高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同

课时分层训练(十八)同角三角函数的基本关系与诱导公式
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，则tan α等于( ) 【导学号：31222109】
A ．－
2
4
B.
2
4
C ．－2 2
D ．2 2
C [∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2
α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝－232，
∴tan α＝sin α
cos α
＝－2 2.]
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ等于( )
A ．－π6
B ．－π3
C.π6
D.π3
D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3.]
3.
cos 350°－2sin 160°
sin －190°
＝( )
A ．－ 3
B ．－32
C.32
D. 3
D [原式＝
cos
360°－10°－2sin 180°－20°
－sin 180°＋10°
＝
cos 10°－2sin 30°－10°
－－sin 10°
＝
cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°sin 10°
＝ 3.]
4．(2016·山东实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ
的值为( )
A.2
3
B ．－
23
C.13
D ．－1
3
B [∵sin θ＋cos θ＝4
3，
∴1＋2sin θcos θ＝16
9
，
∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π
4，
故sin θ－cos θ＝－sin θ－cos θ2
＝
－1－2sin θcos θ＝－
2
3
，故选B.] 5．(2016·浙江杭州五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则2
3sin 2θ－cos 2
θ
＝( ) A.103 B ．－103
C.1013
D ．－1013
C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为1
3，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ
＝－3，
∴23sin 2θ－cos 2θ＝2sin 2
θ＋cos 2
θ
3sin 2θ－cos 2
θ
＝2tan 2
θ＋13tan 2
θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[－32
＋1]3×－32
－1＝10
13
.故选C.] 二、填空题
6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α＝________. 【导学号：31222110】
13 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1
3
.]
7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5，则tan α＝________.
－43
[由⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，
消去cos α整理，得 25sin 2
α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－3
5.
因为α是三角形的内角， 所以sin α＝4
5
.
又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－3
5，
所以tan α＝－4
3
.]
8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α·
1＋
1
tan 2
α
＝________. 【导学号：31222111】
0 [原式＝cos α1＋sin 2
α
cos 2α
＋sin α1＋cos 2
αsin 2α
＝cos α1
cos 2
α
＋sin α1
sin 2
α
＝cos α⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－cos α＋sin α1sin α
＝0.] 三、解答题
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. [解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°3分
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°6分 ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°9分
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－
32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＋12×1
2＋1＝2.12分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2＋α，求下列各式的值：
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2
α＋sin 2α.
[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分 (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1
6.7分
(2)原式＝sin 2
α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α ＝sin 2
α＋sin 2αsin 2α＋14
sin 2
α
＝85.12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．已知tan x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝( )
A.－1±5
2 B.3＋1
2 C.
5－1
2
D.
3－1
2
C [因为tan x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2
x ＋sin x
－1＝0，解得sin x ＝－1±5
2
，
因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝
5－1
2
.] 2．sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
89°＝________.
【导学号：31222112】
44．5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2
α＋sin 2
β＝sin 2
α＋cos 2
α＝1，
设S ＝sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
89°， 则S ＝sin 2
89°＋sin 2
88°＋sin 2
87°＋…＋sin 2
1° 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.]
3．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝
⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin －π－α.
(1)化简 f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．
[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·ta n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·sin α
＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·sin α
＝－cos α.5分
(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－1
5
，7分
又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－265，
故f (α)＝26
5.12分。