2020届江苏省徐州市高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届江苏省徐州市高三上学期期中数学试题
一、填空题
1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}
24B x x =<<，则A B =__________.
【答案】{}3
【解析】根据交集的概念进行运算即可. 【详解】
因为{}1,2,3,4A =，{}
24B x x =<<, 所以A
B {3}=.
故答案为:{}3. 【点睛】
本题考查了交集的运算,属于基础题.
2．若复数z 满足1z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为__________.
【解析】在1z i i ⋅=+两边取模,计算可得到. 【详解】 因为1z i i ⋅=+, 所以|||1|z i i ⋅=+, 所以|||||1|z i i ⋅=+,
所以||z ==
故答案为. 【点睛】
本题考查了复数的模的运算,属于基础题.
3．某学校共有学生3000人，其中高一年级800人，高二年级1200人，高三年级1000人.为了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了160人，则应从高二年级抽取__________人. 【答案】240
【解析】根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级
人数与高二年级人数之比计算可得. 【详解】
分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为800:1200=2:3, 所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为2:3,
因为高一年级抽取的人数为160,所以高二年级抽取的人数为160×32
=240人. 故答案为:240 【点睛】
本题考查了分层抽样,属于基础题.
4．如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是__________.
【答案】6
【解析】根据程序框图分析,循环3次后满足判断框中的条件,结束循环,此时输出值为6, 【详解】
第一次循环后,1,2S n ==,不满足判断框里的条件;
第二次循环后,122,213S n =⨯==+=,不满足判断框里的条件; 第三次循环后,236S =⨯=,4n =,满足判断框里的条件,结束循环, 故输出的S 的值是6. 故答案为:6 【点睛】
本题考查了直到型循环,属于基础题.
5．甲、乙两人依次从标有数字0，1，2的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为__________.
【答案】
13
【解析】用甲乙两人未抽到标有数字0的卡片的概率相乘即可得到. 【详解】
甲先抽, 未抽到标有数字0的卡片的概率为
23
; 乙再抽, 未抽到标有数字0的卡片的概率为
12
, 所以甲乙两人均未抽到标有数字0的卡片的概率为211323
⨯=. 故答案为:13
. 【点睛】
本题考查了不放回抽样,属于基础题.
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近
线的倾斜角为30°，则C 的离心率为__________.
【答案】
3
【解析】先根据渐近线方程得b a =
,再根据离心率公式2c e a ==计算可得到.. 【详解】
由双曲线22
22:1x y C a b
-=的几何性质可得其渐近线方程为b y x a =±,
所以依题意可得
3
tan 303
b a ==
,
所以双曲线的离心率c e a ======.
故答案为: . 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线与离心率,属于基础题.
7．已知等差数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，若1a ，4a ，13a 成等比数列，则
1
a d
的值为
__________. 【答案】
32
【解析】利用等比数列的性质以及等差数列的通项公式列等式可解得. 【详解】
因为1a ，4a ，13a 成等比数列,
所以2
4113a a a =,
所以2
111(3)(12)a d a a d +=+, 整理得2
132d a d =,
因为0d ≠,所以132d a =,
所以132
a d =. 故答案为: 3
2
.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的性质,属于基础题.
8．若tan 3α=，则sin 2tan 4α
πα⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭的值为__________. 【答案】3
10
-
【解析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得3
sin 25
α=,利用两角和的正切公式可得tan()24
π
α+=-,然后相除可得.
【详解】 因为tan 3α=,
所以222sin cos sin 22sin cos sin cos ααααααα==
+22tan tan 1αα=+2233315
⨯==+,
tan tan
4tan()41tan tan 4π
απαπα++=-31131+=-⨯2=-, 所以
3
sin 23
5210tan()4
απα==--+.
故答案为: 310
- 【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.
9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线0kx y k -++=被圆()2
224x y -+=截得的弦长为2，则实数k 的取值集合为__________.
【答案】{}
【解析】根据圆心到直线的距离,弦长的一半,半径所满足的勾股定理列方程可解得. 【详解】
由圆()2
224x y -+=可知圆心为(2,0),半径为2,
圆心到直线的距离
d =
=
因为弦长为2,所以根据勾股定理得22212d +=,
所以2
2
(331
k k +=+,
整理得20k +=,
解得k =0k =,
故实数k 的取值集合为{}
.
故答案为: {}
【点睛】
本题考查了点到直线的距离,圆的标准方程,垂径定理,属于中档题. 10．若33log log 5m n +≥，则3m n +的最小值为__________. 【答案】54
【解析】根据33log log 5m n +≥可得53mn =,再根据均值不等式可求得. 【详解】
因为33log log 5m n +≥, 所以53mn =,且0,0m n >>,
所以332354m n +≥==⨯=,
当且仅当3m n =且53mn =,即27,9m n ==时,取等号, 故3m n +的最小值为54. 故答案为:54 【点睛】
本题考查了对数的运算性质以及均值不等式求最小值,属于中档题.
11．在正三棱柱111ABC A BC -中，P 为棱1AA 的中点，若正三棱柱1
11ABC A BC -的体积为9，则三棱锥1C PBC -的体积为__________.
【答案】3
【解析】根据等底等高的两个锥体的体积相等进行转化,转化为正三棱柱的体积的三分之一可得. 【详解】
在正三棱柱111ABC A B C -中,如图所示:
1111C PBC P C CB A C CB C ABC V V V V ----===11111
11
933
33
ABC
ABC A B C C C S
V -=⋅==⨯=. 故答案为:3 【点睛】
本题考查了等体积法,三棱锥,三棱柱的体积公式,属于中档题. 12．若函数()sin 03y x πωω⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
在0,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上恰有一个最大值，则ω的取值范围是
【答案】(]5,17 【解析】3
t x π
ω=-
,换元后,转化为sin y t =在(,
)363
πωπ
π
-
-上恰有一个最大值,利用正弦函数的图象列式可得. 【详解】 令3t x π
ω=-,因为(0,
)6
x π
∈,
所以(,
)363
t πωπ
π
∈-
-,
因为函数()sin 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恰有一个最大值, 所以sin y t =在(,
)363
πωπ
π
--上恰有一个最大值,
如图所示:
由图可知:
52
6
3
2
π
ωπ
π
π
<
-
≤
, 解得517ω<≤. 故答案为:(5,17]. 【点睛】
本题考查了正弦函数的图象和性质,属于中档题.
13．已知M ，N 是以AB 为直径的圆上两点，若2AM =，AN =AB MN ⋅的值为__________. 【答案】1
【解析】利用三角形减法法则的逆运算可得MN AN AM =-,再根据平面向量的数量积可得AB MN ⋅的值. 【详解】
因为()AB MN AB AN AM ⋅=⋅-AB AN AB AM =⋅-⋅
|||cos ||||cos AB AN BAN AB AM BAM =∠-∠
||||
|||||||||||
AN AM AB AN AB AM AB AB =⋅
-⋅
22||||AN AM =-
222=-
1=.
故答案为:1 【点睛】
本题考查了三角形减法法则的逆运算和平面向量的数量积,属于中档题.
14．已知a R ∈，若函数()()3
12f x x ax x =+-≤≤的最大值为M ，则M 的最小
值为__________. 【答案】2
【解析】通过导数研究函数()f x 在[ 1.2]-上的单调性,求得M ,然后根据M 的解析式求得最小值. 【详解】
因为函数()()3
12f x x ax x =+-≤≤,
所以2
()3f x x a '=+,
①当0a ≥时,()0f x '≥在[1,2]-上恒成立,所以()f x 在[1,2]-上递增,
所以2x =时,()f x 取得最大值,所以(2)82M f a ==+;
②当0a <时,由()0f x '>得230x a +>,解得x >x <-
由()0f x '<解得x -
所以函数()f x 在(,-∞上递增,在(上递减,在)+∞上递增,
(i)若1-<即30a -<<时1<,所以()f x 在[1,-上递增,在
(上递减,在2]上递增,
所以函数()f x 在x =2x =时取得最大值, 因为
3(((f a =+2)33a a =-+=-
==<
2=, (2)82f a =+8232>-⨯=.
所以30a -<<时,(2)82M f a ==+,
(ii)当1-≥即3a ≤-时,()f x 在[-上递减,)+∞上递增,
2的大小关系谁大谁小,()f x 在[1,2]-上的最大值是(1)f -或(2)f , 因为(2)(1)82(1)939330f f a a a --=+---=+≤-⨯=, 所以当3a ≤-时,1M a =--, 综上所述:1,3
82,3
a a M a a --≤-⎧=⎨
+>-⎩ ,
当3a ≤-时,1132M a =--≥-+=(当3a =-时取等号); 当3a >-时,828232M a =+>-⨯=,
所以M 的最小值为2. 【点睛】
本题考查了分类讨论,导数研究函数的单调性,根据单调性求最值,属于难题.
二、解答题
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos 2sin a b C c B =+. （1）求tan B 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值.
【答案】（1）1tan 2B =
（2【解析】(1)由正弦定理边化角后利用和角的正弦公式变形可得; (2)由1
tan 2
B =结合平方关系式,解得sin ,cos B B ,再用和角的余弦公式可得. 【详解】
（1）因为cos 2sin a b C c B =+，
由正弦定理，得sin sin cos 2sin sin A B C C B =+，
因为+=A B C π+，所以sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+, 所以，()sin sin cos 2sin sin B C B C C B +=+
所以sin cos cos sin sin cos B C B C B C +=+2sin sin C B , 所以cos sin 2sin sin B C C B =， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，
所以cos 2sin B B =，得1tan 2B = （2）由（1）得：sin 1tan cos 2B B B =
=，即1
sin cos 2
B B =,所以B 为锐角, 将1
sin cos 2
B B =代入22sin cos 1B B +=，
解得sin B =
，cos B =，
所以cos cos cos sin sin 333
10
B B B πππ
⎛
⎫
+=-= ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查了正弦定理,两角和的正弦和余弦公式,属于中档题.
16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PCD 是正三角形，E ，
F 分别为PC ，PD 的中点，AP AD =.
求证：（1）EF 平面PAB ； （2）AC PD ⊥.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】(1)利用中位线和平行四边形可证//EF AB ,再由直线与平面平行的判定定理可证;
(2)利用等腰三角形的性质和正三角形的性质可证AF PD ⊥,CF PD ⊥,再根据线面垂直的判定定理可证PD ⊥平面ACF ,利用线面垂直的性质可证PD AC ⊥. 【详解】
（1）因为E ，F 为PC ，PD 中点，所以EF CD ∥， 又ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥. 所以EF AB ∥，
又AB Ì平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， 所以//EF 平面PAB .
（2）连结AF ，CF ，
因为AP AD =，F 为PD 的中点，所以，AF PD ⊥， 因为三角形PCD 为等边三角形，所以，CF PD ⊥， 又CF AF F ⋂=， 所以PD ⊥平面ACF ，
AC ⊂平面ACF ，
所以PD AC ⊥. 【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定和性质,属于中档题.
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左顶点
为A ，过A 的直线交椭圆E 于另一点C ，直线AC 交y 轴于点0,
2a B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，且3AC BC =.
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）若椭圆E 的焦距为2，P 为椭圆E 上一点，线段AP 的垂直平分线l 在y 轴上的截距为1
4
-
（l 不与y 轴重合），求直线l 的方程. 【答案】（1）
12
（2）124y x =--或21
34x y =-
- 【解析】
(1)设(,)C x y ,利用3AC BC =,解得3(,)24a a C ,将其代入椭圆方程可得224
3
a b =,再用离心率公式可得;
(2)由(1)及22c =可求得椭圆方程,设AP 的中点为(),H s t ,可求得直线l 的方程,用中点公式求得点P 的坐标,将其代入椭圆方程可得一个关于,s t 的方程,在直线l 的方程中令
0x =,1
4
y =-,也可得一个关于,s t 的方程,两个方程联立可解得s 和t ,从而可得直线l
的方程. 【详解】
（1）(),0A a -，设(),C x y ， 因为3AC BC =，
所以，(),3,2a x a y x y ⎛
⎫+=-
⎪⎝⎭，解得：2a x =，34a y =，所以，3,24a a C ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
因为点C 在椭圆上，所以有：22
191416a b +=，即224
3
a b =，
所以离心率12
c e a ====.
（2）依题意有：22c =，所以，1c =， 又221a b =+，且2
2
43
a b =
，解得：24a =，23b =， 所以椭圆方程为：22
143
x y +=，
设AP 的中点为(),H s t ，则2AP t k s =+，故有2
l s k t
+=-， 从而l 的方程为：()2
s y x s t t
+=-
-+ 令0x =得到2221
4
s t s y t ++==-，
整理得2
2
1
204
s s t t +++
=①, 利用中点公式可得()22,2P s t +,将其代入椭圆方程得22
(22)4143
s t ++= ,
整理得2
2
4203
t s s ++=②,
联立①②方程解得0t =或t =
34
， 当0t =时,可得直线l 与y 轴重合,不合题意舍去, 所以3t 4
=
,此时2
3204s s ++=,解得12s =-或s =32-，
故l 的方程为124y x =--或者21
34
x y =-
-. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的离心率,向量的坐标运算,直线方程的点斜式,运算求解能力,属于中档题.
18．江苏省滨临黄海，每年夏秋季节常常受到台风的侵袭.据监测，台风T 生成于西北太平洋洋面上，其中心位于A 市南偏东45︒方向的B 处，该台风先沿北偏西60︒方向移
动800km 后在C 处登陆，登陆点C 在A 市南偏东30°方向800km 处，之后，台风T 将以30/km h 的速度沿北偏西θ方向继续移动.已知登陆时台风T 的侵袭范围（圆形区域）半径为200km ，并以20/km h 的速度不断增大.（()15
cos 3016
θ︒-=
）
（1）求台风T 生成时中心B 与A 市的距离；
（2）台风T 登陆后多少小时开始侵袭A 市？（保留两位有效数字）
40.09≈40.10≈40.11≈）
【答案】（1）400
km （2）台风T 登陆后13小时开始侵袭A 市.
【解析】(1)先求出15CBA ∠=,150ACB ∠=再根据余弦定理可求得AB ; (2)求出,CP AP 后,利用15
cos cos(30)16
ACP θ∠=-=以及余弦定理可解得. 【详解】
（1）依题意，得：604515CBA ∠=︒-︒=︒， 因为800AC BC ==,所以150ACB ∠=, 故由余弦定理得
2222cos150AB AC BC AB BC =+-⋅228008002800800(=+-⨯⨯⨯
2800(2=+,
所以
AB ===
800
==km . （2）假设t 小时后，台风位于P 点时A 刚好受到影响， 如图所示:
则30CP t =，20020PA t =+，800AC =，30ACP θ∠=-,
故()2
228009002002015cos cos(30)16280030t t ACP t
θ+-+∠=-==⨯⨯， 整理得210612000t t -+=, 所以2
2
(53)531200t -=-, 所以2(53)28091200t -=-, 所以2(53)1609t -=,
所以53t -=
所以53t =5340.11=± 所以12.89t =或93.11t =,
因为12.89t =时,台风T 刚开始侵袭A 市,所以93.11t =舍去. 答：台风T 登陆后13小时开始侵袭A 市. 【点睛】
本题考查了余弦定理的应用,属于中档题. 19．设函数()ln a
f x x b x
=
++，a ，b R ∈. （1）当2a =-，1b =，求曲线()y f x =在点()()
22f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[
)1,+∞上的最小值为1b +，求实数a 的值； （3）当1a =时，若函数()f x 恰有两个零点1x ，()2120x x x <<，求证：12
12
x x +>. 【答案】（1）ln 22y x =+-（2）1a =（3）证明见解析
【解析】(1)利用导数的几何意义求出斜率,再由点斜式可求得线()y f x =在点
()()22f ,处的切线方程;
(2)利用12()0,()0f x f x ==,可得121212ln ln x x x x x x -=
-,令211x t x =>,可解得21ln t x t
-=, 11ln t x t t -=,可得2121
ln t x x t t
-+=,再令2()12ln (1)g t t t t t =-->,通过两次求导可得()0g t >,可得122x x +>,从而可证.
【详解】
（1）依题意得：()2ln 1f x x x =-
++，则()221
f x x x
'=+， ()21k f '==，()2ln 2f =，
所以曲线()y f x =在点()()
22f ,处的切线方程：ln 22y x -=-，即l
n 22y x =+- （2）()221a x a
f x x x x
-'=-
+= 当1a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[
)1,+∞上单调递增， 此时()()min 11f x f a b b ==+=+，∴1a =
当1a >时，令()0f x x a '=⇒=，且当1x a <≤时，()0f x '<，()f x 递减； 当x a >时，()0f x '>，()f x 递增
∴()()min 1ln 1+f x f a a b b ==++=，∴1a =（舍去） 综上：1a =.
（3）当1a =时，()1
ln f x x b x
=
++ ∴11
2
2
1
ln 01ln 0x b x x b x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩①②
，②-①，得121212ln ln x x x x x x -=- ∴12
1212
ln ln x x x x x x -=
-，
令2
1
1x t x =>,则21x tx =, 所以
11
1212
ln x tx x x x x -=
,因为1>0x ,所以211
ln ln t t x t t --==-, 所以211ln x t x t t t
-=
=,
所以121111(1)ln ln ln t t t x x t t t t t ---+=
+=+21
ln t t t
-=, 令2
()12ln (1)g t t t t t =-->, 则()22(1ln )g t t t '=-+, 所以g ''2
()2t t
=-
, 因为1t >,所以()0g t ''>, 所以()g t '为(1,)+∞上的增函数, 所以()(1)0g t g ''>=,
所以()g t 为(1,)+∞上的增函数,
所以()(1)0g t g >=,即212ln 0t t t -->, 所以212ln t t t ->, 因为1t >,所以ln 0t t >,
所以212ln t t t
->,即122x x +>,
所以
12
12
x x +>. 【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用导数证明不等式,属于难题.
20．已知等比数列{}n a 满足：246a a a =，321440a a a -+=，各项均不为0的等差数列{}n b 的前n 项为n S ，11b =，1n n n S b b λ+=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）设集合*2,n n a M n n N tS ⎧⎫⎪⎪=≤∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，若M 只有两个元素，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2n
n a =，n b n =（2）
24
35
t <≤ 【解析】(1)根据246a a a =，321440a a a -+=,解出24,2a q ==,可得n a ,根据11b =，
1n n n S b b λ+=,解得公差1d =,可得n b ;
(2)将问题转化为()21n t n n +≥只有两个n 的值满足, 令()
21n
n C n n =
+,根据
()()()12212n n n n C C n n n +--=++可得123213C C C =>==,3454
5
n C C C C <=<<…,由此
可得. 【详解】
（1）因为246a a a =，所以，24222a a q a q ⋅=，所以，2
2a q =，
又321440a a a -+=，所以，2
22440a a q a q
-+
=，即2440q q -+=，所以，2q =， 所以，24a =，2
22n n n a a q
-==， 由1n n n S b b λ+=①
当2n ≥时，11n n n S b b λ--=② ①-②得11n n n n n b b b b b λλ+-=-
∵0n b ≠，∴()111n n b b λ+--=，设{}n b 公差为d ，∴21d λ=③ 在①式中令211n b λ=⇒=，∴()11d λ+=④ 结合③④得：1d = ∴()111n b n n =+-⋅=
综上：2n
n a =，n b n =
（2）由()222
12
n
n
n
a n n tS t
⇒
+⋅≤≤ 显然0t <时，左式恒小于右式，不合题意（舍去）
故0t >，()21n
t n n +≥
令()
21n
n C n n =+，
()()()()()()()()()
11122222221211212n n n n n
n n n n n C C n n n n n n n n n n +++⋅-+--=-==+++++++
且当12n ≤≤时，1n n C C +≤，即123C C C >=； 当3n ≥时，1n n C C +>，即345n C C C C <<<…
∴()32min 23n C C C ===，而11C =，445C = 结合图像知24
35
t <≤
【点睛】
本题考查了等差数列,等比数列的通项公式,数列的单调性,属于难题.。