高考数学小题对点练2-集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

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小题对点练(二) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等
式(2)
(建议用时：40分钟) (对应学生用书第114页)
一、选择题
1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( ) A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1) C ．A ∪B ＝(0，＋∞)
D ．(∁R A )∩B ＝{－1}
D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 项错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.] 2．设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件． 当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.]
3．(2018·肇庆市三模)f (x )是R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f x －1，x ＞1
log 2 x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝
( )
A.1
2 B ．－12
C ．1
D ．－1
C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－log 2 12＝－log 2 2－1＝1.故选C.]
4．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
B [令t ＝－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，故函数的定义域为(－1,3)，且y ＝ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质求得t ＝－(x －1)2＋4在定义域内的减区间为[1,3)，故选B.]
5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，
x ＋y －2≤0，
x ≥0，
则z ＝x －2y 的最大值为( )
A ．－4
B ．－5
2
C ．－1
D ．－2
D [作出可行域，如图所示：
当直线y ＝x 2－z
2
过点D (0,1)时z 取到最大值，即z ＝－2，故选D.]
6．(2018·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1
x 0
>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，
x 2>2x ，则下列命题为真的是( )
A ．p ∧(﹁q )
B ．(﹁p )∧q
C ．p ∧q
D ．(﹁p )∨q
A [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝17
4>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x
＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0
＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，故选A.]
7．(2018·天津高考)已知a ＝log 2 e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1
3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b
D [
法一：因为a ＝log 2 e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 2 3＞log 2 e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.
法二：log 121
3＝log 2 3，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2 x ，y ＝ln x 的图象，
由图知c ＞a ＞b ，故选D.]
8．定义在R 上的偶函数f x 在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的
取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D ．[0,4]
D [由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等
于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4，故选D.]
9．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若
a >0，
b >0且a ＋b ＝1，则－
1
2a
－2
b
的上确界为( )
A.92 B ．－92
C.14
D ．－4
B [－1
2a －2
b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫52＋2b 2a ×
2a b ＝－92， 当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝2
3
时取等号，
所以原式的上确界为－9
2
，故选B.]
10．(2018·衡水中学七调)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln x －1x ＋1的图象大致为( )
A B
C D
B [由于x ≠0，故排除A 选项．又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln
－x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C 选项．由f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 13＝－sin(ln 3)＜0，排除D 选项，故
选B.]
11．(2018·保定市一模)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝
g x
f x ＋1
＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－
1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )
A ．0
B ．2 018
C ．4 036
D ．4 037
D [因为函数f (x )既是二次函数又是幂函数，所以f (x )＝x 2，∴h (x )＝
g x x 2＋1
＋1，
因此h (x )＋h (－x )＝
g x x 2＋1
＋1＋
g －x x 2＋1
＋1＝2，
h (0)＝
g 0
0＋1
＋1＝1，
因此h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.]
12．已知函数f (x )＝x 2
e x ，下列关于
f (x )的四个命题：
①函数f (x )在[0,1]上是增函数； ②函数f (x )的最小值为0；
③如果x ∈[0，t ]时，f (x )max ＝4
e 2，则t 的最小值为2；
④函数f (x )有2个零点． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
C [∵函数f (x )＝x 2
e
x ，∴f ′(x )＝x (2－x )e －x ，
∴令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2，即函数f (x )在(0,2)上为增函数；令f ′(x )＜0，得x ＜0或x ＞2，即函数f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数．
∵函数f (x )＝x 2
e x ≥0在R 上恒成立，∴当x ＝0时，
f (x )min ＝f (0)＝0，且函数f (x )的零点个
数只有一个．
当x ＞0时，f (x )max ＝f (2)＝4
e 2，则要使x ∈[0，t ]时，
f (x )max ＝4
e 2，则t 的最小值为2，
故③正确．综上，①②③正确．故选C.]
二、填空题
13．曲线y ＝2ln x 在点(e 2,4)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____．
e 2 [∵y ＝2ln x ，∴y ′＝2x ，故切线的斜率为2e 2，可得切线方程为y －4＝2
e 2(x －e 2)，即y
＝2
e 2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，令y ＝0，可得x ＝－e 2，∴切线与坐标轴围成的三角形面积S
＝1
2
×2×e 2＝e 2.] 14．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． (－∞，0] [∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立． 令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1 ＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4. 由二次函数的性质可知：
当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0. ∴a 的取值范围为(－∞，0]．]
15．已知f (x )是以2e 为周期的R 上的奇函数，当x ∈(0，e)时，f (x )＝ln x ，若在区间[－e ，3e]内，关于x 的方程f (x )＝kx 恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13e ，1e [由题可得函数在(－e ，e)上的解析式为f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
－ln －x ，－e ＜x ＜00，x ＝0ln x ，0＜x ＜e
，
在区间[－e,3e]，关于x 的方程f (x )＝kx 恰好有4个不同的解，当k ＞0时，画出图象：
由图可知⎩⎪⎨⎪⎧
k ＜ln e －0e －0＝
1
e
k ≥
ln
3e －2e －03e －0
＝
1
3e ，
∴1
3e ≤k ＜1
e ， 同理可得，当k ＜0时，
k ≤－1
e
，
即k 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13e ，1e .]
16．已知a ，b ∈R ，直线y ＝ax ＋b ＋π2与函数f (x )＝tan x 的图象在x ＝－π
4
处相切，设
g (x )＝e x ＋bx 2＋a ，若在区间[1,2]上，不等式m ≤g (x )≤m 2－2恒成立，则实数m 的最大值
等于________．
e ＋1 [∵
f (x )＝tan x ＝sin x
cos x ，∴f ′(x )＝cos 2x －sin x －sin x cos 2x ＝1
cos 2x ，∴a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝
2，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1在直线y ＝ax ＋b ＋π2上，∴－1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＋b ＋π
2，得b ＝－1，∴g (x )
＝e x －x 2＋2，g ′(x )＝e x －2x ，令h (x )＝e x －2x ，则h ′(x )＝e x －2，当x ∈[1,2]时，h ′(x )≥h ′(1)＝e －2＞0，∴g ′(x )在[1,2]上单调递增，∴g ′(x )≥g ′(1)＝e －2＞0，∴g (x )在[1,2]上单调递增，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m ≤g x min ＝g 1＝e ＋1，
m 2－2≥g x max ＝g 2＝e 2－2，
解得m ≤－e 或e ≤m ≤e ＋1， ∴m 的最大值为e ＋1.]。