【鲁教版】九年级数学下期末模拟试题(附答案)

一、选择题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B ．若a 2＝b 2则有a ＝b
C ．二次函数的图象是双曲线
D ．圆的切线垂直于过切点的半径
2．如图，AB 是
O 的直径，8AB =，点C 、D 、E 在O 上，45CAB ∠=︒，
CD DE EB ==，P 是直径AB 上的一动点，则PCE 周长的最小值为（ ）
A ．243+
B ．443+
C ．83+
D ．12
3．数轴上有两个点A 和B ，点B 表示实数6，点A 表示实数a ，
B 半径为4．若点A 在
B 内，则（ ）
A ．2a <或10a >
B ．210a <<
C ．2a >
D ．10a <
4．如图，已知⊙O 的直径8CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，
2OM =，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．23
C ．4
D ．435．已知关于x 的一元二次方程()()2
50x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根
(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）
A ．m a b n <<<
B ．m a n b <<<
C ．a m n b <<<
D ．a m b n <<<
6．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y
7
2
-1
-2
m
2
7
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
7．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）
A ．n 2﹣4mk ＜0
B ．mk ＞0
C ．n ＝2m
D ．m ﹣n +k ＝0
8．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的
顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，
ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线
上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①②
D ．②③④
9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan ∠B =cos ∠DAC ，若sin C =12
13
，BC =12，求AD 的长（ ）
A ．13
B ．12
C ．8
D ．无法判断
10．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目
测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据
30AB =米，28α∠=︒，45β∠=︒
设树顶到地面的高度DC x =米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ） A ．()30tan 28x x =-︒ B ．()30tan 28x x =+︒ C ．30tan 28x x +=︒
D ．30tan 28x x -=︒
11．sin 45cos45︒+︒的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
12．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．
23
B ．
13
C ．
25
5
D ．
55
二、填空题
13．如图，在ABC 中，A 30∠=︒，45B ∠=︒，72cm AB =，点O 以2/cm s 的速度在ABC 边上沿A B C A →→→的方向运动．以O 为圆心作半径为2cm 的圆，运动过程中O 与ABC 三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
14．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上画出一个圆心角为90的扇形．若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形（阴影部分）的概率为____．
15．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点是(1,0)-，(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x =__________．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度()y
m 与水平距离
()x m 之间的关系为()2
1184105
y x =-
-+ ，由此可知铅球推出的距离_____ m ．
17．如图，抛物线y ＝x 2+1与双曲线y ＝
k
x
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x
+x 2
+1＜0的解集是_______
18．如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动
到点D 停止．设点P 的运动时间为(),x s PAB 的面积为()
2
y cm ．表示y 与x 的函数关
系的图象如图2所示，则a 的值为________________________．
19．已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足2()()b c a c a =+-，若
540b c -=，则sin sin A B +的值为_________．
20．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，
4
tan 3
C =
，则BC =________．
21．如图，C ，D 是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A 和B 的正东方向上，且点D 位于点C 的北偏东60°方向上，CD=12km ，则AB=_______km
22．如图，一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向且距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船航行的路程为_____海里．
三、解答题
23．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上不同于A ，B 的两点，且OC 平分
ACD ∠，延长AC 与DB 交于点E ，过点C 作CF OC ⊥交DE 于点F ．
（1）求证：A E ∠=∠． （2）若5BF =，
3
4
BD OB =，求O 的半径．
24．如图，ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，BD CD =．以AC 为直径作O ，过点O 作OE AC ⊥ 交BC 于点E ，连接DE ，BDE CDE ∠=∠．
（1）求证：AB 为
O 的切线；
（2）若16AB =，8AC =，求BD 的长．
25．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C （0，3），作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM ⊥x 轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．
（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值；
（3）当点P 在线段OB 上运动时，若△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；
（4）当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m 的值．
26．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件）是每件售价x （元）（x 为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
（1）求y 关于x 的函数解析式．
（2）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元？ 每件售价x /元 … 15 16 17 18 … 每天销售量y /件
…
150
140
130
120
…
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由三角形全等的判定方法可判断,A 由平方根的含义可判断,B 由二次函数的图像可判断
,C 由圆的切线的性质可判断.D 再结合必然事件的概念可得答案．
【详解】
解：有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以是随机事件，故A 不符合题意；
若22a b =则有,a b =±所以是随机事件，故B 不符合题意； 二次函数的图象是抛物线，所以是不可能事件，故C 不符合题意； 圆的切线垂直于过切点的半径，是必然事件，故D 符合题意； 故选：.D 【点睛】
本题考查的是确定事件与随机事件的概念，同时考查了二次函数的图像，圆的切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．B
解析：B 【分析】
根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知PCE 周长的最小值为CE C E '+，根据圆周角定理可得90CEC '∠=︒，再根据弧与圆心角的关系可知30CC E '∠=︒，解直角三角形即可． 【详解】
解：如下图所示，连接CO 并延长至C '，连接CE ，OE ，EC '，
∵45CAB ∠=︒， ∴∠COB=90°，
∴C 点与C '点关于AB 所在直线对称，故当P 为EC '与AB 的交点时，PCE 周长的最小，此时CP PE C E '+=， ∵CD DE EB ==， ∴1
303
BOE BOC ∠=
∠=︒ ，60COE BOC BOE ∠=∠-∠=︒， ∴30CC E '∠=︒， ∵CC '为直径，
∴90CEC '∠=︒，8CC AB '==，
∴1
4,2
CE CC C E ''==== ∴
PCE 周长为CE EP CP ++，最小值为
4CE C E '+=+，
故选：B ． 【点睛】
本题考查圆周角定理，弧、圆心角的关系，勾股定理，圆的对称性，含30°角的直角三角形．能结合圆的对称性正确作出辅助线是解题关键．
3．B
解析：B 【分析】
根据点与圆的位置关系可得出AB=∣a ﹣6∣＜4，解之即可解答． 【详解】 解：∵点A 在
B 内，
∴AB=∣a ﹣6∣＜4，即﹣4＜a ﹣6＜4， 解得：2＜a ＜10， 故选：B ． 【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、数轴上两点间的距离、解一元一次不等式组，熟练掌握点与圆的位置关系是解答的关键．
4．D
解析：D 【分析】
连接OB ，根据勾股定理计算BM=AB=2BM 计算即可． 【详解】 连接OB ，
∵直径8CD =，AB CD ⊥，2OM = ∴
=
=
根据垂径定理，得 AB=2BM=43， 故选D ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案． 【详解】
设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，
∵一元二次方程()()2
50x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <，
∴当x =a 或x =b 时，y =0， ∵1＞0，
∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，
∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，
当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0， 当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0， ∵m ＜n ， ∴a ＜m ＜n ＜b ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．
6．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得c 的值；将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即
可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】
根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-
将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到2
1y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨
+-=-⎩
∴1a =，2b =- ∴
221y x x =--
当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
7．D
解析：D 【分析】
根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】
解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，
∴mk ＜0，所以B 选项错误；
C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣
2n
m
＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；
D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物
线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a
=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．
8．B
解析：B
【分析】
①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断；
②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；
③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．
【详解】
解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1，
∴C （0，m ），D （1，m-1），
∴
故①正确；
②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1），
∴
∴△ABD 是等腰直角三角形，
故②正确；
③当a=-2时，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），
∵对称轴x=1，
∴另一个交点坐标为（4，0），
∴b=4，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，
则1-x 1＜x 2-1
∴y 1＜y 2．
故④正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
9．C
解析：C
【分析】
根据12sin 13
AD C AC ==，可设AD ＝12x ，由勾股定理可求出DC ，利用tan ∠B =cos ∠DAC 可求出BD ＝13x ，利用BC =12，求出x ，进而求解．
【详解】
在Rt △ADC 中，12sin 13
AD C AC ==， 设AD ＝12x ，则AC ＝13x ， ∴
5DC x =，
∵cos ∠DAC ＝sin C ＝
1213， ∴tan B ＝1213
， 在Rt △ABD 中，∵tan B 1213AD BD =
=，∴BD ＝13x ， ∴13x +5x ＝12，解得23
x =
， ∴AD ＝12x ＝8．
故选C ．
【点睛】 本题考查解直角三角形，熟练掌握正切，正弦和余弦的定义是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据∠β=45°，得出BC ＝CD ＝x ，再根据28α∠=︒，用它的正切列方程即可．
【详解】
解：∵45β∠=︒，
∴BC ＝CD ＝x ，
∵AB ＝30，
∴AC ＝x +30，
∴tan28°＝30
CD x AC x =+， ∴x ＝（x +30）tan28°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
11．C
解析：C
直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可；
【详解】
∵ sin45°=2 ，cos45°=2
，
∴sin45°+ cos45°=
2+2， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ．
12．C
解析：C
【分析】
由tanA=BC AC =2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．
【详解】
解：由tanA=BC AC
=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，
∴
根据勾股定理，得=，
因此，sinA=
BC AB ==， 故选：C ．
【点睛】
本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题． 二、填空题
13．【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔题目已知速度那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差根据公式：时间=路程÷速度即可求解【详解】解：第一次相切如图①∵∴即第一次相切
1+ 【分析】
要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解．
解：第一次相切如图①， ∵12O P cm =，1O P AC ⊥， ∴11222sin sin 30O P O A cm A ===︒
， 即第一次相切圆心运动的距离为22cm ．
第二次相切如图②，
22O P cm =，2O P BC ⊥，
第三次相切如图③，
∵32O P cm =
，3O P AB ⊥， ∴3322sin sin 45O P O B cm B ===︒
， 第三次相切圆心运动的距离为3722AB O B +=+，
∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：
72222522+-=+，
∴52252122
s t v +===+， 故答案为：
5212+．
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差．
14．【分析】连接AC 根据圆周角定理得出AC 为圆的直径解直角三角形求出AB 求出扇形面积和面积两者的面积比即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率
【详解】解：连接AC ∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 解析：12
【分析】
连接AC ，根据圆周角定理得出AC 为圆的直径，解直角三角形求出AB ，求出扇形面积和O 面积，两者的面积比，即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率．
【详解】
解：连接AC ，
∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，即∠ABC=90︒， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC （扇形的半径相等），
∵AB 2+BC 2=22，
∴2，
∴S 阴影部分=2
9023602
ππ︒⨯=︒（m 2）， 则：P 针孔扎在扇形（阴影部分）=212==2O
S S OA =阴影部分
ππ
故答案为：
12
． 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
15．【分析】根据抛物线的对称性即可求解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-10）（50）∴这条抛物线的对称轴是直线x=（5-1）=2故答案为2【点睛】本题考查了抛物线与x 轴
解析：2
【分析】
根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-1，0），（5，0），
∴这条抛物线的对称轴是直线x=
12（5-1）=2， 故答案为2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 16．10【分析】根据铅球落地时高度y=0实际问题可理解为当y=0时求x 的值即可【详解】解：令函数式中y=00=解得x1=10x2=-2（舍去）即铅球推出的距离是10m 故答案为：10【点睛】本题考查了二次
解析：10
【分析】
根据铅球落地时，高度y=0，实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．
【详解】 解：令函数式()21184105y y x ==-
-+中，y=0， 0=()21184105
x --+， 解得x 1=10，x 2=-2（舍去），
即铅球推出的距离是10m ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键． 17．-1<x<0【分析】如图作抛物线y ＝x2＋m 关于x 轴对称的抛物线y ＝−x2−m 设抛物线y ＝−x2−m 与y ＝的交点为A′由对称性可知A 与A′关于原点对称推出A′点的横坐标为−1由图象可知＜−x2−m 时
解析：-1<x<0
【分析】
如图作抛物线y ＝x 2＋m 关于x 轴对称的抛物线y ＝−x 2−m ，设抛物线y ＝−x 2−m 与y ＝k x 的交点为A′，由对称性可知，A 与A′关于原点对称，推出A′点的横坐标为−1，由图象可知k x
＜−x 2−m 时，x 的取值范围为−1＜x ＜0，由此即可解决问题．
【详解】 解：如图作抛物线y ＝x 2＋m 关于x 轴对称的抛物线y ＝−x 2−m ，设抛物线y ＝−x 2−m 与y ＝k x
的交点为A′，
由对称性可知，A 与A′关于原点对称（两个抛物线、一个反比例函数的图象关于原点成中心对称），
∴A′点的横坐标为−1，
由图象可知
k x ＜−x 2−m 时，x 的取值范围为−1＜x ＜0， ∴k x
＋x 2＋m ＜0的解集为−1＜x ＜0.
故答案为：−1＜x ＜0
【点睛】
本题考查二次函数与不等式、轴对称变换、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
18．【分析】由函数图像可得：当时此时面积最大可得当时重合可得如图过作于求解再求解再利用列方程解方程可得答案【详解】解：由函数图像可得：当时重合此时面积最大当时重合如图过作于菱形经检验：符合题意故答案为： 解析：433 【分析】
由函数图像可得：当4x s =时，=PAB S a ，此时面积最大，可得=4AC ， 当4
x a =+时，,P D 重合，可得,AB CD a == 如图，过C 作CK AB ⊥于,K 求解2,CK = 再求解30CAK ∠=︒，
30BCK ∠=︒， 再利用cos ,CK BCK BC ∠= 列方程，解方程可得答案． 【详解】
解：由函数图像可得：
当4x s =时，,P C 重合，=PAB S
a ，此时面积最大，
14=4AC ∴=⨯，
当4x a =+时，,P D 重合， ()144,AB CD a a ∴==⨯+-=
如图，过C 作CK AB ⊥于,K
1,2
a CK a ∴= 2,CK ∴=
1sin ,2
CK CAK CA ∴∠== 30CAK ∴∠=︒，
60ACK ∴∠=︒，
菱形ABCD ，
,30,AB BC a BCA BAC ∴==∠=∠=︒
603030BCK ∴∠=︒-︒=︒，
cos ,CK BCK BC
∠=
2cos30a ∴=︒=
4,=
a ∴=
经检验：a =
【点睛】 本题考查的是从函数图像中获取信息，菱形的性质，锐角三角函数的运用，掌握以上知识是解题的关键．
19．【分析】把所给的式子进行整理判断出三角形的形状进而计算相应角的正弦值的和【详解】解：∵∴b2=c2-a2即：a2+b2=c2∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形∵5b-4c=0∴设b=4kc=5k ∴△ 解析：75
【分析】
把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．
【详解】
解：∵2()()b c a c a =+-，
∴b 2=c 2-a 2，
即：a 2+b 2=c 2，
∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形，
∵5b-4c=0， ∴45
b c =， 设b=4k ，c=5k ，
∴△ABC 中，， ∴35a c =， ∴sinA+sinB=
347555a b c c +=+=，
故答案为：75
． 【点睛】
本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比．
20．7【分析】由题意得是等腰直角三角形由求出AD 和BD 的长度再根据求出CD 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵∴是等腰直角三角形
∴∴∵∴∵∴∵∴故答案是：7【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是掌握利用
解析：7
【分析】
由题意得ABD △是等腰直角三角形，由AB =AD 和BD 的长度，再根据4tan 3
C =，求出C
D 的长，即可求出BC 的长． 【详解】
解：∵AD BC ⊥，AD BD =，
∴ABD △是等腰直角三角形，
∴45ABD ∠=︒，
∴sin AD ABD AB ∠== ∵
AB =
∴4=AD ， ∵4tan 3
AD C CD ==， ∴3CD =，
∵4BD AD ==，
∴437BC BD CD =+=+=．
故答案是：7．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 21．【分析】过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形由方位角确定∠ECD=60°在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可【详解】过点C 作CE ⊥BD 于E 由湖的南北两端A 和B ∴∠EBA=∠BA
解析：【分析】
过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形，由方位角确定∠ECD=60°，在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可．
【详解】
过点C 作CE ⊥BD 于E ，
由湖的南，北两端A和B
∴∠EBA=∠BAC=90º，
又∠BEC=90º
则四边形ABCE为矩形，
∴AB=CE
∵点D位于点C的北偏东60°方向上，
∴∠ECD=60°，
∵CD=12km，
在Rt△CED中，
∴CE=CD•cos∠ECD=12×1
=6km，
2
∴AB=CE=6km．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，通过辅助线，将问题转化矩形和三角形中，利用三角函数与矩形性质便可解决是关键．
22．（40+40）【分析】过A作AQ⊥BC于Q∠BAQ＝60°∠CAQ＝45°AB＝80海里在直角三角形ABQ中求出AQBQ再在直角三角形AQC中求出CQ再根据BC＝CQ+BQ即可得出答案；【详解】解：
解析：（3
【分析】
过A作AQ⊥BC于Q，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，再根据BC＝CQ+BQ即可得出答案；
【详解】
解：过A作AQ⊥BC于Q，
由题意得：AB＝80，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AQ ＝12AB ＝40，BQ ＝3AQ ＝403， 在直角三角形AQC 中，∠CAQ ＝45°，
∴CQ ＝AQ ＝40，
∴BC ＝BQ+CQ ＝（40+403）海里．
故答案为：（40+403）
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出CQ 和BQ 是解决问题的关键．
三、解答题
23．（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）根据角平分线和半径相等证//OC DE ，再用平行线的性质证明即可；
（2）设3BD x =，4OB x =，根据（1）中的等角，得到AB=BE ，CE=CD ，列方程即可．
【详解】
（1）证明：∵OC=OA,
∴ACO A ∠=∠．
∵∠A=∠D ，
∴∠D=∠ACO
∵OC 平分ACD ∠，
∴ACO OCD ∠=∠，
∴OCD D ∠=∠．
∴//OC DE ，
∴E ACO ∠=∠，
∴E A ∠=∠．
（2）解：∵34
BD OB =，∴设3BD x =，4OB x =， 由（1）得E D ∠=∠，
∴CD=CE ，
∵//OC DE ．CF OC ⊥，
∴CF DE ⊥，
∴35EF DF x ==+．
∴310BE x =+，
∵E A ∠=∠，
∴AB BE =，即3108x x +=，
解得2x =
∴半径48OB x ==．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，解题关键是准确把握已知，合理利用已知条件，设未知数列方程．
24．（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可证点E 为BC 的中点，在结合三角形中位线定理，证明//OE AB ，即可得到结论
（2）设BD=CD=x ，在Rt ACD △中利用勾股定理，列出关于x 的方程即可求解
【详解】
（1）
BD CD = BDC ∴是等腰三角形 又BDE CDE ∠=∠．
BE EC ∴=，
AO OC = OE ∴为ABC 的中位线
//OE AB ∴，
BAC EOC ∴∠=∠
OE AC ⊥，
90BAC EOC ∴∠=∠=︒
AB AC ∴⊥， AC 为O 的直径，
AB ∴是O 的切线
（2）设BD x =，
CD BD x ∴==，
16AB =，
16AD x ∴=-
在Rt ADC 中，222AD AC DC +=，8AC =
()2
22168x x ∴-+=，
解得：10x =， 10BD ∴=
【点睛】
本题考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆切线的判定定理，和等腰三角形性质的应用．
25．（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3；（2）当m ＝32
时，MN 有最大值，MN 的最大值为
94；（3）m ＝2；（4）m 的值为232
． 【分析】
（1）由A 、C 两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B 点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC 的解析式；
（2）用m 可分别表示出N 、M 的坐标，则可表示出MN 的长，再利用二次函数的最值可求得MN 的最大值；
（3）由题意可得当△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC ，且
MC ⊥MN ，则可求表示出M 点坐标，代入抛物线解析式可求得m 的值；
（4）由条件可得出MN=OC ，结合（2）可得到关于m 的方程，可求得m 的值．
【详解】
解：（1）∵抛物线过A 、C 两点，
∴代入抛物线解析式可得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，
令y ＝0可得，﹣x 2+2x +3＝0，解x 1＝﹣1，x 2＝3，
∵B 点在A 点右侧，
∴B 点坐标为（3，0），
设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，
把B 、C 坐标代入可得303k s s +=⎧⎨=⎩，解得13k s =-⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 解析式为y ＝﹣x +3；
（2）∵PM ⊥x 轴，点P 的横坐标为m ，
∴M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，﹣m +3），
∵P 在线段OB 上运动，
∴M 点在N 点上方，
∴MN ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ＝﹣（m ﹣
32）2+94， ∴当m ＝32
时，MN 有最大值，MN 的最大值为94； （3）∵PM ⊥x 轴，
∴当△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，则有CM ⊥MN ，
∴M 点纵坐标为3，
∴﹣m 2+2m +3＝3，解得m ＝0或m ＝2，
当m ＝0时，则M 、C 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m ＝2；
（4）∵PM ⊥x 轴，
∴MN ∥OC ，
当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC ＝MN ，
当点P 在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m 2+3m ，
∴﹣m 2+3m ＝3，此方程无实数根，
当点P 不在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m +3﹣（﹣m 2+2m +3）＝m 2﹣3m ，
∴m 2﹣3m ＝3，解得m ＝32+或m ＝32
，
综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 或
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m 表示出MN 的长是解题的关键，在（3）中确定出CM ⊥MN 是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC=MN 是解题的关键．
26．（1）10300y x =-+；（2）20元或21元．
【分析】
（1）通过表格的数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）通过题意得到利润和售价之间的关系式，然后当利润为900元时，解方程即可得到结果．
【详解】
解：（1）设该一次函数的解析式为y kx b =+，
由表可知15x =时150y =，16x =时140y =，
∴1501514016k b k b =+⎧⎨=+⎩
∴10300k b =-⎧⎨=⎩
∴一次函数的解析式为10300y x =-+；
（2）设利润为W ，则()()()111110300W x y x x =-=--+，
∴2104103300W x x =-+-
当900W =时，2900104103300x x =-+-，
即2414200x x -+=，
解得120x =，2
21x = ∴每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元． 【点睛】
本题考查了函数的应用问题，正确列出函数关系式是解题的关键．。