江西省丰城中学、樟树中学、高安中学2011-2012学年高二上学期期末联考(数学理)

江西省 2013届高二年级期末三校联考理科数学试卷命题人：丰城中学 刘卫琴 审题人：丰城中学 熊海荣（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．()0,4B ．()0,2C ．()2,4-D ．()4,2-2．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每 天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查 所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作 业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ， 则球的表面积是（ ） Ａ．28cm π Ｂ．212cm πＣ．216cmπ Ｄ．220cm π4．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于（ ）A ．1322或 B ．23或2 C ．12或2 D ．2332或 5．一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于的地方的概率是（ ） A ．9π B 。

94 C 。

1-9π D 。

956．下列四个命题中，真命题的个数为 （ ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②任意事件A 发生的概率p （A ）总满足0<p （A ）<1； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件也一定是互斥事件； ④一枚硬币连掷三次，则出现两正一反的概率为41丰城中学樟树中学高安中学A ．0B ．1C ．2D ．37．已知两条不同直线a 、b ，两个平面,αβ，且α//β，a ⊥α，设命题p ：b //β；命题q ：a ⊥b ，则p 是q 成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．101 B ．21 C ． 103 D ．107 9．在正四面体P-ABC 中，M 为∆ABC 内（含边界）一动点，且到三个侧面PAB ，PBC ，PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分10．已知点P 是双曲线221169x y -=的右支上 一点，12F F 、分别为双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为A ．58B ．45C ．43D ．34第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有 。

（用“）”将a ，b ，c 从大到小排列） 12．下列程序是求一个函数的函数值的程序： INPUT xIF x<=0 THEN y=－xELSE IF x>0 AND x<=1 THEN y=0ELSE y=x －1 END IFEND IF PRINT yEND若执行的结果为3，则输入的x 值为 .13．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =，则=z y x ::_______________。

14．已知抛物线C ：24y x =，弦AB 的中点P 到y 轴的距离为2，则弦AB 的长的最大值为 。

15．给出以下命题：①命题“2,0x x ∀∈≥R ”的否定是“2,0x R x ∃∈ ”；②若,,∥n m n α⊂则∥m α；③设圆220x y Dx Ey F ++++=与坐标轴4个交点，分别为1(,0)A x ，2(,0)B x ，1(0,)C y ，2(0,)D y ，则12120x x y y -=；④“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件。

其中真命题是： （写出所有你认为正确的命题序号）三 。

本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知0c >，设x c y p =:在R 上单调递减，2:()ln(221)q g x cx x =-+的值域为R ，如果“p ⌝或q ⌝”为真命题，“p 或q ”也为真命题，求实数c 的取值范围。

17．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

（Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM ∥平面ABC ；18．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：（1） 求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.20．如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，,BC AB =M BC BB ABC ,2,601==︒=∠为BC 中点，点N 在1CC 上。

(1)试确定点N 的位置，使MN AB ⊥1；(2)当MN AB ⊥1时，求二面角N AB M --1的正切值。

21．设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2 ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

江西省 2013届高二年级期末三校联考丰城中学樟树中学高安中学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）（本大题共有5小题，每小题5分共25分．把答案填在题中横线上）11． 12． 13．14． 15.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答写在对应框内。

)21.解：理科数学参考答案：一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）（本大题共有5小题，每小题5分共25分．把答案填在题中横线上）11． a b c >> 12． -3或4 13． 2:3:(4)-14． 6 15. ①③三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答写在对应框内。

)16．解：,0>c 若p 为真，则 0〈c 〈1；若q 为真，则21,084≤∴≥-=∆c c …6分 又由已知，p 、q 一真一假，故所求的c 的取值范围为,1)21( 17、解：由题意知，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE ∥DC ，AE=2，DC=4， AB ⊥AC ，且AC=2。

（Ⅰ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACDE ∴四棱锥B —ACDE 的高2h AB ==，又梯形ACDE 的面积S=6 ∴143B ACDE V Sh -== …………6分 （Ⅱ）取BC 的中点G ，连结EM ，MG ，AG 。

∵M 为DB 的中点，∴MG ∥DC ，且MG=12DC ∴MG ∥AE ，且MG=AE ，所以，四边形AGME 为平行四边形，∴EM ∥AG 又EM ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴EM∥平面ABC ；…………12分 18．解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是[－12，12]． …………6分(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2.由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． …………12分19．解：（1）0.192000x= ∴ 380x = ………4分 （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名 …………8分 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个 事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个 ∴ 5()11P A =………12分 20．解：(1)连结M B AC AM 1、、 BC AB = ABC ABC ∆⇒︒=∠60为正△ …1分 BC AM ⊥⇒ MN AM ⊥⇒ ⇒⊥MN 面M AB 1M B MN 1⊥⇒3分 面⊥ABCD 面11B BCC MN AB ⊥1⇒212111=⇒==⇒∠=∠NC BB BM MC NC NMC M BB 即点N 的位置在线段1CC 的四等分点且靠近C 处 ………………………………………6分 (2)过M 作1AB ME ⊥于E ，连NE由(1)知⊥MN 面11AB NE M AB ⊥⇒(三垂线定理) ∴MEN ∠为二面角N AB M --1的平面角……9分2522=+=CN MC MN 3=AM 51=M B 221=AB在M AB Rt 1∆中，43011=⋅=AB M B AM ME在MEN Rt ∆中，36tan ==∠ME MN MEN …………12分 21．解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b +=（a,b>0）过M （2，,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += …………5分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y k x m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使O A O B ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆22184x y+=的两个交点为或(满足OA OB⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥.因为12221224122812kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,所以22222212121222224288(84) ()()4()41212(12)km m k m x x x x x xk k k--+ -=+-=--⨯=+++,||AB=====①当0k≠时||AB=因为221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以2232321[1]1213344kk<+≤++,||AB<≤当且仅当2k=±时取”=”.②当0k=时,||AB=.③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或(,所以此时||AB=综上, |AB |||AB≤≤即: ||AB∈。