云南省昆明三中高三数学上学期第三次综合测试试卷理(

2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．
1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )
A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}
2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )
A．B．C．D．
4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )
A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x
6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为( )
A．4πB．8πC．12π D．16π
8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )
A．10 B．8 C．D．
9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )
A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31
10．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则的最小值是( )
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
11．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )
A．39 B．40 C．43 D．46
12．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=__________．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则
cosA=__________．
15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是__________．
16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，
，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．
（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；
（Ⅱ），求证：．
18．已知，，．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k 恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．
19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．
（1）求证：AC⊥BN；
（2）求证：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．
20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；
（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．
（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．
2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．
1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )
A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}
【考点】补集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】由集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，求出A的补集即可．
【解答】解：∵集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，
∴∁U A={x|2≤x＜3}．
故选：A．
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论．
【解答】解：==﹣3﹣8i，对应的坐标为（﹣3，﹣8），位于第三象限，
故选：C
【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )
A．B．C．D．
【考点】循环结构．
【专题】图表型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环 x y z
循环前/1 1 2
第一圈是1 2 3
第二圈是2 3 5
第三圈是3 5 8
第四圈否
故最终的输出结果为：
故选D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．
4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；综合题．
【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，
反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．
故选B．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )
A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式．
【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，
故选C．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由|PF1|=c，结合双曲线的定义得到|PF2|，再根据PF1⊥PF2，由勾股定理列式得到关于a，c的方程，整理得到关于e的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：因为P是双曲线左支的一点，又|PF1|=c，所以|PF2|=2a+c，
又PF1⊥PF2，所以，
即c2+（2a+c）2=4c2，
c2﹣2ac﹣2a2=0．
e2﹣2e﹣2=0．
解得（舍），或e=．
故选C．
【点评】本题考查的是双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义，解答的关键是得到关于a，c的关系式，此题是中档题．
7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为( )
A．4πB．8πC．12π D．16π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；综合题．
【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，
所以，R=2，
球O的表面积是16π，
故选D．
【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )
A．10 B．8 C．D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB．
【解答】解：函数y=sin（πx+φ）
∴T=，最大值为1，
过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，
在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，
所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．
故选B．
【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．
9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )
A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31
【考点】数列的求和．
【专题】常规题型．
【分析】先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜﹣5转化为关于n的不等式即可．
【解答】解：∵a n=log2，
∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2，
又因为S n＜﹣5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜﹣5成立的正整数n有最小值：63
故选 A
【点评】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．
10．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则的最小值是( )
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】根据O为AB的中点，我们易得=，又由OPC三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．
【解答】解：因为O为AB的中点，
所以，
从而则==；
又为定值，
所以当且仅当，
即P为OC的中点时，
取得最小值是﹣2，
故选D．
【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将
化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．
11．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，且f=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )
A．39 B．40 C．43 D．46
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明．
【分析】利用函数单调递增及n∈N*时，f（n）∈N*，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．
【解答】解：由f=2n+1，令n=1，2得：f=3，f=5．
∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
①若f（1）=1，则由f=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；
②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，
则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，
∴f（4）=6．
f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，
f（7）=f（f（5））2×5+1=11．
∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．
12．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，根据已知求出函数的解析式，利用导数法，求出两图象相切时的临界值，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，∴在区间内，f（x）=，
∵f（1）=0，f（3）=﹣4ln3，
若y=ax的图象过（3，﹣4ln3）则a=，
若y=ax的图象与f（x）=﹣4lnx，x∈相切于（b，﹣4lnb）点，
则切线方程为：y+4lnb=（x﹣b），即
4lnb=4，b=e，
此时a=
若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，
则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，
则a∈，
故选：B．
【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，将函数零点问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=17．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中，前20项之和S20=170，
∴S20==10（a5+a16）=170，
∴a5+a16=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题．
【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．
【解答】解：由正弦定理，知
由（b﹣c）cosA=acosC可得
（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=．
故答案为：
【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．
15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据
，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．
【解答】解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，
∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，
又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，
∴和的夹角为锐角．
又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d＞1
综合可知1≤d＜，
过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|
综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2
故答案为：
【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，
，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=．
【考点】数列的求和．
【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以 1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和
【解答】解：由，，，
∴tanB1=，∴=tanB1•||=||，
∴，
进而，
…
（i=1，2，…，n），
根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：
S i+1=3S i（i=1，2，…，n），
即所作三角形的面积构成以1为项，以为公比的等比数列
∴a1+a2+…+a n==
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列的和的求解，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再利用等比数列的求和公式
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．
（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；
（Ⅱ），求证：．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（I），化为a n+1﹣a n=2，即可证明；
（II）当n≥2时，=＜=．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．
【解答】证明：（I）∵，
化为a n+1﹣a n=2，
∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（II）当n≥2时，
=＜=．
∴b1+b2+…+b n+…+
=1+．
当n=1时也成立，
∴．
【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知，，．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k 恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【专题】数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）运用数量积的坐标计算公式，辅助角公式化简函数式，再求最小正周期和单调区间；
（2）根据自变量的范围得出函数的最值，求出a，再结合函数图象求k的范围．
【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1=sin（2x+）+a+1，
该函数的最小正周期为：π，
令2x+∈，解得x∈；
所以，f（x）的单调增区间为（k∈Z）；
（2）当x∈时，2x+∈，
此时，sin（2x+）∈，
所以，f（x）max=+a+1=，解得a=﹣1，
因此，f（x）=sin（2x+），
要使f（x）=k在x∈内恰有两解，
结合正弦函数图象知，k∈[f（0），f（）），即k∈[1，），
故实数k的取值范围为[1，）．
【点评】本题主要考查了向量的数量积，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，以及运用函数图象解决根的个数问题，属于中档题．
19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，
AD=2，．
（1）求证：AC⊥BN；
（2）求证：AN∥平面MEC；
（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）通过连接BD，证明AC⊥平面NDB，利用BN⊂平面NDB，从而证明AC⊥BN；（2）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；
（3）通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．利用求出向量，求出平面ADE的法向量，利用，求出二面角M ﹣EC﹣D的大小．
【解答】（共14分）
解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．
由已知DN⊥平面ABCD，
因为DN∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．…
又因为BN⊂平面NDB，
所以AC⊥BN．…
（2）CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，
所以F是BN的中点．
因为E是AB的中点，
所以AN∥EF．…
又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…
（3）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．
如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，C（0，2，0），
.，．…
，
设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．
则
所以
令x=2．
所以．…，
又平面ADE的法向量=（0，0，1），
所以．．
所以二面角M﹣EC﹣D的大小是60°．…（14分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．
20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆
E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由
得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此时x0==，y0=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．
21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；
（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；
（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；
（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，
解法二：将化为：，由二项式定理化简
=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；
（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．
【解答】解：（1）依题意，（x＞0），
所以=，
由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，
此时（x＞0），，
令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．
（2）解法一：
由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，
即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，
所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014
解法二：
=，
因为=
=1+1+++…+
＜2+
＜2+
＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）
=3﹣＜3，
所以，所以20142015＞20152014．
（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，
记g（x）=，只需k＞g（x）max．
又=，
记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，
所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，
当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：
所以g（x）max=g（x0）=，
又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，
所以g（x0）===，
因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，
因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．
所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）
【点评】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】直线与圆．
（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos2θ=4sinθ【分析】
两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，
曲线C的标准方程：x2=4y．
（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：
t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，
∴|AB|=|t1﹣t2|==8，
∴cosα=．
∴或．
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．。