八年级数学第15讲.代数综合.提高班.解析版

整式乘法部分：
一、幂的运算：整数指数幂运算性质
1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)
2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)
3. ()n
n n
ab a b =(n 是正整数)
4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )
5. 01a =，1
p p
a a -=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式
1. 完全平方公式：()2
222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型
思路导航
15
名校期末试题点拨——代数部分
题型一：整式乘除与因式分解
1. 基本运算
2. 化简求值
3. 整体法
4. 消元法
5. 降次法
因式分解部分： 一、知识结构
因式分解
提公因式法
乘法分配律的逆用 公式法
完全平方公式
()2
222+=a ab b a b ±±
平方差公式
()()22a b a b a b -=+-
十字相乘法
分解某些二次三项式 分组分解法
分组后能提公因式
分组后能运用公式
二、注意事项：
1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

例如
()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成
()()11x x +-；
2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。

三、因式分解的一般步骤：
可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；
2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；
3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；
4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。

【例1】 ⑴已知对于整式(3)(1),(1)(5)A x x B x x =--=+-，如果其中x 取值相同
时，整式A 与B 的关系为（ ） A ．A B = B.A B > C. A B < D. 不确定
（海淀期末）
⑵已知a ，b ，c 满足8,a b -=2160ab c ++=，求代数式2a b c ++的值．
（海淀期末）
【解析】 ⑴ B
⑵ ∵8a b -=，∴8a b =+ 又
2160ab c ++=,
∴()28160b b c +++=.
即22(4)0b c ++=. 2
2
(4)00b c +，≥≥, 40b c =-=，.
∴4a =， 24a b c ++=.
【例2】 ⑴如果整数x 、y 、z 满足151627168910x
y z
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⋅⋅= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，求代数式2x y z y +-的值．
⑵已知()2
2210x y x y +--+=，则()
999
x y +的值是_______；
⑶已知231x x -=，则多项式3231132x x x -++的值等于______________；
【解析】 ⑴原式可化为：132163516168235y z x x
x z y z
-+⋅⋅⨯=⨯，∴42x y =，x z =，∴x =1，y =2，
典题精练
z =1，所求式=－4
⑵原式化为：()2
10x y +-=，∴所求式得1； ⑶逐步降次法，得0．
【例3】 ⑴因式分解：①
213
184
m m -+ ② ()()413p p p -++ （四中期末复习）
⑵如果()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值为 ． ⑶若2425x kx ++是完全平方公式，则k = ． ⑷已知a 、b 、c 满足7a b c -+=，2160ab bc b c ++++=，求b
a
的值．
【解析】 ⑴①
()()1
248
m m -- ② ()()22p p +- ⑵4±；⑶20±；
⑷将2160ab bc b c ++++=化为()21160b a c c ++++=，由已知得
7a c b +=+，代入得()271160b b c ++++=，即()2
240b c ++=，
∴4,0,3b c a =-==，∴
43
b a =-
一、分式的概念
1. 分式的基本概念：类比分数学分式
2. 分式有意义的条件：分母不为0 二、分式的基本性质及运算法则
思路导航
题型二：分式与分式方程
1.
A A C
B B
C ⋅=
⋅ A A C
B B C
÷=÷ (0)C ≠ 其中A 、B 、C 是整式 2. 分式乘法法则：a c a c b d b d
⋅⋅=⋅
3. 分式除法法则：
a c a d a d
b d b
c b c
⋅÷=⋅=
⋅ 4. 分式的乘方：n
n
n a a
b b
⎛⎫= ⎪⎝⎭
5. 分式的加减：a b a b c c c
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
++=++=+=
三、分式的化简求值及技巧
1. 通分：求最简公分母
2. 引入参数
3. 整体思想
4. 取倒数或利用倒数关系
5. 分离常数 四、分式方程及应用
1. 注意：需检验
2. 产生增根的条件
【例4】 ⑴若2=n m ，则=-+n
m n
m 3 .
⑵当x = 时，分式21
1
x x -+的值为零． （东城期末）
⑶先化简，再求值：
2222221x xy y y x y
x y xy y ⎛⎫⎛⎫
-++÷ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，其中53x =+，53y =- 典题精练
（十二中期末）
⑷解分式方程：112
62213x x
=-
--． （东城期末）
【解析】 ⑴ 5 ；⑵ 1 ； ⑶ 化简结果为xy ，值为2；
⑷2
3
x =-，经检验是原方程的解．
【例5】 ⑴已知:2:3:0.5x y z ==，则32x y z
x y z
+--+的值是（ ）
A ．
17 B ．7 C ．3 D ．13
⑵分式226121022
x x x x ++++可取的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．不存在
【解析】 ⑴设:2:3:0.5x y z m ===，则2x m =3y m =，0.5z m =代入32x y z
x y z
+--+中
得：
290.57430.5m m m
m m m
+-=-+，故选B
⑵将分式2261210
22x x x x ++++分离常数得()2
2611
x -++，∴当x =－1时分式能够取到最小值4，故选A
【例6 我们知道，假分数可以化为带分数．例如：
822
22333
=+=．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数
时，我们称之为“真分式”．例如：1
1
x x -+，21x x -这样的分式就是假
分式；31
x +，221x
x +这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可
以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：()1212
1111
x x x x x +--==-
+++； ()()22111111
11111
x x x x x x x x x +-+-+===++
---- ⑴将分式1
2
x x -+化为带分式；
⑵若分式
21
1
x x -+的值为整数，求x 的整数值； ⑶求函数y ＝221
1
x x -+图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标．
（2013海淀期末）
【解析】 ⑴()2313
1222x x x x x +--==-
+++ ⑵()2132132111
x x x x x +--==-
+++ ∵当211x x -+为整数时，31
x +也为整数，
∴x +1可取得的整数值为±1、±3，
∴x 的可能整数值为0，-2，2，-4；
⑶()()2
2211211
21111
x x y x x x x -+-===-++++， 当x ，y 均为整数时，必有x +1=±1， 解得x =0或-2，
则相应的y 值分别为-1或-7，
故所求的坐标为（0，-1）或（-2，-7）．
①0(0)a a ≥≥
②2
()(0)a a a =≥
③（必考）2a a a a ⎧==⎨-⎩()
()
00a a <≥
乘法
与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥ 除法
与商的算术平方根可互相转化：(0,0)a a
a b b b
=>≥
最简二次根式
思路导航
题型二：二次根式
①被开方数不含分母
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 同类二次根式
被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法
先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算
有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用 乘法公式的推广： ⑴12312312(0,0,,0)n n n a a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅L L L ≥≥≥
⑵()
2
2a b a b ab ±=+± ⑶
(
)()
a b
a b a b +-=-
【例7】 ⑴ 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A ．4
B ．5
C ． 12
D ．
12
(东城期末)
⑵ 若二次根式3a b a +与2a b +是同类二次根式，则ab 的值为 ． ⑶在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．2x ≠
B ．2x >
C ．2x ≥
D ．2x ≤
(西城期末)
典题精练
32
28________
(53)(53)
=-+
（西城期
末）
【解析】 ⑴ B ；⑵1；⑶ C ；⑷42+
训练1. ⑴先化简，再求值：
()()222244x y x y x y xy ⎡⎤+--+÷⎣⎦
，其中()0
2x =
，2y =．
⑵已知：15141231⨯+⨯+=a ，25242232⨯+⨯+=a ，
35343233⨯+⨯+=a ，……
2002
5200242002232002⨯+⨯+=a ，
20035200342003232003⨯+⨯+=a ．
①对于正整数n ，写出2010a 和n a 一般式．
②对于正整数n ，比较n a 与2)2(+n n 的大小． 【解析】 ⑴ 化简结果为1xy +，值为3
⑵ 32201020104201052010a =++××， 3245n a n n n =++
()2
32452n n n n n n ++-+=，又1n ≥， ∴()2
2n a n n >+
训练2. 将下列各式分解因式
（1）()()2
1449a b a b +-++ （2）3312x y xy -
（3）2246x x -- （4）()()236x x +--
【解析】（1）()2
7a b +-；（2）()()322xy x x +-；（3）()()231x x -+；（4）()()43x x -+；
训练3. ⑴方程()2
41225x -=的解为______________.
⑵已知整数m 满足381m m <<+，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【解析】 ⑴72
x =-或4x =；⑵ C ．
训练4. 某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书
包和文具盒），捐 赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x 名同学购买书包，全年级共购买了y 件学习用品． ⑴ 求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； ⑵ 若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件
思维拓展训练(选讲)
数最多？学习用品最多能买多少件？（西城期末）
【解析】⑴
()
300
150
623
x
x x
y
-
=+=-，∴150
3
x
y=-
⑵
300
500
54122300
2
62166180
3
3
180
15090
3
x x
x
x
x
x
-
⎧
⨯+⨯>⎧
⎪>
⎪⎪
⇒⇒<
⎨⎨
⎪⎪
-⎩
⎪⎩
≤
≤
≥
168
x=时，94
y=，取得最大，且为整数，所以应该有168名学生买书包，132名学生买文具盒，最多可以买94件．
第十五种品格：创新
揭开天体的层层面纱
长期以来，古希腊天文学家托勒玫的“地心体系”的理论统治着人们的头脑，托勒玫认为地球居于中央不动，日、月、行星和恒星都环绕地球运行。

后来，哥白尼推翻了托勒玫的理论。

哥白尼在《天体运行论》中阐明了日心说，告诉我们：太阳是宇宙的中心，地球围绕太阳旋转。

而后，布鲁诺接受并发展了哥白尼的日心说，认为宇宙是无限的，太阳系只是无限宇宙中的一个天体系统。

伽利略通过望远镜观察天体，发现：日球表面凹凸不平，木星有四个卫星，太阳有黑子，银河由无数恒星组成，金星、水星都有盈亏现象等。

不久，开普勒分析第谷·布拉赫的观察资料，发现行星沿椭圆轨道运行，并提出行星三大运动定律，为牛顿发现万有引力定律打下了基础……因此可以这样说：科学是不断发现的过程，真理是不断创新的过程。

＜创新小结＞
如果说，在创新尚属于人类个体或群体中的个别杰出表现时，人们循规蹈矩的生存姿态尚可为时代所容，那么，在创新将成为人类赖以进行生存竞争的不可或缺的素质时，依然采用一种循规蹈矩的生存姿态，则无异于一种自我溃败。

今天我学到了。