吉林延边市数学高二下期末经典练习题(培优提高)

一、选择题
1．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当
2
3
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()220f f f -<<
B ．()()()220f f f <-<
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()022f f f <-<
2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）
A ．
6
B ．6
±
C ．
2
D ．2
±
3．已知e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是单位向量，且e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =0，向量a ⃑ 与e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 共面，|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1，则数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=（ ） A ．定值－1
B ．定值1
C ．最大值1，最小值－1
D ．最大值0，最小值－1
4．已知π
(,π)2
α∈，π1
tan()47
α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17
-
B ．25-
C ．15
-
D ．
15
5．将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移
4
π
个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ϕ等于（ ）
A ．6
π-
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 6．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos
56
π
)，则角x 的最小正值为( ) A ．56
π B ．53
π
C ．
116
π
D ．
23
π 7．函数()sin()A f x x ωϕ=
+(0,)2
π
ωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）
A ．4
B ．23
C ．2
D ．3
8．若将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．x =kπ2−π
6(k ∈Z ) B ．x =kπ2+π
6(k ∈Z )x C ．x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )
D ．x =
kπ2
+π
12(k ∈Z )
9．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足
3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
10．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ） A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积 C ．a ，b 为两边的三角形面积 D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 11．在
中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若
sin sin()sin 2C B A A +-=，则
的形状为
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．函数()0,0,2
()(||)f x Asin x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()
f x 的解析式为（ ）．
A ．()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()2sin 12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
13．已知tan 24πα⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭
,则sin 2α=（ ） A ．
310 B ．
35 C ．65
-
D ．125
-
14．设0>ω，函数2cos 17y x πω⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭的图象向右平移
43
π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．
34
B ．
23
C ．4
3
D ．
32
15．设0000
20
132tan151cos50cos 2sin 2,,221tan 152
a b c -=-==+，则有（ ） A ．c a b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
二、填空题
16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，
AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.
17．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 18．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()
PA PB PC +⋅=__________．
19．求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦
的值域____. 20．已知1cos()63
π
α+
=，则5sin(2)6π
α+=________．
21．已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b +=__________．
22．已知平面向量a 、b 满足||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，若（a mb -）
a ⊥，则实数m 的值是___________ .
23．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)
0,)2
π
ωφ><（的部分图象如下图所示，则φ＝
________.
24．已知向量a b ，均为单位向量，a 与b 夹角为
3
π
，则|2|a b -=__________． 25．设G 是ABC ∆的重心（即三条中线的交点），AB a =，AC b =，试用a 、b 表示
AG =________. 三、解答题
26．已知23cos(),(,)41024
x x π
ππ-
=
∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3
x π+的值.
27．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.
参考数据: 7
2
1
34840i
i x ==∑，7
21
50767i
i y ==∑，7
1
41964i i i x y ==∑，
7
1
()()314i
i
i x x y y =--=∑.
参考公式：y bx a =+，1
1
2
2
21
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y n x y
b x x x
n x
====---⋅⋅=
=
--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅(计算
a b ，时精确到0.01).
28．已知26
sin 5
θ=-
，32ππθ<<.
（Ⅰ）求cos θ，tan θ的值；
（Ⅱ）求()()3sin sin cos cos 522ππθπθθθπ⎡
⎤⎡
⎤⎛⎫⎛⎫+++
⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
的值. 29．如图，已知单位圆上有四点(1,0)E ，(cos ,sin )A θθ，(cos 2,sin 2)B θθ，
(cos3,sin 3)C θθ，其中03
π
θ<≤
，分别设OAC ABC ∆∆、的面积为1S 和2S .
（1）用sin cos θθ，表示1S 和2S ；
（2）求
12cos sin S S
θθ
+的最大值及取最大值时θ的值． 30．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．且满足
sin 33B B =1a =.
（1）求角B 的大小；
（2）若2b ac =，求ABC ∆的面积．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．C
5．B
6．B
7．A
8．C
9．C
10．A
11．D
12．D
13．B
14．D
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的
18．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义
19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上
的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的
20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
21．【解析】【分析】【详解】故答案为
22．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3
23．【解析】由图可知点睛：解决此类问题的关键是求首先根据函数的图象得到再根据最值点或者平衡点求出所有的进而根据的范围求出答案即可注意在代入已知点时最好代入最值点因为在一个周期内只有一个最大值一个最小值而
24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2π
π
=2．
又∵当x=
2
3
π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×2
3
π +φ=2kπ+
32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6
π
，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6
π
）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6
π
﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6
π
）＜0， f （0）=Asin 6π
=Asin 56
π＞0， 又∵
32π＞6π
﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2
π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，
∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴
cos302λ︒=， ∴
4λ=，则0λ>，
∴2
λ=
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意可设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，a ⃑ =(x,y)，再表示向量的模长与数量积， 【详解】
由题意设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，则向量a ⃑ =xe 1⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑ =(x,y)，且|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1， 所以a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ =(x −1,y −1)， 所以(x −1)2+(y −1)2=1， 又a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ =(x −2,y −2)，
所以数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=x(x −2)+y(y −2)=(x −1)2+(y −1)2−2=1−
2=−1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。

4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由两角和的正切公式得出3
sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55
αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】
1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭
3tan 4
α∴=-，即3
sin cos 4αα=-
由平方关系得出2
23cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解得：43cos ,sin 55αα=-=
341
sin cos 555
αα+=
-=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.
5．B
解析：B
【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】
()()()
sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++ ⎪⎝⎭
,
将函数()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛
⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<，2k ∴=，6
π=ϕ. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin
06π>，5cos 06
π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
5sin cos 6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】
试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=
+(0,)2
π
ωϕ><，那么根据图像可知
周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到2
2
sin(4)6
πϕ=⨯+，6
πϕ=-，则
可知()f π=4，故答案为A.
考点：三角函数图像
点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，将函数y =cos2x 的图象向左平移π
12个单位长度，得到y =
cos2(x +π12)=cos (2x +π6)，由2x +π6=kπ,k ∈Z ，得x =kπ2
−π
12,k ∈Z ，即平移后的
函数的对称轴方程为x =
kπ2
−π
12(k ∈Z )，故选C ．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出
3344AM AB BC AB AD =+
=+,22
33
AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2
()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,
∴根据图形可得:33
44
AM AB BC AB AD =+
=+, 22
33
AN AD DC AD AB =+
=+, NM AM AN ∴=-,
2
()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,
2
2
239
216
AM AB AB AD AD =+⋅+,
22233
342
AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅,
6,4AB AD ==， 2213
1239316
AM NM AB AD ∴⋅=
-=-=， 故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于
1
2
BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A 11．D
解析：D 【解析】
试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A
再注意到：
，所以有，故知△ABC 是等腰
三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512
x π
=
时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析
【详解】
由题意可知52,4,212()6
A T ππ
πω==-==， 因为:当512
x π
=
时取得最大值2， 所以:5222)2
(1sin π
ϕ=⨯+， 所以:522,Z 122
k k ππ
ϕπ⨯
+=+∈， 解得:2,Z 3
k k π
ϕπ=-∈，
因为:||2
ϕπ
<
， 所以:可得3
π
ϕ=-
，
可得函数()f x 的解析式:()(2)23
f x sin x π
=-．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
13．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααα
αααα==++即可求解.
【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
， tan 1
21tan αα
+=--，解得tan 3α=，
2222sin cos 2tan 63
sin 2sin cos tan 1105
ααααααα=
===++.
故选：B 【点睛】
此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.
解析：D 【解析】 【分析】
由题意得出43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，可得出()423k k N ππω*=∈，可得出ω的表达式，即可求出ω的最小值.
【详解】 由题意可知，43π是函数2cos 17y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的周期，则()423k k N ππω*=∈， 即32k ω=
，又因为0>ω，当1k =时，ω取最小值3
2
，故选D. 【点睛】
本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】
()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，
22
2sin15cos15
sin 30cos 15cos 15
b =
=+sin28a >=
sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.
【点睛】
本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
二、填空题
16．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线
解析：21
16
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,2
2BE t ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出233
22
AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】
因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，
又因为120DAB ︒
∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭
，
因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3
3
-， 所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭
， 令0x =，解得3y =
3)C ，
设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，
则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭
，
所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫
⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
又因为3]t ∈，所以当3
4
t =时，AE BE ⋅取得最小值为2116．
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．
17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的
解析：2
【解析】 【分析】
根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】
设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =
()1,b c x k y -=-- ，
1b c -=
()()2
2
11x y k ∴-+-=，
∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，
a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】
本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.
18．【解析】【分析】先用中点公式的向量式求出再用数量积的定义求出的值【详解】【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义 解析：2-
【解析】 【分析】
先用中点公式的向量式求出PA PB +，再用数量积的定义求出()
PA PB PC +⋅的值． 【详解】
2PA PB PO +=，()
2211cos1802PA PB PC PO PC ο
∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-
【点睛】
本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义．
19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的
解析：3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域。

【详解】
()()22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
设sin t x =
2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 1,12t ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
故()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域等价于2
2
13124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的值域 3,34y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题。

20．【解析】分析：由题意利用目标角和已知角之间的关系现利用诱导公式在结合二倍角公式即可求解详解：由题意又由所以点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系合理选择
解析：79
-
【解析】
分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解． 详解：由题意
25sin(
2)sin(2)cos(2)cos[2()]2cos ()1623366
ππππππ
ααααα+=++=+=+=+-， 又由1
cos()63
π
α+=， 所以22517sin(
2)2cos ()12()16639
ππαα+=+-=⨯-=-． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
21．【解析】【分析】【详解】故答案为
解析：【解析】 【分析】 【详解】
()330,1,21,7252a b a b t t a b a b ⊥⇒⋅=-+==+=+=，
，故答案为
22．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为3
解析：3 【解析】
∵()a mb a -⊥
∴()0a mb a -⋅=
∴2
cos ,0a m a b a b -⋅⋅〈〉= ∴932cos600m -⨯⨯⨯︒= ∴3m = 故答案为3
23．【解析】由图可知点睛：解决此类问题的关键是求首先根据函数的图象得到再根据最值点或者平衡点求出所有的进而根据的范围求出答案即可注意在代入已知点时最好代入最值点因为在一个周期内只有一个最大值一个最小值而
解析：6
π-
【解析】
由图可知1A =，74123T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝
⎭ ()()
22sin 213f x x f π
πωϕπ
⎛⎫
∴=
=∴=+= ⎪⎝⎭
2223
26
k k Z k k Z π
π
π
ϕπϕπ∴⨯
+=+
∈∴=-∈，， 2
π
ϕ<
，6
π
ϕ∴=-
点睛：解决此类问题的关键是求∅，首先根据函数的图象得到A ，ω，再根据最值点或者平衡点求出所有的∅，进而根据∅的范围求出答案即可．注意在代入已知点时最好代入最值点，因为在一个周期内只有一个最大值，一个最小值，而平衡点却有两个，假如代入的是平衡点则需要根据函数的单调性来判定∅的取值．
24．【解析】【分析】【详解】由已知得到向量的数量积为所以所以故答案为
【解析】 【分析】 【详解】
由已知得到向量a ，b 的数量积为1
cos 3
2
a b π
⋅==
，所以
22
2|2|444213a b a a b b -=-⋅+=-+=，所以23a b -=，故答案为.
25．【解析】【分析】延长交于点利用重心的性质得出以及中线向量可求出的表达式【详解】延长交于点则点为线段的中点由平面向量加法的平行四边形法则可知则为的重心因此故答案为【点睛】本题考查向量的基底分解解题的关
解析：1133
a b +. 【解析】 【分析】
延长AG 交BC 于点D ，利用重心的性质得出2
3
AG AD =
以及中线向量 ()
1
2AD AB AC =
+可求出AG 的表达式. 【详解】 延长AG 交BC 于点D ，则点D 为线段BC 的中点，
由平面向量加法的平行四边形法则可知2AD AB AC a b =+=+，则11
22
AD a b =
+， G 为ABC ∆的重心，因此，221111
332233
AG AD a b a b ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭， 故答案为1
1
3
3
a b +
. 【点睛】
本题考查向量的基底分解，解题的关键就是三角形重心的性质和中线向量的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题 26． (1)
45
；
(2)2450
+-. 【解析】
【分析】 【详解】
试题分析：（1）先判断4
x π
-
的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出
sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44
x x ππ
=-+，最后由两角和的正弦公式进行计
算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍
角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(
,
)24x ππ
∈，所以(,)442
x π
ππ
-
∈，于是
sin()410
x π-==
sin sin[()]sin()cos cos()sin
4
44444x x x x ππ
ππππ
=-+
=-+-
410210
25
=+=
（2）因为3(
,
)24x ππ
∈，故3cos 5
x ===- 2247
sin 22sin cos ,cos 22cos 12525
x x x x x ==-
=-=-
所以中sin(2)sin 2cos
cos 2sin
3
3
3
x x x π
π
π
+
=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.
27．
（1）
1
4；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.
(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；
（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】
(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，
{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种
∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31
124
P =
= (2)物理成绩的平均分为76828285879093
857
x ++++++=
=物理
历史成绩的平均分为69768082949698857
x ++++++==历史 由茎叶图可知物理成绩的方差2
s <物理历史成绩的方差2
s 物理
故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707
x ==，85y =, 7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x
==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4a
y b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =
当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分
【点睛】
本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.
28． (Ⅰ)1cos 5θ=-
，sin tan cos θθθ==2325. 【解析】
试题分析：
(Ⅰ)结合角的范围和同角三角函数基本关系可得15cos θ=-
，sin tan cos θθθ== (Ⅱ)将原式整理变形，结合(Ⅰ)的结论可得其值为
2325. 试题解析： （Ⅰ）因为32ππθ<<
，所以0cos θ<， 由于221125cos sin θθ=-=，所以15cos θ=-，
所以sin tan cos θθθ
== （Ⅱ）原式()()sin cos sin cos θθθθ=-+⋅--. ()2
22224123252525sin cos sin cos θθθθ=--=-=-=. 29．
(1) 11sin 22S θ=
，()2sin 1cos S θθ=-；
(2) 12cos sin S S θθ+的最大值为12
，此时θ的值为3π. 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：解(1)根据三角函数的定义, 知,2,3,xOA xOB xOC θθθ∠=∠=∠= 所以xOA AOB BOC θ∠=∠=∠=, 所
()11111sin 3sin 222
S θθθ=⋅⋅⋅-=. 又因为12S S +=四边形OABC 的面积＝
1111sin 11sin sin 22θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=, 所以()21sin sin 2sin 1cos 2
S θθθθ=-
=-. (2)由(1)知()
12sin 1cos sin cos sin cos 11cos sin cos sin 4S S θθθθπθθθθθθθ-⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭.
因为03πθ<≤
, 所以4412πππθ-<-≤, 所以sin()sin 412ππθ<-≤=
所以12cos sin S S θθ+, 此时θ的值为3π. 考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质以及二倍角公式的运用，属于基础题．
30．
（1）3π；（2 【解析】
【分析】
（1）由辅助角公式得出sin 32
B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可得出角B 的值； （2）由余弦定理结合条件2b ac =，可得出a c =，由此可知AB
C ∆为等边三角形，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.
【详解】
（1）由sin B B =2sin 3B π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，sin B ∴=， 由()0,B π∈得4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故233B ππ+=，3B π∴=；
（2）由2b ac =， 由余弦定理得22222222co 2s
3cos a c b a c a ac c c a c a B π=+-⋅=+=--+⋅， 故22ac a c ac =+-，得()20a c -=，故ABC ∆为正三角形，1a c ∴==，
因此，ABC ∆的面积为211sin 122ABC S ac B ∆=
=⨯=. 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求角、以及余弦定理和三角形面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.。