会东县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

会东县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知双曲线：（，），以双曲线的一个顶点为圆心，为半径的圆
C 22
221x y a b
-=0a >0b >C 被双曲线截得劣弧长为，则双曲线的离心率为（ ）C 23
a π
C
A ．
B
C
D 6
5
2． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）
P （K 2＞k ）
0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0.4550.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.87910.828
A ．25%
B ．75%
C ．2.5%
D ．97.5%
3． 已知函数，其中，对任意的都成立，在12
2
()32f x x ax a =+-(0,3]a ∈()0f x ≤[]1,1x ∈-和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）
T T =A ．
B ．
C ．
D ．2015
2
2015
3
20152
3
20152
2
4． 已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣2
5． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ）A ． =1.23x+4B ． =1.23x ﹣0.08
C ． =1.23x+0.8
D ． =1.23x+0.08
6． 在区间上恒正，则的取值范围为（
）
()()2
2f x a
x a =-+[]0,1
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不对
0a >0a <<
02a <<7． 在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若
ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）
2015120aBC bCA cAB ++=
H AB A ．2 B ．3
C.1 D ．4
8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A ．12π+15
B ．13π+12
C ．18π+12
D ．21π+15
9． 函数f （x ）=，则f （﹣1）的值为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（ ）
A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
11．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
P ABC -A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
二、填空题
13．已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为
．14．log 3
+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．
15．已知向量若，则（ ）
(1,),(1,1),a x b x ==- (2)a b a -⊥ |2|a b -=
A ．
B ．
C ．2
D 23【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
16．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从点O到点A3的回形线为第1圈（长为7），从点A3到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
17．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ．
18．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；
②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i，j）有4种不同取值；
④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值；
⑤M中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题
19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．
20．已知函数f（x）=cos（ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为；
（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．
21．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=
成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
22．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
23．已知函数f （x ）=
（Ⅰ）求函数f （x ）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （A ）的取值范围．　
24．（本小题满分13分）
椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点
C 22
221(0)x y a b a b
+=>>1F 2F :1l x my =-1F C ，点在轴的上方．当时，
M M x 0m =1||MF =（Ⅰ）求椭圆的方程；
C （Ⅱ）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程．
N C x 12//MF NF 12
12
3MF F NF F S S ∆∆=l
会东县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】
B
考点：双曲线的性质．2． 【答案】D
【解析】解：∵k ＞5、024，
而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D ．
【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．　
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得
2
2
()32f x x ax a =+-()0f x ≤[]1,1x ∈-()()10
10
f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等
3a ≥1a ≤-(0,3]a ∈3a =122015,...a a a 2015
比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，
T 122015...a a a =A 201521...T a a a =A ()
()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，故选C.
T =2015
2
3
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.4． 【答案】D
【解析】【分析】由题意可得圆心C 1和圆心C 2，设直线l 方程为y=kx+b ，由对称性可得k 和b 的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，
∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y=kx+b ，
∴
•k=﹣1且
=k •
+b ，
解得k=1，b=2，故直线方程为x ﹣y=﹣2，故选：D ．5． 【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a ∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D ．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．　
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩02a <<考点：函数的单调性的应用.7． 【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底
OA OB BA -= 2OA OB OD +=
D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
,AB AC
何意义等.8． 【答案】C
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴圆锥的母线长为5，
∴几何体的表面积S=×π×42+×π×4×5+×8×3=18π+12．故选：C ．　
9． 【答案】A
【解析】解：由题意可得f （﹣1）=f （﹣1+3）=f （2）=log 22=1故选：A
【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．　
10．【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，∴3a 2=﹣24，3a 11=78，解得a 2=﹣8，a 11=26，
∴此数列前12项和=
=6×18=108，故选B ．
【点评】本题考查了等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．　
11．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．　
12．【答案】B 【解析】
试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选P ABC PA BC PC AB PB AC B ．
考点：异面直线的判定．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由题意f 1（x ）=f （x ）=
．
f 2（x ）=f （f 1（x ））=，
f 3（x ）=f （f 2（x ））==，
…
f n+1（x ）=f （f n （x ））=，
故f 2015（x ）=故答案为：．
14．【答案】 ．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
15．【答案】A
【解析】
16．【答案】　63　．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7
第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23
…
第n圈长为：n+（2n﹣1）+2n+2n+n=8n﹣1
故n=8时，第8圈的长为63，
故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
17．【答案】　[﹣1，3]　．
【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
18．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
即a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由已知得，．
∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，
∴ω=2，f（x）=cos（2x+）．
令2x+=kπ，求得x=﹣，可得对称轴方程为x=﹣，k∈Z．
令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，
可得函数的增区间为，k∈Z．
（2）当2x+=2kπ，即x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）取得最大值为1．
当2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．
∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．
21．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]====
==，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B ＜π，∴B=
．
∴可得0＜A ＜，∴＜+
＜
，∴
sin （+
）＜1，
故函数f （A ）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．　
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由直线经过点得，
:1l x my =-1F 1c =当时，直线与轴垂直，
0m =l x 21||b MF a ==由解得
的方程为． （4分）21
c b a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨
=⎪⎩C 2212x y +=（Ⅱ）设，，由知.
1122(,),(,)M x y N x y 120,0y y >>12//MF NF 121211
22
||3||MF F NF F S MF y S NF y ∆∆==
=联立方程，消去得，解得22
1
1
2x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x
22
(2)210m y my +--=
y =∴，同样可求得， （11分）
1y =
2y =由得，解得，1
23y y =123y y =3=1m =直线的方程为． （13分）
l 10x y -+=。