于30%的数据，0≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤100；对于80%的数据，0≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤1000；对于100%的数据，0≤表达式中加法运算符和乘法运算符的总数≤100000。

程序：#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;char last;char c;int x=0;int a=0,b=1;int sum=0;int main(){int i,j;bool flag=1;do{if(cin>>c);else{flag=0;c='+';//相当于在整个串最后补个+号，以完成全部运算}if(c>='0' && c<='9')x=x*10+c-'0';//读取数else{a=x;//如果读到的不是数字，把之前读到的数存起来x=0;//初始化}if(c=='*'){//处理乘号，方法是先记下这个数，下次读到乘号再计算last=1;b=(a*b)%10000;//有连续乘号时，累乘}if(c=='+'){if(last){//上一个是乘号的情况a=(a*b)%10000;sum=(sum+a)%10000;b=1;last=0;}else sum+=a;//上一个是加号的情况}}while(flag==1);printf("%d",sum%10000);return 0;}===================================================T3解析：Case 1:小朋友的特征值分别为1、3、6、10、15，分数分别为1、2、5、11、21，最大值21对997 的模是21。

迎春杯年年中高年级初赛复赛试题真题整理

迎春杯2011年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理2011年少儿迎春杯三年级初赛(试题)2010年12月19日“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试题（活动时间：12月19日11:00—12:00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.计算：82-38+49-51=.2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花元钱。

3.小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，这些鸡蛋够他们家连续吃天。

个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是.5．已知：1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1111……△×9+○=111111那么△+○=.二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期.（星期一至星期日用数字1至7表示）7．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表这个区域的得分，未中镖盘记0分.那么小明不可能得到的总分最小是.8.一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况，（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克.9．在算式=2010中，不同的字母代表不同的数字.那么，A+B+C+D+E+F+G=.10．红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了.三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．如图1是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1～9中某个数字和一个箭头，每一个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在3号方格上方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表。

2013迎春杯五年级初赛详解

如果约数个数是 25 个，则这个四位数只能是 24 34 1296 ，此时 1 2 9 6 18 25 ，不符合条件；所以约数个数只能为 9 个，且数字和为 9；那么这个肯定是 9 的倍数，即含有质因数 3；该数的分解质因数形式应为： 32 a 2 或 34 ，其中 34 81 ，不符条件；那么这个数只能是 9a 2 ，其中 a 是质数；由于 9 只能分解为 0 1 2 6 、 0 1 3 5 、 0 2 3 4 三种形式，那么这个四位数的最高位不超过 6，分析 a 的范围知 a 可以取 11、13、17、19、23，尝试知当 a 17 时满足条件，四位数为 2601．
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帅
老
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MD 1 ID 1 4 ，设六边形边长为 1，则 ID ；三角形，则 AJ 3 3 JM 3
1 ，过程如下： 18 1 1 5 5 1 5 1 (1 ) ， SIMD (1 ) ； 3 6 6 6 16 6 18
由和同近积大，让 (b a ) 与 2 (b a) 尽量接近，那么 b a 61 ， b a 33 ，和最小，此时 a 14 ，
b 47 ，周长为 61 66 127 ，为最小．
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9 9 6 3 27 分，矛盾，也不可能；
帅
【答案】127 【专题】最值
【解析】2013 3 11 61 ，故不能拼成平行四边形，只可能拼成梯形，并且是奇数层，每层都是奇数；
设上底是 a，下底是 b，则层数为 (b a ) ，三角形的个数为：
(2a 1) (2a 3) …… (2b 1) b 2 a 2 (b a)(b a) 2013 ，周长为：(b a) 2 (b a) 3b a ，

2013迎春杯六年级初赛试题详解

2013“数学解题能力展示” 读者评选活动六年级组初试试卷详解（测评时间：2012年12月22日9:00—10:00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论。

我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果。

否则愿接受本次成绩无效的处罚。

我同意遵守以上协议签名：一．填空题（每小题8分，共24分）1. 算式215.7 4.2 4.352013145151776567373⨯+⨯⨯⨯+⨯+的计算结果是___________． [答案]：126 [题型]：计算——分数运算[解析]：()()656591473152.43.47.520136565973151473153.42.42.47.52013++⨯⨯+⨯=+⨯+⨯⨯+⨯⨯=原式 1264236714220136567373152.4102013=⨯=⨯=+⨯⨯⨯=2. 某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第2个‘幸运年’了．”那么，哥哥是___________年出生的．[答案]：1987 [题型]：应用题——还原问题[解析]：逆推，2013年是哥哥过的第二个幸运年，往前第一个幸运年是1987 3. 如右图示，分别以正八边形的四个顶点A 、B 、C 、D 为圆心，以正八边形边长为半径画圆．圆弧的交点分别为E 、F 、G 、H ．如果正八边形边长为100厘米，那么，阴影部分的周长是___________厘米．（π取3.14） [答案]：314 [题型]：几何——圆的组合图形[解析]：正八边形的一个内角为135°，容易看出，圆弧HE 占整个圆弧的31且阴影部分的四段圆弧相等，阴影部分的周长为3144311002360135=⨯⋅⋅⋅π二．填空题（每小题12分，共36分）4. 由2、0、1、3四个数字组成（可重复使用）的比2013小的四位数有_______个． [答案]：71 [题型]：计数问题[解析]：比2013小的四位数可分为两类，首位为1和首位为2的：首位为1时，□□□1，可以重复，每一位有4种情况，共64444=⨯⨯；首位为2，只能是□□20，十位为0，有4种情况，十位为1，有3种情况。

迎春杯2012年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理

迎春杯2011年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理2011年少儿迎春杯三年级初赛(试题)2010年12月19日“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试题（活动时间：12月19日11:00—12:00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分） 1.计算：82-38+49-51= .2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花元钱。

3.小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，这些鸡蛋够他们家连续吃天。

4.5个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是.5．已知：1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1111……△×9+○=111111那么△+○= .二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期.（星期一至星期日用数字1至7表示）7．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表这个区域的得分，未中镖盘记0分.那么小明不可能得到的总分最小是.8.一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况，（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克.9．在算式 =2010中，不同的字母代表不同的数字. 那么，A+B+C+D+E+F+G=.10．红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了.三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．如图1是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1～9中某个数字和一个箭头，每一个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在3号方格上方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表。

2013年迎春杯数学五年级初赛真题及答案

2013“数学解题能力展示”读者评选活动笔试试题
小学五年级（2012 年 12 月 22 日）
一、填空题（每小题8分，共24分） 1．算式 999999999 88888888 7777777 666666 55555 4444 333 22 1 的计算结果的各位数字之和是
___________．
发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为 A 、 B 、 C 、 D 、 E （有两个字母表示的数是相同的）．若 ABCDE 恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．
8．由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是__________．
【考点】数阵图
4/8
【难度】☆☆☆☆ 【答案】150 【解析】首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻的空白空格必须为1，
以此类推，第二行第一个5也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图形．相加求和为150．
111 222 2 5 31 2 34 4 5 31 2 33 4 5 3 11 1 3 4 5 3 3 3 13 4 5 5 53 33 4 4 4 44 4 4 4
③ A xy ， B x ， C xy2 ，则 xy x xy2 79 ，无解．
④
A
xy
，
B
x2
，C
y2
，则
xy
x2
y2
79 ,解得：
x
y
3 7
11．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是__________．

2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及解析

2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.若,x y为两个不同的实数，且满足2221{21x xy y=+=+，求66x y+的值。

第II卷（非选择题）二、填空题2.若对实数x，函数f(x)=√3x2+7，g(x)=x2+16x2+1−1，则函数g(f(x))的最小值为________.3.在区域{0≤x≤2π,0≤y≤3中随机取一点P（a，b），满足b>(sina2+cos a2)2的概率为_______.4.设[x]表示不超过实数x的最大整数.若[x−12][x+12]为素数，则实数x的取值范围为_______.5.已知F1、F2分别为椭圆C:x 219+y23=1的左、右焦点，点P在椭圆C上.若SΔPF1F2=√3，则∠F1PF2=_____.6.已知半径为3的球面上有A、B、C、D四点.若AB=3，CD=4，则四面体ABCD体积的最大值为______.7.已知a1,a2,⋯,a10与b1,b2,⋯,b10为互不相等的20个实数.若方程|x−a1|+|x−a2|+⋯+|x−a10|=|x−b1|+|x−b2|+⋯+|x−b10|有有限多个解，则此方程最多有______个解.8.若11⋯1⏟n+1个除以3102的余数为1，则最小的正整数n为________.9.设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为．三、解答题10.已知数列{n}满足1=F2=1，F n+2=F n+1+F n(n∈Z+).若F a、F b、F c、F d(a<b<c<d)分别为一个凸四边形的边长，求d-b的值.11.设动点P在直线l1:y=x−4上运动，过P作⊙C:x2+y2=1的两条切线PA、PB，其中，A、B为切点.求线段AB中点M的轨迹方程.12.如图，PA、PB分别与⊙O切于点A、B，过点P的割线与⊙O交于点C、D，M为PA的中点，CM与AB交于点E.证明：DE∥PA.13.设正实数a、b、c满足a+b=√ab+9，b+c=√bc+16，c+a=√ca+25.求a+b+c.14.圆周上依次排列着A1,A2,⋯,A2013共2013个不同的点，每个点染红、蓝、绿三色之一.在以任意两个同色点为端点的圆弧上，与此两端点异色的点的个数为偶数的染色方法称为“好染色”问：所有好染色方法有多少种？15.设p为奇素数，整数a1,a2,⋯,a p−1均与p互素.若对k=1,2,⋯,p−2均有a1k+k≡0(modp)，证明：a1,a2,⋯,a p−1除以p的余数互不相同.a2k+⋯+a p−1参考答案1.198【解析】1.试题分析：将方程组中的两式分别作差和做和得到2x y +=和226x y +=，进而得到1xy =-，将()()()()336622224422x y x y xy xy x y +=+=++-代入运算即可.试题解析：由2221{ 21x x y y =+=+，两式相减可得： ()222x y x y -=-，即()()()2x y x y x y -+=-.,x y 为两个不同的实数,所以0x y -≠，所以2x y +=两式相加可得()22226x y x y +=++=.由()2222426x y x y xy xy +=+-==-=,解得1xy =-()()()()336622224422x y x y x y x y x y +=+=++-()()222226363631198x y x y ⎡⎤=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦.2.8【解析】2. 由题意知g(f (x ))=3x 2+7+163x 2+8−1=3x 2+8+163x 2+8−2令t=3x 2+8(t ≥8).则ℎ(t )=g(f (x ))=t +16−2易知，ℎ(t )是区间[8,+∞)上的单调增函数. 所以，ℎ(t )≥ℎ(8)=8.故答案为：8 3.23【解析】3. 考虑函数y=(sin x2+cos x 2)2=1+sinx ，由题得区域{0≤x ≤2π,0≤y ≤3中的面积为3⋅2π=6π.由对称性割补知满足b >(sin a2+cos a 2)2的点P (a,b )的面积为4π，故其概率为4π6π=23. 故答案为：234.−32≤x<−12或32≤x<52【解析】4.因为[x−12]、[x+12]均为整数，要使[x−12][x+12]为素数，所以[x−12]、[x+12]中一个为1或-1. 当[x−12]=1时，1≤x−12<2，32≤x<52，此时，[x+12]=2，满足题意；当[x+12]=−1时，−1≤x+12<2，−32≤x<−12，此时，[x−12]=−2，满足题意；当[x+12]=1或[x−12]=−1时，易知[x−12][x+12]不是素数.故答案为：−32≤x<−12或32≤x<525.60∘【解析】5.设∠F1PF2=θ.则{PF1+PF2=2√19,PF12+PF22−2PF1⋅PF2cosθ=64.故PF1⋅PF2=61+cosθ.而SΔPF1F2=12PF1⋅PF2sinθ=3tanθ2=√3，则θ=60°. 故答案为：60∘6.2√5+3√3【解析】6.取异面直线AB、CD的公垂线段MN，记异面直线AB与CD所成的角为θ∈(0,π2 ).则V四面体ABCD =16AB⋅CD⋅MNsinθ≤2MN.设四面体ABCD外接球的球心为O，AB，CD的中点分别为E、F.则OE=3√32，OF=√5.异面直线AB与CD的距离为MN≤EF≤OE+OF=3√32+√5.≤2MN≤2√5+3√3.故V四面体ABCD当AB丄CD时，以AB为直径的小圆所在平面与以CD为直径的小圆所在平面平行（球心在两小圆面之间），上式等号成立.故答案为：2√5+3√37.9【解析】7.令f(x)=|x−a1|+|x−a2|+⋯+|x−a10|−|x−b1|−|x−b2|−⋯−|x−b10|于是，由题意知f(x)=0.设c1<c2<⋯<c20为集合|a1,a2,⋯,a10,b1,b2,⋯,b10|中的所有元素按递增顺序的排列，且在(−∞,c1],[c1,c2],⋯,[c19,c20],[c20,+∞)这21个区间的每一个中，函数f(x)均为线性的.注意到，在区间(−∞,c1]中，f(x)=a1+a2+⋯+a10−b1−b2−⋯−b10= m，而在区间[c20,+∞)中，f(x)=−m.因为方程根的个数有限，所以，m≠0.沿着数轴自左向右移动.开始时，f(x)中的x的系数为0.每当越过一个c i(1≤i≤20,i∈Z+)时，f(x)中均有一个绝对值的去掉方式发生变化，使得x的系数变化±2（增大2或减小2）.这表明，x的系数恒为偶数，并且不会在变为0以前改变符号.由此，知该系数在任何两个相邻的区间中均要么同为非负，要么同为非正.从而，f(x)在这样的区间并集上要么同为非升，要么同为非降.如此一来，若f(x)=0只有有限个根，则其在区间[c1,c3],⋯,[c17,c19],[c19,c20]中均分别有不多于1个根.此外，由于f(c1)与f(c20)的符号不同，而f(x)在每个根处均发生变号，于是，f(x)=0有奇数个根.从而，最多有九个根.另一方面，不难验证，若a1=1，a2=4，a3=5，a5=9，a6=12，a7=13，a8=16，a9=17，a10=19.5，b1=2，b2=3，b3=6，b4=7，b5=10，b6=11，b7=14，b8=15，b9=18，b10=19，则方程f(x)=0恰有九个根.故答案为：9 8.138【解析】8. 注意到，3102=2×3×11×47.由11⋯1⏟ n+1个=3102k +(k ∈Z )，知11⋯10⏟ n 个=3102k . 于是，11⋯10⏟ n 个被2、3、11、47整除.（1）对任意正整数n ，显然，11⋯10⏟ n 个被2整除（2）11⋯10⏟ n 个被3整除的充分必要条件是3|n ；（3）11⋯10⏟ n 个被11整除的充分必要条件是2|n ；（4）又11⋯10⏟ n 个=19(10n+1−10)，(9,47)=1，(10,47)=1，则47|11⋯10⏟ n 个⇔47|(10n −1) .由费马小定理知1046≡1(mod47).设t 为使10t≡1(mod47)的最小正整数.则t |46 .而10≡10(mod47)，102≡6(mod47)，1023≡46(mod47)，故t=46.因此，46|n⇔47|11⋯10⏟ n 个.综上，n min =[2,3,46]=138.故答案为：1389.12-【解析】9.试题由题中所给221a b c +≤≤，易知01c ≤≤，由22a b c +≤，不难联想到圆的标准方程，故可令a b z +=，根据直线与圆的位置关系可得：d ==≤，得z ≥，那么所求的：a b c c ++≥，可令2()f c c ==，其中01≤≤，结合二次函数的图象可知当2=时，min 122f =-． 10.2【解析】10.由题设知F a +F b +F c >F d若c≤d −2，则F a +(F b +F c )≤F a +F d−1≤F d ，矛盾.于是，c=d −1.从而，四边形的边长为F a 、F b 、F d−1、F d . 若b≤d −3，则(F a +F b )+F d−1≤F d−2+F d−1=F d ，矛盾.于是，b=d −2，此时，F a +(F d−2+F d−1)=F a +F d >F d .从而，四边形的边长为F a 、F d−2、F d−1、F d . 故d−b =2.11.x 2+y 2−x4+y4=0【解析】11.设点P (x 0,y 0)，切点A (x A ,y A )，B (x B ,y B ).则切线PA 、P B 的方程分别为l PA :x A x +y A y =1，l BP :x B x +y B y =1.因为P 为两条切线的交点，所以，x A x 0+y A y 0=1，x B x 0+y B y 0=1.于是，点A 、B 的坐标满足方程x 0x +y 0y =1，即l AB :x 0x +y o y =1.另一方面，l OP :y o x =x o y . 设点M (x,y ).则{x 0x +y o y =1,y 0x =x 0y ⇒{x 0=xx 2+y 2y 0=y x 2+y2.又点P 在直线y =x −4上，则y x 2+y 2=x x 2+y 2−4⇒x 2+y 2−x 4+y 4=0. 12.见解析【解析】12. 如图，作DE ′∥PA 与AB 交于点E ′，联结CE ′并延长与PA 交于点M ′.只需证明PM ′=M ′A ，即得点M 与M ′重合.联结AC ，延长DE ′与AC 交于点F ′，只需证明DE ′=E ′F ′.作OH⊥PC 于点H.则为DC 的中点.故只需证明E ′H =CF ′. 因为∠ACP=∠ABD ，所以，只需证明D 、E ′、H 、B 四点共圆.由P 、O 、H 、B 四点共圆.∠E ′DC =∠APC =∠APO +∠OPH =∠ABO +∠OBH =∠E ′BH .故D ，E ′、H 、B 四点共圆. 从而，∠E ′HD=∠E ′BD =∠ACD .于是，点E ′与E 重合.因此，DE ∥PA .13.√25+12√3【解析】13. 由已知条件得a 2+b 2−2abcos120∘=9， b 2+c 2−2bcos120∘=16， c 2+a 2−2cacos120∘=25.由余弦定理可构造如下几何模型.平面上共端点P 的线段PA 、PB 、PC 两两夹角为120°，且PA=a ，PB=b ，PC=c. 于是，AB 2=9，BC 2=16，CA 2=25.从而，ΔABC 为直角三角形，其面积为6. 则12absin120∘+12bcsin120∘+12casin120∘=6⇒ab +bc +ca =8√3. 故(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=a2+b2+ab2+b2+c2+bc2+c2+a2+ca2+3(ab+bc+ca)2=92+162+252+24√32=25+12√3因此，a+b+c=√25+12√314.22013+1【解析】14.考虑一般的情形：圆周上有n（奇数，n≥3）个不同的点时的好染色种数.显然，三种单色染色方法是好染色.接下来求非单色好染色.设Y表示圆周上n个不同点时非单色好染色的集合，X表示圆周上n个不同点时任意相邻两点异色的染色方法的集合.可建立集合X与Y之间的一一对应.考虑圆周上2n（n为奇数）边形.设奇顶点的染色属于集合定义每个偶顶点的颜色与其相邻奇顶点不同.则得偶顶点的染色方法是好染色.若以两个同色点为端点的某一段圆弧之间没有与端点同色的点，则称这两点为“最近同色点显然，一个染色方法为好染色点的充分必要条件为任意两个最近同色点之间的异色点个数为偶数.先证明偶顶点的染色方法为一个好染色，即证明任意两个最近同色点的偶顶点之间包含的偶顶点的个数为偶数.设M、N为任意两个最近同色点的偶顶点（不妨设为红色），且包含在M、N之间的偶顶点为k个.当k=0时，则结论成立；当k≠0时，记k个偶顶点为B1,B2,⋯,B k，则在M、N之间还包含k+1个奇顶点，记为A1,A2,⋯,A k+1，排列如下：M,A1,B1,A2,B2,⋯,B k,A k+1,N.因为点B1,B2,⋯,B k均不为红色，所以，点A与A i+1=(i=1,2,⋯,k)的颜色不能为蓝、绿（或绿、蓝）（若出现上述两种情形，则B i+1为红色，与假设矛盾）.又点A i与A i+1不同色，则点A1,A2,⋯,A k+1中一个隔一个的为红色.由点M、N为红色，知点A、A k+1不为红色.于是，点A2,A4,⋯,A k为红色.从而，k为偶数，即M、N中包含的异色顶点为偶数个.因此，偶顶点染色方法为好染色.故得到一个从集合X到Y的映射f.再证明：f为一一对应.（1）f为单射.记圆周上2n边形A1B1A2B2⋯A n B n（A i为奇顶点，B i为偶顶点，其中i=1，2，…，n）.设a、b∈X，且a≠b.若f(a)=f(b)，因为f(a)=f(b)为非单色好染色，所以，存在两个相邻异色偶顶点（不妨设为B n、B1）.从而，得到a、b的对应这两偶顶点之间的奇顶点A1的颜色相同. 由a、b及f的定义，知A i、B i、A i+1（i=1,2,⋯,n，规定A n+1=A1）三个顶点所染的颜色不同，换言之，为A n+1所染的颜色由A i、B i唯一确定，这样由点A1、B1在a、b 及f下所染颜色分别相同得A2所染颜色也相同，再由A2、B2所染颜色分别相同得A3所染的颜色也相同，依此类推，在a、b下，点A1,A2,⋯,A n所染的颜色分别相同，即a=b，这与假设a≠b矛盾.因此，f为单射.（2）f为满射.对c∈Y，设M、N是c中的相邻异色偶顶点，则定义f−1(c)位于M、N之间的奇顶点不同于M、N的颜色.若B1,B2,⋯,B k为c中一串连续同色（不妨设为红色）偶顶点，它们位于偶顶点M、N间.若M、N同色（不妨设为蓝色），则k为偶数（若为奇数，则两同色点之间的异色点个数为奇数，与好染色矛盾），此时，定义M、N之间所有奇顶点的f−1(c)的颜色依次为绿、蓝、绿、……蓝、绿.若M、N异色（不妨设M为蓝色，N为绿色），则k为奇数（若不然，k为偶数，则每一段连续同色点的偶顶点为偶数个.否则，不妨设沿A1M方向存在点B1,B2,⋯,B i，若点B i 与N重合，则n为偶数，与n为奇数矛盾.若点B i与N不重合，则B i与相邻的点C与M、N 或B i(i=1,2,⋯,k)之一同色，其之间所包含的异色点为奇数.矛盾）.此时，定义M、N之间所有奇顶点的f−1(c)的颜色依次为绿、蓝、绿、……蓝.如此定义的奇顶点染色方法，相邻两个奇顶点颜色相异.最后计算集合X中元素的个数.记x n表示对圆周上n个点的好的染色法的个数.由x2=x3=6，x n+x n−1=3×2n−1，则x n=3×2n−1−x n−1=3×2n−1−3×2n−2+x n−2=3×2n−1−3×2n−2+⋯+3×(−1)n−3×22+(1)n−1x2=3[2n−1−2n−2+⋯+(−1)n−3×22+(−1)n−2×2]=2n+2×(1)n故好染色方法总数为22013+2×(−1)2013+3=22013+115.见解析【解析】15. 设a i 除以p 的余数为r i ，其中，1≤i ≤p −1(i ∈Z +).则1≤r i ≤p −1.因此，对于k =1,2,⋯,p −2，均有r 1k +r 2k +⋯r p−1k ≡0(modp ).① 欲证r 1,r 2,⋯,r p−1互不相同，只需证对任意的b∈{1,2,⋯,p −1}，存在i ∈{1,2,⋯,p −1}，使得b =r i .否则，存在正整数b (1≤b ≤p −1)，对任意的i ∈{1,2,⋯,p −1},b ≠r i ，存在整数c (1≤c ≤p −1)，使得bc ≡1(modp ). 由b ≡r i (modp )，知1≡r i c (modp ).从而，(1−r i c,p )=1. 利用费马小定理，知(r i c )p ≡r i c (modp ).故∑r i k ck =r i c−(r i c )p 1−r i c p−1k=1≡o (modp ). 所以，∑(∑r i k c k p−1k=1)≡0(modp )p−1i=1②另一方面，由式①和费马小定理知∑(∑r i k c k p−1k=1)≡p−1i=1∑(∑r i k p−1i=1)p−1k=1c k ≡∑r k p−1cp−1≡−1(modp )p−1k=1.③ 由式②、③有0≡−1(modp )，矛盾.从而，结论成立.。

迎春杯高年级复赛解析

2016年“数学花园探秘”科普活动小高年级组决赛试卷A一、填空题（每小题8分，共40分） 1. 算式201520161232015123201512320152016201620162016⨯++++++++ 的计算结果是．【答案】2017 【分析】1201612017120162016n n n ==++，所以原式=201520162017201620152017⨯=⨯．2. 销售一件商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高到 %．【答案】12【分析】设成本为“1”，则售价需要提高1.4 1.2512%1.25-=．3. 小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数．那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是年．【答案】2088【分析】[]6,8,972=，所以下一个这样的年份是2088年．4. 在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖．有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会儿再有2个山妖被打倒，但是又站起来10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一．那么现在站着的山妖有个．【答案】35【分析】开始打倒的占总数的47，后来打倒的占总数的49，所以一共有4486379⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭个山妖，现在站着的有4631359⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭个．5. 在空格内填入数字1~6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定．那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．【答案】46123 【分析】二、填空题（每小题10分，共50分）6. 请将0~9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次；现已将“1”、“3”、“0”填入；若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是．130.2016-⨯=【答案】2196【分析】设这个算式为130.2016a bc de fg -⨯=，则2a =．后面两个数的乘积为整数，即3de fg ⨯是100的倍数，所以3de 和fg 一个是25的倍数，一个是4的倍数，则这两个数中，必有一个数以75结尾．如果75fg =，则30.75200de ⨯>，不成立．所以3375de =，如果60fg ≥，等式同样不成立，所以fg 是小于60的4的倍数，剩下的数（4、6、8、9）中，只能组成48满足要求，所以48fg =，进而求得这个四位数为2196．7. 2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，…，n 报数（2n ≥）．若第2016名同学所报的数恰是n ，则给这轮中所有报n 的同学发放一件新年礼物．那么无论n 取何值，有名同学将不可能得到新年礼物．【答案】576【分析】由题目条件可知，2016n ，522016237=⨯⨯，所以当2n =时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼物，同理可得编号为3和7的倍数的同学也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的个数为1112016111576237⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个．8. 如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【答案】672 【分析】如下图所示，阴影部分可以等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a ，四边形面积为b ．则整个正十二边形是由12个a 和6个b 组成，而阴影部分由4个a 和2个b 组成，所以阴影部分面积为672平方厘米．9. 四位数好事成双除以两位数成双的余数恰好是好事；如果不同的汉字表示不同的数字且好事和成双不互质，那么四位数好事成双最大是．【答案】7281【分析】设abcd =好事成双，则99991abcd ab ab cd ababcd cd n ab n n cd cd cd -+÷=⇒==⇒-=，设(),ab cd m =，则(),,,1ab mx cd my x y ===， 99991mx xn my y-==，所以y 为99的因数，又因为不同汉字代表不同数字，所以y 为3或9，如果9y =，ab 最大为72，此时81cd =；如果3y =，x 只能为2，这时66ab <，所以四位数最大为7281．10. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A 、B 、C 、D 、E 这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A 说：“我的数最小，而且是个质数．”B 说：“我的数是一个完全平方数．”C 说：“我的数第二小，恰有6个因数．”D 说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC 三人手中的其中两个数是多少了．”E 说：“我的数是某人的数的3倍．” 那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】由A 的话可知，A 的十位是1，又因为是质数，所以A 有可能是13，17，19；C 能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32； B 是完全平方数，但不能含有1和2，所以B 有可能是36，49，64；D 能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E 是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A ，且推得A 为19，则E 为57．最后根据D 能知道ABC 三人手中两个数，试验可知，BCD 手中数分别为36，28，40，综上所述，五个两位数之和是180．三、填空题（每小题12分，共60分）11. 如图，直角三角形ABC 中，AB 的长度是12厘米，AC 的长度是24厘米，D 、E 分别在AC 、BC上．那么等腰直角三角形BDE 的面积是平方厘米．【答案】80【分析】过D 点作BE 垂线DF ，则BF FD FE ==．因为ABC FDC ∆∆ ，所以12DF AB FC AC ==，则BF FE EC ==．所以23BE BC =，则()222244122432099BE BC ==⨯+=，80BDE S ∆=．12. 已知1000091111++++999999999S =个，那么S 的小数点后第2016位是．【答案】6 【分析】首先，••10910.0001999n n -= 个个，即小数点后第n ，2n ，3n ，…位都是1，其它为都是0．所以当n 是2016的因数时，91999n个化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0．522016237=⨯⨯，有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而201810092=⨯，有4个因数，本身也不足以向第2018位进位，显然2019位即以后都不足以进位到2016为，所以第2016位是6．13. A 、B 两地间每隔5分钟有一辆班车出发，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A 、B 两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲、乙相遇时，甲被A 地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上；乙到A 地时，恰被B 地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B 地还有21千米．那么乙的速度是每小时千米．【答案】27【分析】设甲乙在C 点相遇，对于甲乙各自来说，每次被班车追上的时间是固定的，所以乙从B 到C的时间是从C 到A 时间的3倍，所以3v v =乙甲．则当乙走完全程时，甲走全程的13，全程为26321=32÷千米．下面考虑甲乙相遇时，班车的情况；甲恰被A 地开出的第9辆追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上，所以追上乙的那班车比追上甲的那班车早出发了15分钟，又因为两辆班车相遇在距A 点四分之一处，所以追上乙的班车比追上甲的班车多走了全程的12，即634千米．所以班车的速度为6316344÷=千米每小时．所以班车跑完全程需要12小时，下面求乙的速度；在乙到达A 时，第8辆班车恰好追上，这辆班车出发时，乙已经走了40分钟，所以乙走全程用时217326+=小时，则乙的速度为6372726÷=千米每小时．14. 将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式；如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有种不同方式．【答案】21【分析】如下图所示，除了第一个外，每个都可以旋转出4个，所以共14521+⨯=种．。

2013迎春杯初赛试题与详解(四五六年级)

甲、乙两人从 A 地步行去 B 地．乙早上 6:00 出发，匀速步行前往；甲早上 8:00 才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过________分钟才能追上乙．答案：330 6.
三．填空题（每小题 15 分，共 60 分）
7. 五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过 9 分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为
0 2 0
0 1 2 3
0 1 1 2
于是 64 7 71 个 5. 小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是___________．【解析】正面进攻似乎挺麻烦：与 200 互质的数没有一个很好的特征所以，从反面来：先看看哪些数与 200 不互质？它们的和是多少？显然，考虑到 200 2 5 ，那么某个数只要含有 2 或者 5，那就与 200 不互质
45 2 100 100 314 360
C F G H B E
【点评】（2011 年华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛第一题第 5 题）在边长为 1 厘米 D 的正方形 ABCD 中，分别以 A、B、、C、D 为圆心．1 厘米为半径画四分之一圆，交点 E、F、G、H，如图所示，则中间阴影部分的周长为_______厘米；（取圆周率） 3.141 略解：△FAB 是等边三角形，所以弧 AF 是六分之一圆，同理弧 GC 也是六分之一圆，则弧 GF 是 1/6+1/6-1/4=1/12 圆，四条弧是 1/3 圆，长度为 2×π×1÷3=2.094． A
原式
148 148 74 39 86 24 2 149 149 149

迎春杯2013年高年级复赛(解析)

3.
老师将写有 1~9 的 9 张卡片发给甲、乙、丙三个学生，每人三张. 甲：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列. 乙：我的也是. 丙：就我的不是. 如果他们说的都是对的，那么丙手里拿的三张牌之和最小是．
【考点】数论【难度】☆☆ 【答案】9 【分析】成等差数列的三个数之和是 3 的倍数，而 1 2 9 45 也是 3 的倍数，故而丙三个数之和

1 1 1 2 3

1 1 1 1 2

1 1 1 3 4

1 1 1 2 3

1 1 1 4 5

1 1 1 3 4

1 1 1 10 11

1 1 1 9 10

1 1 110 2 108 1 1 1 1 10 11 1 2
7.
黑板上有 1~2013 共 2013 个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两个数的和的数字和. 已知最后黑板上剩下 4 个数，它们乘积为 27，那么这四个数的和是
也是 3 的倍数. 若为 1 2 3 6 ，不满足丙不是等差数列的题意，所以丙三张和至少为 9. 举例：甲 3、4、5，乙 7、8、9，丙 1、2、6
4.
迎春小学六年级同学在某次达标测试中，达标的有 900 人，参加测试但未达标的占参加测试的 25%，因故未参加测试的占全体同学的 4%，则未参加的有人.
（a 1）（ a 2）（2a 2）（ 2a 1）定义： a a ，例如： 5 5 6 7 8 9 ，那么 1 2 3 19 20 的结果是
【考点】定义新运算、数表【难度】☆☆☆☆ 【答案】4200 【分析】把他们排成三角形数表 2 3 … 20 21 4 … …… 38 39 1 3 5

迎春杯2013年中年级组复试题(详解)_78

9 5 1
2 7 6
1 4 7
2 5 8
3 6 9
图3
【考点】组合，操作【难度】☆☆☆☆ 【答案】834
图4
【分析】如图 1，箭头方向表示可以走的方向，（有些是单向，有些是双向的），如图 2 和 3，一共有两种不同的走法，两种走法的开始三个数字都是 834.
4 3 8
9 5 1
2 7 6
4 3 8
7.
甲、乙、丙、丁都参加了 100 米短跑决赛，在比赛前，他们如下预测：甲预测：“如果丙是第 4，那我就是第 2．” 乙预测：“如果甲是第 2，那我就是第 1．” 丙预测：“甲、乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．” 丁预测：“甲、乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．” 比赛结束，他们获得了这项比赛的前 4 名（无并列），且每人都预测正确．如果甲、乙、丙、丁分别获得第 A、B、C、D 名，那么四位数 ABCD ＝．
每经过 1 轮操作，卡片总数增加 2+4=6，所以，经过 50 轮后，卡片总数为 2712 50 6 3012 张，三人成等差数列，迎迎 4 张，欢欢 1004 张，妮妮 2004 张. 列表倒推易发现，每倒推一轮操作，迎迎不变，欢欢少 5 张，妮妮少 1 张. 所以，欢欢原有 1004 5 50 754 （张）迎迎最后第三次操作前第二次操作前第一次操作前 4 4 3 4 欢欢 1004 1000 1001 999 妮妮 2004 2004 2002 2003
【考点】组合，逻辑推理【难度】☆☆☆ 【答案】4213 【分析】（1）山丁的话知，甲、乙、丁的名词从优到劣，只有“甲、丁、乙、”和“乙、丁、甲”两种排序. （2）结合丙的话知，死人的名词只可能是“甲、丁、乙、丙”、“丙、甲、丁、乙”、“乙、丁、甲、丙”、“丙、乙、丁、甲”. （3）用甲、乙的话检验，知，四人名次只能是 4、2、1、3. 8. 《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差 24 页，《书》和《礼》相差 17 页，《礼》和《易》相差 27 页，《易》和《春秋》相差 19 页，《春秋》和《诗》相差 15 页．那么，这 5 本书中，页数最多的和页数最少的相差【考点】组合，最值【难度】☆☆☆ 【答案】34 【分析】《诗》和《诗》差 0 页. 问题转化成在“□”内填“+”或“-”号使等式 24□17□27□19□15□=0 成立. 如果都是 “+” ， 24 17 27 19 15=102 . 要凑出 102 2=51 只有 24 27=51 ，所以只有

NOIP2013提高组复赛试题

CCF 全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2013）复赛提高组 day11．转圈游戏(circle.cpp/c/pas)【问题描述】n 个小伙伴（编号从 0 到 n-1）围坐一圈玩游戏。

按照顺时针方向给 n 个位置编号，从 0 到 n-1。

最初，第 0 号小伙伴在第 0 号位置，第 1 号小伙伴在第 1 号位置，……，依此类推。

游戏规则如下：每一轮第 0 号位置上的小伙伴顺时针走到第 m 号位置，第 1 号位置小伙伴走到第 m+1 号位置，……，依此类推，第n −m号位置上的小伙伴走到第 0 号位置，第n-m+1 号位置上的小伙伴走到第 1 号位置，……，第 n-1 号位置上的小伙伴顺时针走到第m-1 号位置。

现在，一共进行了10^k 轮，请问x 号小伙伴最后走到了第几号位置。

【输入】输入文件名为circle.in。

输入共1 行，包含4 个整数n、m、k、x，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出】输出文件名为c ircle.out。

输出共1行，包含1个整数，表示10k 轮后x号小伙伴所在的位置编号。

【数据说明】对于30%的数据，0 < k < 7；对于80%的数据，0 < k < 107；对于100%的数据，1 < n< 1,000,000，0 <m <n ，0 ≤ x ≤ n，0 < k< 109。

2．火柴排队(match.cpp/c/pas)【问题描述】涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。

现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：，其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。

请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

2013年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛小高组ABC试卷及详解

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。

在考试中，选择恰当的方法很重要。

这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。

2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式 6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。

迎春杯历年题目分类解析汇报

“迎春杯”历年题目分类解析（四年级）（学而思名师解题）1答案：5操作问题：将1、3、5、7、9 称为奇数格，将2、4、6、8称为偶数格。

开始时奇数格总和比偶数格总和大5, 而每一次变化并不影响这个结果所以A=5点评：操作题目，要寻找不变量，进行突破2答案：161提示：从里到外层数逐渐增加，差值逐渐增大，表n可以看成是n层，可以得到：N=1 S1=1N=2 S2=1+8X1X2N=3 S3=1+8X(1X2+2X3)N=4 S4=1+8X(1X2+2X3+3X4)=161N=5 S5=1+8X(1X2+2X3+3X4+4X5)N=6 S6=1+8X(1X2+2X3+3X4+4X5+5X6)=561由于差值逐渐增大，差值为400的情况只可能出现在前面，所以N=4符合要求。

题目：3答案：2346奇数位和是2345×1005，每个偶数位比它对应的奇数位大1，所以1005个偶数位比1005个奇数位大1005，那么偶数位和是2345×1005＋1005＝2346×1005，平均数自然是23464答案：30点评：此题难度不大，通过奇偶分析可得5个连续数应为3偶2奇，不难通过尝试得到4+5+6＝7+8，结果是30题目：第一题：446点评：排成一排，空隙数量比球多一个，所以去掉1红之后1红— 2黄—6蓝（2008－1）÷9×2＝446第二题：60点评：一笔画问题结合行程，难度不大，只需算出总路程即可，图中共4个奇点，而A进A出的要所有点均是偶点，需要多走两条连接奇点的线才能保证所有点都变成偶点，那么需要多走两次260 即（480×3＋200×3＋260×4＋260×2）÷60＝60（分）注：在高年级学过勾股定理之后，260米的边长是可以计算出来的，不需题目给出条件10月17日试题：第一题：28第二题：2682（其它年级所占的是5份少78人，标准和差倍）10月21日试题：10月21日试题答案：第一题：20第二题：49点评：从这两天可以看出，应用题在迎春杯中考察还是相对简单的，如果孩子能够熟练掌握方程，做出第一、第二档的应用题应该难度不大10月22日试题：第一题：24第二题：30点评：这两道题都是标准的列方程解应用题，在四年级迎春杯初赛中，题号比较靠前的应用题请特别注意方程的应用10月23日试题：10月23日试题答案：第一题：48（提示：画线段图，最后三段剩下的刚好是等差数列，公差是两段线段）第二题：21（提示：1个男生会有左右两个牵手，共60次牵手，男女牵手共18次，男男牵手则有（60－18）÷2＝21（次）那么就会分成21组，此题难度还是比较大的）10月24日试题：10月24日试题答案：第一题：7提示：此题考察鸡兔同笼多个动物打包思想有四脚蛇是双头龙的2倍，把2个四脚蛇和1个双头龙打1个包作为新动物，包是4头12脚发现4头12脚正好是4只三脚猫，所以包的新动物和三脚猫一样，这三个动物和一起算做1个，其实本题相当于对三脚猫和独角兽做鸡兔同笼，可求出独角兽的只数（160－58）÷（3－1）＝51 58－51＝7第二题：英语提示：应用题和逻辑推理结合问题，采取枚举法，让9本分别是数学、语文、英语、历史，进行尝试计算，只有9本是英语书时4个数不重复，其余均有重复10月28日试题——数字谜今天开始进入数字谜阶段~中年级最重要的是加法数字谜！10月28日试题答案：第一题：10第二题：3010月29日试题：10月31日题目1.（2013年四年级组第9题）2.（2013年三年级组第6题）10月31日答案1、20342、3135（提示：这两道题都可以通过尝试得到，但如果掌握弃9法的话，做出来将会非常简单）1.2.11月4日题目——计数篇1.（2013四年级第6题）2.（2013三年级第10题）（此题难度很大，当年正确率不超过1%）11月4日答案1、7（特别提示：本题当年答案5也算作正确了，因为4＝1+3，6＝1+5这两组偶数不算作和）2、3211月5日答案1、 62、21000昨天这两道题目不难哈！~ 11月6日题目11月6日答案：1、30（提示：实际操作法很有效哦！）2、30（提示：湖人只能在第6场或第7场获胜，所以比分是4：2或4：3，之后用树形图方法分两类讨论）11月7日题目：11月8日试题答案：第一题：18种第二题：25128（提示：这道题方法真的是一点一点算的，没有特别简单的解法，类似的题目华杯总决赛也考过，而且数比今天这个还大！）11月11日试题——逻辑推理11月13日试题：（点评：这次的两道题都是从六年级的考题当中摘下来的，难度虽然很大，但从知识点上四年级绝对可以）1、2、7192511月14日题目：11月14日答案11月18日题目（标准鸡兔同笼）（从本周开始，做一些杯赛最爱考的配套类型题目哈）1、在某电视机厂质量检测评比中，每生产出一台合格电视机记5分，每生产出一台不合格电视机扣10分。

2013年第十八届华杯复赛小学高年级组A卷(含解析)

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9
10
11
12
13
(4 4 4) 4 3
4 (4 4) 4 4
54
25
1.375 不能
5
(4 4 4) 4 5
4 (4 4) 4 6
参考解析
一、填空题（每小题 10 分，满分 80 分） 1．计算：19 0.125 281 1 12.5 _______．
14．不为零的自然数 n 既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么 n 最小是多少?
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷 A（小学高年级组）参考答案
1
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3
4
5
6
25
2,3
316
153
12
10．小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的的三倍”，问这个班有多少名学生?
11．小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速 1．5 千米/小时; 划船时，船在静水中的速度是 3 千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流．问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米?
5 7 9 11
35
2 ， 2 ，则满足条件且大于 1 的最小整数是_______． 79
【考点】数论——余数+周期问题
【难度】☆☆☆
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