河北省安平中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

安平中学2016-2017年度第一学期期末
高二数学（理科)试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}|(3)0B x x x =-<,则A B =( )
A ．{}0,1,2,3
B ．{}0,1,2
C ．{}1,2
D ．{}1,2,3
2。

设R b a ∈,,则“()02
<-a
b a "是“b a <"的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 命题“*
N n ∈∀，()n n f ≤"的否定形式是（ ）
A ．*
N n ∈∀，()n n f > B ．*
N n ∉∀，()n n f >
C ．*
N n ∈∃，()n n f > D ．*
N n ∉∃,()n n f >
4。

已知双曲线方程为错误!－错误!＝1,那么它的半焦距是( ） A ．5 B ．2.5
C ．错误!
D ．错误!
5。

设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为4,则｜PF |等于（ ） A ．8 B ．6
C ．4
D ．2
6。

已知a ＝（λ＋1，0，2），b ＝（6,2μ－1,2λ），若a ∥b ，则λ与μ
的值可以是（）
A．2，错误!B．－错误!，错误!
C．－3，2 D．2,2
7。

已知A（－1,1，2）、B（1，0，－1），设D在直线AB上，且错误!＝2错误!，设C(λ，错误!＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB,则λ的值为( ）A。

错误!B．－错误!
C。

错误! D.错误!
8。

已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝错误!＋错误!的最小值是（）
A。

错误!B．4
C。

错误!D．5
9。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心，若错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!，则x－y等于( )
A．0 B．1
C．错误!D．－错误!
10。

已知动圆P过定点A（－3，0），并且与定圆B：（x－3）2＋y2＝64内切,则动圆的圆心P的轨迹是（）
A．线段B．直线
C．圆D．椭圆
11。

已知P是抛物线y2＝2x上动点,A错误!，若点P到y轴的距离为
d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是 （ ）
A ．4
B ． 9
2
C ．5
D ． 错误! 12。

设2
1
F F 、分别为椭圆
22
122:1(0)
x y C a b a b
+=>>与双曲线
22
2112211
:1(0,0)
x y C a b a b -=>>的
公共焦点,它们在第一象限内交于点M ，︒=∠902
1
MF
F ,若椭圆的离心率
3=
4
e ，则双曲线2
C 的离心率1e 的取值为( )
A ．92
B ．3
22
C ．32
D ．54
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13。

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点,则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是
__________．
14.
已知变量,x y 满足约束条件2
11y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
,则3z x y =+的最大值为。

15. 已知E 、F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是 。

16。

若双曲线的一条渐近线方程为x y 2=
,则其离心率为。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说
明，证明过程或演算步骤).
17.（本小题满分10分)
若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x｜1＜x＜2}．
(1)试求a、b的值；
（2)求不等式ax＋1
bx－1＞0的解集．
18。

（本小题满分12分)
命题p:关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x）＝log a x在(0，＋∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线过点P(－3错误!，4），它的渐近线方程为y＝±错误!x。

(1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且｜PF1|·｜PF2｜＝41，求∠F1PF2的余弦值．
20。

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE ＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2．
（1)证明：AC⊥平面BCDE;
(2）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
21。

（本小题满分12分）
已知中心在原点的椭圆C的左焦点()0,3-F，右顶点()0,2A。

（1）求椭圆C的标准方程；
1的直线l与椭圆C交于两点B A,，求弦长AB的最大值（2)若斜率为
2
及此时l的直线方程。

22.(本小题满分12分）
设F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N。

（1）若直线MN的斜率为错误!，求C的离心率；
（2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN｜＝5｜F1N|，求a，b.
高二数学理科答案
1。

C2. A3。

C4.A[解析］∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝25,∴c＝5。

5。

B［解析] 抛物线准线l：x＝－2，P到l距离d＝4－（－2)＝6，
∴|PF|＝6。

6。

A［解析］∵a∥b，∴存在实数k，使b＝ka,即（6，2μ－1，2λ）
＝(kλ＋k,0，2k）,
∴错误!∴错误!或错误!故选A．
7. [答案］B[解析］设D（x，y,z），则错误!＝（x＋1,y－1，z－2)，
错误!＝(2，－1，－3),错误!＝(1－x，－y，－1－z），∵错误!＝2错误!，∴错误!，∴错误!.
∴D(错误!，错误!，0)，错误!＝(错误!－λ，－λ，－1－λ），∵错误!⊥错误!,∴
错误!·错误!＝2（错误!－λ)＋λ－3（－1－λ)＝0，∴λ＝－错误!.
8。

C 解析依题意，得错误!＋错误!＝错误!错误!·（a＋b)＝错误!［5＋（错误!
＋错误!)］≥错误!(5＋2错误!)＝错误!,当且仅当错误!即a＝错误!，b＝错误!时取等
号，即错误!＋错误!的最小值是错误!。

9. ［答案] A
［解析] 如图所示,错误!＝错误!＋错误!，
∴错误!＝x错误!＋y错误!，∴错误!错误!＝x错误!＋y错误!，
∵错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
错误!
＝错误!，∴x ＝y ＝错误!，x －y ＝0．
10．D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心
P 到两点,即定点A (－3，0）和定圆的圆心B (3,0）的距离之和恰好等
于定圆半径,即｜PA |＋｜PB |＝｜PM ｜＋|PB |＝|BM |＝8。

∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D ．
11。

B
解析 因为点P 在抛物线上，所以d 1＝|PF |－错误!(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝|PF ｜＋|PA |－错误!≥|AF ｜－错误!＝错误!－错误!＝5－错误!＝错误!，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号，故选B 。

12. B
试题分析:由椭圆与双曲线的定理，可知1
21212,2MF
MF a MF MF a +=-=,所以
11MF a a =+，21MF a a =-，因为︒=∠9021MF F ，所以2
2
2124MF MF c +=，即22212a a c +=，即2
21
11
()
()2e
e +=，因为34a =，所以1322e =
B ．
13. 错误!
［解析］ 如图,建立空间直角坐标系，则A （4,0，0），C
（0，4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4，2），错误!＝（－4，4，0）,错误!＝(0,4，－
2）．
cos<错误!，错误!〉＝错误!＝错误!．∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为错误!．
14。

11
15。

错误!解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（1，0,0),E错误!，F错误!，D1（0，0，1），
所以错误!＝（－1，0，1），错误!＝错误!。

设平面AEFD1的法向量为n ＝（x,y，z），
则错误!⇒错误!∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1,2），而平面ABCD 的一个法向量为u＝（0,0，1)，∵cos〈n，u>＝错误!，∴sin<n，u〉＝错误!.
6或3
16.
2
17。

解：(1）∵不等式ax2＋bx－1＞0的解集是｛x｜1＜x＜2｝．∴a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，由韦达定理可
得错误!
于是得错误!
(2)由（1）得不等式错误!＞0即为错误!＞0，∴错误!错误!＞0，
因此(x－2）错误!＜0，解得错误!＜x＜2。

即原不等式的解集是错误!.
18. [解析] ∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，
∴△＝a2－8<0，
∴－2错误!〈a<2错误!，
∴p:－2错误!<a〈2错误!.
∵函数f（x）＝log a x在（0，＋∞)上单调递增，∴a〉1。

∴q：a>1.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．
当p真q假时,－2错误!<a≤1，
当p假q真时，a≥2错误!。

综上可知，实数a的取值范围为（－2错误!，1]∪［2错误!，＋∞）．19。

［解析］（1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3错误!的点P′的纵坐标的绝对值为4错误!.∵4错误!〉4,∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为错误!－错误!＝1.
∵双曲线过点P(－3错误!,4)，∴错误!－错误!＝1又∵错误!＝错误!
②,
由①②，得a2＝9，b2＝16,∴所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1。

(2)设｜PF1|＝d1，|PF2｜＝d2，则d1·d2＝41。

又由双曲线的几何性质知|d1－d2|＝2a＝6。

由余弦定理得cos∠F1PF2＝错误!＝错误!＝错误!.
20。

［解析］(1)取CD中点G，连结BG．
∵∠CDE＝∠BED＝90°,∴BE∥CD．
又CD＝2，BE＝1，
∵BE綊DG，∴四边形DEBG为矩形，∴BG＝DE＝1,∠BGC ＝90°
又GC＝错误!CD＝1，∴BC＝错误!．又AC＝错误!，AB＝2，
∴AB2＝AC2＋BC2,即AC⊥BC．又∵平面ABC⊥平面BCDE且交线为BC，
AC⊂平面ABC,∴AC⊥平面BCDE．
（2)解法1：过点E作EF⊥BC交BC延长线于F，由(1)知EF ⊥AC,AC∩BC＝C，
∴EF⊥平面ABC,连结AF，则∠EAF即为AE与平面ABC所成的角．
由已知得∠GBC＝45°,∴∠EBF＝45°∴BF＝EF,又BE＝1
∴BF＝EF＝错误!，在Rt△AFC中，AC＝错误!，CF＝BC＋BF＝错误!＋错误!＝错误!，
∴AF＝错误!＝错误!,∴tan∠EAF＝错误!＝错误!＝错误!，
∴直线AE与平面ABC所成角的正切值为错误!．
解法2：过C作DE的平行线CG，以C为原点,CD、CG、CA 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
则C（0,0，0），A(0，0，错误!)，B(1，1,0），E(2，1,0），
∴错误!＝（2,1，－错误!)，错误!＝(1，1,－错误!)，错误!＝(0，0，错误!），
设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ),则 错误!∴错误!令x ＝1得n ＝(1,－1，0）． 设AE 与平面ABC 所成的角为α，则 sin α＝cos 〈n ,错误!>＝错误!＝错误!，∴tan α＝错误!．
（2）设直线l 的方程为b x y +=21，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=14
2122y x b x y 可得022222=-++b bx x ， l 与椭圆C 交于B A ,两点，()()0482242222≥-=--=∆∴b b b ,即22≤b ，……6分
设()11,y x A ，()22,y x B ,则⎩⎨⎧-=-=+2
2222121b x x b x x , ∴弦长()221221*********b x x x x k x x k AB -=-++=-+=，……8分 202≤≤b ，10102≤-=∴b AB ，
∴当0=b 即l 的直线方程为x y 21=时，弦长AB 的最大值为10…………12分.
22. 解 (1)根据c ＝错误!及题设知M 错误!，2b 2＝3ac 。

将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得错误!＝错误!或错误!＝－2（舍去）．故C 的离心率为错误!.
（2）由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2）是线段MF 1的中点，故错误!＝4，即b 2＝4a . ①
由|MN|＝5|F1N|,得|DF1｜＝2｜F1N|。

设N（x1,y1)，由题意知y1＜0，则
错误!即错误!
代入C的方程，得错误!＋错误!＝1. ②将①及c＝错误!代入②得错误!＋错误!＝1.
解得a＝7,b2＝4a＝28,
故a＝7，b＝2 错误!。