江苏扬州2019届高三数学期末复习综合试卷(4)

2019届高三数学期末复习综合试卷（4）
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知i 为虚数单位，复数2i
1i
z +=
-，则 | z | ＝ ▲
2．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲
3．方程 x 2m + y 2
4－m
= 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲
4．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所 在区域的概率是 ▲
5．设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则； ②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； ④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则.
其中所有正确命题的序号是 ▲
6．已知1,=>ab b a ，则b
a b a -+2
2的最小值为______▲______
7．设(0,
)2
x π
∈，则函数(22
2211sin )(cos )sin cos x x x x
+
+的最小值是 ▲ 8．设,2,,
2,
x y x y z y x y -≥=<⎧⎨
⎩ 若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为 ▲
9．椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为
45的直线与椭圆的一个交
点为M ，若2MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为_____▲ _____
10．已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（*
N x ∈），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.若前100项中恰好含
有30项为0，则x 的值为 ▲
11．
过点(1,A
作圆22
2120x y x ++--=的弦，其中长度为整数的弦共有 ▲ 条
12．已知直线)0(3≠+=m m x y 和圆12
2
=+y x 交于B A ,两点，以Ox 为始边，OB OA ,为终边的角分 别为βα,，则=+)tan(βα ▲
13．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么位于下表中的第20行第21列的数是 ▲ ．
14．设函数f （x ）的定义域为D ，如果对于任意的
┄┄┄┄┄
D x D x ∈∈21,存在唯一的，使
)(2
)
()(21为常数C C x f x f =+成立，则称函数f （x ）在D 上均值为
C ，给出下列四个函数
①3
x y =，
②x y sin 4=， ③x y lg =，
④x
y 2=，
则满足在其定义域上均值为2的函数是 ．
二．解答题（本大题共6小题，共90分，写出准确的计算过程及文字说明）
15．（本题满分14分）
已知{}
0822≥-+=x x x A ,{
}19239+≤
-=x x x B ,{
}
0222≤++=ax x x C .
（1）若不等式0102
≥++c x bx 的解集为B A ，求b 、c 的值； （2）设全集=U R ，若B C ⊆ A C U ，求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）
已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C 2sin =⋅，其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅AC AB CA ，求AB 的长. 17．（本题满分15分）
已知圆:C 2
2
(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .
（Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程.
18．（本题满分15分）
某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销
费用0()m
m ≥万元满足31
k
x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（本题满分16分） 已知)(x f 为二次函数，不等式02)(<+x f 的解集为1
(1,
)3-，且对任意α，β∈R 恒有(sin )0f α≤，(2cos )0f β+≥.数列}{n a 满足11a =，1131()()
n n a n f a *+=-
∈'Ν
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）设n
n a b 1
=
，求数列}{n b 的通项公式； （3）若（2）中数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列{cos ()}n n S b π⋅的前n 项和n T .
20．（本题满分16分）
已知函数||
()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-． （1）若2m =，求函数()g x 的单调区间；
（2）若方程||()2m f x =在[4,)x ∈-+∞恒有唯一解，求实数m 的取值范围；
（3）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．
附加：已知点P （4，4），圆C ：2
2
()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>有一个公共点
A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C （Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．
2019届高三数学期末复习检测答案
1、
210 2、2 3、0<m 4、9
4 5、①③ 6、22 7、4
25
8、1- 9、12- 10、6或7 11、8 12、4
3
-
13、420
14、①③
15．（1）A ]3,2[=B ,12,2-=-=c b ；……………………………………………6分 （2）B A C U ]3,4(-=,------8分
①φ=C 时，)2,2(-∈a ；--------------10分 ②φ≠C 时，∈a ]2,611[--
)49,2[.---------------12分，综上，)4
9
,611[-∈a .…14分 16．解：(Ⅰ))sin(cos sin cos sin B A A B B A n m +=⋅+⋅=⋅ ………………………(2分)
对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，.sin C n m =⋅∴……………(4分)
又C n m 2sin =⋅ ，
.
3,21cos ,sin 2sin π
===∴C C C C ………………………(7分) (Ⅱ)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，由正弦定理得.2b a c +=…(9分)
18,18)(=⋅∴=-⋅ ， 即.36,18cos ==ab C ab ……………………(12分)
由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22
2
2
2
-+=-+=， 36,36342
2
2
=⨯-=∴c c c ，
.6=∴c ……(14分)
17．解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-2
222
22)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分 解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(2
2=±+-y x …………………7分
（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以12
2
2
==+AC CF CE ,即
124242
221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而14222
22121=+⋅≤
+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，
1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，
即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则
22)2
14(
41
-=+k k ， 1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………15分
18．解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，
∴231x m =-
+，每件产品的销售价格为8161.5x
x
+⨯元. ∴2019年的利润 )168(]1685.1[m x x
x
x y ++-+⨯=
m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(1
16
[≥++++-=m m m ……8分
（2）∵0m ≥
时，
16
(1)81
m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当16
11
m m =++，即3m =时，max 21y =.………………14分
答：该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.……15分 19．解：（1）依题意，)3
1
)(1(2)(-+=+x x a x f )0(>a ,即23
32)(2
--+=a
x a ax x f ...............2分 令πβπ
α==
,2
，则sin 1,cos 1αβ==-，有(1)0,(21)0f f ≤-≥，
得0)1(=f ，即02332=--+
a a a ，得23=a .235
()22
f x x x ∴=+-. ....................5分
（2）'()31f x x =+，则1311311'()3131
n n n n n a a f a a a +=-
=-=++ ..........................7分
即1
31+=
+n n n a a a ，两边取倒数，得n n a a 1
311+=+，即n n b b +=+31. ∴ 数列{}n b 是首项为11
1
1==
a b ，公差为3的等差数列.1(1)332()n b n n n *∴=+-⋅=-∈N ..10分 （3）
cos()cos(32)cos()(1)n n b n n πππ=-==-cos()(1)n n n n S b S π∴⋅=-⋅ n n n S S S S S T )1(4321-+-+-+-=∴ . ..........................12分
①当n 为偶数时
2143124()()()n n n n T S S S S S S b b b -=-+-++-=+++
22()
322(432)244
n n
b b n n n n ++==+-=
...........14分 ②当n 为奇数时
213(1)2(1)(132)42
n n n n n n n T T S --+-+-=-=- 2321
4n n --+=
综上，22
321
(432(4
n n n n T n n n ⎧--+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数),为偶数）. ..........................16分
20．（1）2m =时，2
224(2)
()24(2)
x x x g x x x x ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，
函数()g x 的单调增区间为(,1),(2,)-∞+∞，单调减区间为(1,2)．…………4分 （2）由||()2x m f x -=在[4,)x ∈-+∞恒有唯一解，得x m m -=在[4,)x ∈-+∞ 恒有唯一解．当x m m -=-时，得0[4,)x =∈-+∞；
当x m m -=时，得2x m =，则20m =或24m <-，即20m m <-=或． 综上，m 的取值范围是20m m <-=或． …………10分
（3）2()()2()
x m m x x m f x x m --⎧≥⎪
=⎨<⎪⎩，则()f x 的值域应是()g x 的值域的子集．
① 当84≤≤m 时，()f x 在(,4]-∞上单调减，故4()(4)2m f x f -≥=， ()g x 在[4,]m 上单调减，[,)m +∞上单调增，故()()28g x g m m ≥=-，
所以4228m m -≥-，解得456m m ≤≤≥或．
②当8>m 时，()f x 在(,4]-∞上单调减，故4()(4)2m f x f -≥=， ()g x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4m 单调增，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m m ,2上单
调减，[,)m +∞上单调增，82)(164)4(-=>-=m m g m g 故()()28g x g m m ≥=-，
所以4228m m -≥-，解得456m m ≤≤≥或．
③04m <<时，()f x 在(,]m -∞上单调减，[,4]m 上单调增，故()()1f x f m ≥=． ()g x 在[4,)+∞上单调增，故()(4)82g x g m ≥=-，所以821m -≤，即
7
42
m ≤<． ④0m ≤时，()f x 在(,]m -∞上单调减，[,4]m 上单调增，故()()1f x f m ≥=． ()g x 在[4,)+∞上单调增，故()(4)82g x g m ≥=-，所以821m -≤，即72
m ≥．（舍去） 综上，m 的取值范围是7
[,5][6,)2
⋃+∞． …………16分
解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=．
设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C
= 解得111
,22
k k =
=或． …… 4分
当k＝11
2
时，直线PF1与x轴的交点横坐标为
36
11
，不合题意，舍去．
当k＝1
2
时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．…………………… 6分
2a＝AF1＋AF2＝=，a=a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：
22
1
182
x y
+=．…………………… 8分
（Ⅱ）(1,3)
AP=，设Q（x，y），(3,1)
A Q x y
=--，
(3)3(1)36
AP AQ x y x y
⋅=-+-=+-．…………………… 10分
∵
22
1
182
x y
+=，即22
(3)18
x y
+=，
而22
(3)2|||3|
x y x y
+⋅
≥，∴－18≤6xy≤18．…………………… 12分则222
(3)(3)6186
x y x y xy xy
+=++=+的取值范围是[0，36]．……… 14分3
x y
+的取值范围是[－6，6]．
∴36
AP AQ x y
⋅=+-的取值范围是[－12，0]．…………………… 16分。