甘肃省武威市民勤县第四中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理科普通班)试题 含答案

2020-2021学年第二学期第一次月考试卷
高二数学
第I 卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A ．45 B ．55 C ．65 D ．以上都不对
2．已知随机变量X 服从二项分布X ～B （n,p ），若()54
E X =，()15
16=D X ，则p =
（ ）
A ．14
B ．13
C ．34
D ．45
3．若复数
，则z =（ ）
A ．4
5 B ．35
C ．
2
5
D ．
2 4．已知随机变量X X
0 1 2 P 13 13 1
3
设Y ＝2X ＋3，则D A ．83 B ．53 C ．23 D ．13
5．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
6．已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是4
5
．则这种产品的一级
品率为（ ）
A ．2845
B ．3536
C ．45
D ．23
7．已知随机变量ξξ 0 1 2
P
a b c
其中,,a b c 成等差数列，则函数()2
2f x x x ξ=++有且只有一个零点的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．56
8．设3i
13i
z +=-，则232020z z z z ++++=（ ）
A ．1
B ．0
C ．1i --
D ．1i +
9．若ξ～B ⎝
⎛
⎭⎪⎫10，12 ，则P (ξ≥2)等于( )
A ．111 024
B ．501512
C ．1 0131 024
D ．507512
10．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ） A ．24 B ．12 C ．10 D ．63． 11．4名运动员参加4*100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（ ） A ．12种 B ．14种 C ．16种 D ．24种
12．若
)
10
21001210x
a a x a x a x =+++，则()2
0210a a a +++-
()2
139a a a ++
+=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
第II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某市派出甲、乙两支球队分别参加全省青年组、少年组足球赛，甲、乙两
队夺冠的概率分别为35和2
5
，则该市足球队夺取冠军的概率是________．
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
15.若5
2ax
⎛ ⎝
的展开式中5
x 的系数是80-,则实数a =__________.
16．有8本不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(用数字作答)．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球． （1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
18．(12分)已知(1＋m x )n (m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x 项的系数为112．
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中二项式系数之和；
(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
19．（12分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（2）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（3）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
20.( 12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的卡片各2张，从袋中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列．
21．（12分）受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过
了资料初审环节．假设甲通过笔试､面试的概率分别为1
2
，
1
3
；乙通过笔试､面
试的概事分别为2
3
，
1
2
；丙通过笔试､面试的概率与乙相同．
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率；
（2）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘
记甲､乙､
22．(12分)某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，该市教育部门随机抽取了全市200位高中学生参加社区服务时间的数据，按时间段[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．
(1)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生，记X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列与期望．
2020-2021学年第二学期第一次月考试卷
高二数学（理普答案）
命题人：
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2A 3C．4．A 5．B．6．A．7．B．8．B．9．C 10．C．11 B12．A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．19
25
. 14 .36. 15.：-2 16． 1440．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）13；（2）22．
【解析】（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球
1个．
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有21
34C C 12=种．
根据分类计数原理，红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种． （2）使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个． 第一种，红球2个和白球2个，取法有2
2
34C C 18=种； 第二种，红球3个和白球1个，取法有3
134C C 4=种，
根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种．
18．
[解析] (1)由题意可得2n
＝256，解得n ＝8．
∴通项T r ＋1＝C r 8m r
x r
2，
∴含x 项的系数为C 28m 2
＝112，
解得m ＝2，或m ＝－2(舍去)． 故m ，n 的值分别为2,8．
(2)展开式中二项式系数之和为256．
(3)(1＋2x )8(1－x )＝(1＋2x )8－x (1＋2x )8， 所以含x 2
项的系数为C 4824
－C 2822
＝1 008．
19．【答案】（1）1440；（2）3720；（3）840；（4）432． 【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①将4名男生全排列，有4
4A 24=种情况，排好后有5个空位； ②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有3
5A 60=种情况，
则三名女生不能相邻的排法有24601440⨯=种．
（2）根据题意，首先把7名同学全排列，共有7
7A 种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有3
3A 6=种结果，
要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，
则有77
33
A A 840=．
（3）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有22
43C C 18⋅=种情况，
其次4人分四个不同角色，有4
4A 24=种情况，共有1824432⨯=种选派方法．
20．解析：(1)记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A ，
则P (A )＝C 35 C 12 C 12 C 12
C 3
10
＝23 . (2)随机变量X 的可能取值为2，3，4，5.
P (X ＝2)＝C 34
C 310 ＝130 ，P (X ＝3)＝C 12 C 24 ＋C 22 C 1
4 C 3
10
＝215 ， P (X ＝4)＝C 12 C 26 ＋C 22 C 16 C 310 ＝310 ，P (X ＝5)＝C 12 C 28 ＋C 22 C 1
8 C 310
＝8
15 ，
所以随机变量X 的分布列为
21．【答案】（1）
49；（2）分布列见解析，数学期望20003
． 【解析】（1）设事件A 表示“甲被企业M 正式录取”，事件B 表示“乙被企业M 正式录取”，事件C 表示“丙被企业M 正式录取”， 则()111236P A =
⨯=，()()211323
P B P C ==⨯=， 所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业M 正式录取的概率
()()()()()()()
1P P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C =++=+⋅()()()11111111211633469
33P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝=⎭⎭．
（2）X 的所有可能取值为300，500，700，900，
()111130023318P X ==⨯⨯=，()1111215
500223323318P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，
()121122470022332339P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，()1222
9002339
P X ==⨯⨯=．
所以X 的分布列为
()3005007009001818993
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
22.解析：(1)根据题意及题图得，参加社区服务时间在[90，95)内的学生人数为200×0.06×5＝60，
参加社区服务时间在[95，100]内的学生人数为200×0.02×5＝20， ∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80.
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率P ＝80
200
＝25
. (2)由(1)可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25
.
由题意得，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则
P (X ＝0)＝C 03
⎝⎛⎭⎫25 0 ⎝⎛⎭⎫35 3
＝27125
；
P (X ＝1)＝C 13 ⎝⎛⎭⎫25 1 ⎝⎛⎭⎫35 2 ＝54125 ； P (X ＝2)＝C 23
⎝⎛⎭⎫25 2
⎝⎛⎭⎫35 1
＝36125
；
P (X ＝3)＝C 33
⎝⎛⎭⎫25 3 ⎝⎛⎭⎫35 0
＝8125
.
∴随机变量X 的分布列为
∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，2
5 ， ∴E (X )＝3×25 ＝6
5 .。