高考数学二轮专题突破高效精练 第31讲 圆锥曲线与方程、导数及其应用、推理与证明

第31讲 圆锥曲线与方程、导数及其应用、推理与证明
1. 已知抛物线C 1：y 2＝x ＋1和抛物线C 2：y 2
＝－x －a 在交点处的两条切线互相垂直，求实数a 的值．
解：因为图形关于x 轴对称，所以不妨设y ＞0，
则由y ＝x ＋1，得y′＝12x ＋1
， 同理由y ＝－x －a ，得y′＝－12－x －a
. 设交点为(x 0，y 0)，则12x 0＋1·－12－x 0－a
＝－1. 解得(x 0＋1)(－x 0－a)＝116
. ① 又由⎩
⎪⎨⎪⎧y 20＝x 0＋1，y 20＝－x 0－a ，解得x 0＝－a －12，y 20＝1－a 2. ② 由①②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22＝116
. 因为y 20＝1－a 2
＞0， 所以1－a 2＝14，得a ＝12
. 2. 已知动圆Q 与x 轴相切，且过点A(0，2)．
(1) 求动圆圆心Q 的轨迹M 的方程；
(2) 设B 、C 为曲线M 上两点，已知P(2，2)且PB⊥BC，求点C 横坐标的取值范围．
解：(1) 设P(x ，y)为轨迹上任一点，则|y|＝x 2＋（y －2）2≠0，化简得y ＝14
x 2＋1为所求的轨迹方程．
(2) 设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21＋1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22＋1.∵ PB →·BC →＝0，∴ x 2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋16x 1＋2，∴ x 2≥10或x 2≤－6.
3. 已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n 1＋a n
(n∈N *)．用数学归纳法证明：a n <a n ＋1(n∈N *
)．
证明：当n ＝1时，a 2＝1＋a 11＋a 1＝32
，a 1<a 2， 所以n ＝1时，不等式成立；
假设当n ＝k(k∈N *)时，a k <a k ＋1成立，显然a k >0.
则当n ＝k ＋1时，
a k ＋2－a k ＋1＝1＋a k ＋11＋a k ＋1－a k ＋1＝1＋a k ＋11＋a k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a k 1＋a k ＝a k ＋1－a k （1＋a k ）（1＋a k ＋1）
>0， 所以n ＝k ＋1时，不等式成立．
综上所述，不等式a n <a n ＋1(n∈N *)成立．
4. (1) 当k∈N *时，求证：(1＋3)k ＋(1－3)k 是正整数；
(2) 试证明大于(1＋3)2n 的最小整数能被2n ＋1整除(n∈N *)．
证明：(1) (1＋3)k ＋(1－3)k ＝2[1＋C 2k (3)2＋C 4k ·(3)4＋…]，∵ 3的偶数次幂均
为正整数，∴ (1＋3)k ＋(1－3)k 是正整数．
(2) ∵ 0＜(1－3)2n ＜1，由(1)知(1＋3)2n ＋(1－3)2n 为正整数，∴ 大于(1＋3)
2n 的最小整数为(1＋3)2n ＋(1－3)2n ，(1＋3)2n ＋(1－3)2n ＝2n [(2＋3)n ＋(2－3)n ]．由
二项式定理可知(2＋3)n ＋(2－3)n 是一偶数，∴ 大于(1＋3)2n 的最小整数能被2n ＋1
整除
(n∈N *)．
5. 已知数列{a n }满足a 1＝23
，a n ＋1·(1＋a n )＝1. (1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；
(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝ ⎛⎭
⎪⎫25n －1
(其中n∈N *)的大小关系，并证明你的猜想． 解：(1) 由已知计算得a 2＝35，a 3＝58，a 4＝813，a 5＝1321
. (2) 由(1)得|a 2－a 1|＝115，|a 3－a 2|＝140，|a 4－a 3|＝1104，|a 5－a 4|＝1273
， 而n 分别取1、2、3、4时，115⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1分别为115、275、4375、81 875
， 故猜想|a n ＋1－a n |≤115⎝ ⎛⎭
⎪⎫25n －1
. 下面用数学归纳法证明以上猜想：
① 当n ＝1时，已证；
② 当n ＝k≥1时，
假设|a k ＋1－a k |≤115⎝ ⎛⎭
⎪⎫25k －1
对n∈N *结论成立； 由a 1＝23，a n ＋1＝11＋a n
，得a n >0， ∴ 0<a n ＋1＝11＋a n <1，且0<a 1＝23
<1， ∴ 0<a n <1，∴ 12<a n ＋1＝11＋a n <1，且12<a 1＝23<1，∴ 12
<a n <1. 则当n ＝k ＋1时，
∵ (1＋a k ＋1)(1＋a k )＝(1＋11＋a k
)(1＋a k ) ＝2＋a k >2＋12＝52
， ∴ |a k ＋2－a k ＋1|＝|11＋a k ＋1－11＋a k
| ＝|a k ＋1－a k |（1＋a k ＋1）（1＋a k ）≤115（25）k －1（1＋a k ＋1）（1＋a k ）
≤115⎝ ⎛⎭⎪⎫25k －125＝115⎝ ⎛⎭
⎪⎫25k
. ∴ 当n ＝k ＋1≥1时，结论成立．
由①和②知，以上猜想成立．
6. 设数列{a n }共有n(n≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i≤n－1，i ∈N )，均
有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；
(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．
解：(1) 当n ＝3时，a 1＝a 3＝1.
因为a 2a 1∈{12，1，2}，a 3a 2∈{12
，1，2}，
即a 2∈{12，1，2}，1
a 2∈{12
，1，2}，
所以a 2＝12或a 2＝1或a 2＝2.
故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1，12，1；1，1，1；1，2，1.
(2) 令b i ＝a i ＋1
a i
(1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：
b 1·b 2·b 3·…·b i ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a i ＋1a i ＝a 8a 1
＝1，
且b i ∈{12，1，2}(1≤i≤7)．
反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }． 记符合条件的数列{b n }的个数为N. 显然，b i (1≤i≤7)中有k 个2；从而有k 个1
2，7－2k 个1.
当k 给定时，{b n }的取法有C k 7C k
7－k 种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，
故N ＝1＋C 17C 16＋C 27C 25＋C 37C 3
4＝393.
因此，符合条件的数列{a n }的个数为393.。