高二数学人教A版选修1-2课件:2.1.1 合情推理
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……
照此规律,第n个等式可为
.
答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
2.在数列{an}中,a1=1,an+1=
,n∈2N2+*,���猜���������想������������数列{an}的通项公式,并证明这个猜想.
解:{an}中
a1=1,a2=22+������������11
规律性的结论.
2.解归纳推理问题的步骤 (1)通过观察个别事物发现某些相同的性质; (2)从已知的相同性质中推出一个带有规律性的结论; (3)检验结论的正确性.
一二 【例1】 观察下列等式:
知识精要
典题例解
迁移应用
可以推测:13+23+33+…+n3=
(n∈N*,用含n的代数式表示).
思路分析:本题可先通过观察两列等式得到对应等式左边、右边的关系,再由此归纳出一般结论.
面积类比空间中体积.
答案:
R(1S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD) 3
解析:内切圆半径
r内切球半径R,
三角形的周长:a+b+c
三棱锥各面的面积和:S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD,
三角形面积公式系数
三1棱锥体积公式系数
2
13.
∴类比得三棱锥体积 1
VA-BCD= R(3S△ABC+S△ACD+S△BCD+S△ABD).
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6
案例探究
误区警示
按如此规律下去,则a2 013+a2 014+a2 015=(
)
A.1 004
B.1 006
C.1 007
D.2 014
思路分析:
案例探究
误区警示
错解:D 正解:a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为 1,2,3,…,故a2 013+a2 015=0,a2 014=1 007.故a2 013+a2 014+a2 015=1 007.故选C.
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例4】 已知△ABC1的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=
类比这一结论有:若三棱2锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥体积VA-BCD=
.
r(a+b+c).
思路分析:解答本题的关键是确定好类比对象.平面中圆类比空间中球,平面中长度类比空间中面积,平面中
������△������������������
2 ������△������������������
������1
������2
������
ℎ
案例探究
误区警示
如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列 {an}(n∈N*)的前12项,如下表所示.
知识精要
典题例解
迁移应用
一、归纳推理及其应用 1.归纳推理的特点 (1)归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. (2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. (3)归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有
(n=1,2,…),试������归������ 纳出这个数列的通项公式. 1 + ������������
思路分析:数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系,为此,我们先根据已知的递 推公式,算出数列的前n项.
解:当n=1时,a1=1; 当n=2时,a2= 当n=3时,a3=
(证明时,三角形中的结论可用等面积法,三棱锥中的结论可用等体积法)
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
{bn1}.(已b≠知0,���n命���∈������题������--N������:*若���)������,b数���m=列a{,bann=}b为(m等≠差n,m数,n列∈,且N*a),m若=a类,a比n=上b(述m≠结n,论m,,n则∈可N得*),则到abmm++nn==
=
23,a3=22+���������2��� 2
=
1 2
=
24,a4=22+������������33
=
25,…,所
以猜想{an}的通项公式
an=������
2 (n∈N*).
+1
证明如下:因为
a1=1,an+1=22+������������������������
,所以������
1
������ +1
������ -������
bm+n=
������������������������ .
一二
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迁移应用
2.(2014江苏通州高级中学高三期中测试)在△ABC中,D为AB上任一点,h为AB边上的高,△ADC,△BDC,△ABC
的内切圆半径分别为r1,r2,r,则有如下的等式恒成立:
������������ ������������ ������������ 2������������ ������1 + ������2 = ������ + ℎ 在三棱锥P-ABC中D为AB上任一点,h为过点P的三
;现已知等比数列 .
n
答案:
-m
bn am
解析:等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 bn 和 am,等差 数列中的 bn-am 可以类比等比数列中的abmn ,等差数列中的bnn--m am可以类
������ -������
比等比数列中的
������������������������,故
为
.
答案:夹在两平行平面之间的平行线段相等
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预习导引
12
2.合情推理及其推理过程 (1)合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜 想的推理,它们统称为合情推理. (2)合情推理的思维过程
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想
当n=4时,a4=
1 = 1;
1+1 2
1
2
1+12
= 1;
3
1
3
1+13
= 14.
观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想,这个数列的通项公式为
an=���1��� .
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
1.观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
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学习 目标
重点 难点
1.能结合已学过的数学实例和生活中的实例,分析合情 推理的含义,能利用归纳和类比等方法进行简单的推理. 2.会分析归纳推理与类比推理的联系与区别,体会并认 识合情推理在数学发现中的作用. 重点:归纳推理和类比推理的含义,归纳推理和类比推理 进行简单的推理. 难点:1.运用合情推理进行简单推理. 2.合情推理在数学发现中的作用.
棱锥的高,三棱锥P-ADC,P-BDC,P-ABC的内切球的半径分别为r1,r2,r,请类比平 面三角形中的结论,写出
类似的一个恒等式为
.
答案:������△������������������ + ������△������������������ = ������△������������������ + 2������△������������������
案例探究
误区警示
本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系,归纳出该数列的一般 关系.可能出现的错误有两种:一是归纳时找不准确“前几项”的规律,胡乱猜测;二是弄错奇偶项的关系.本题中 各个点的纵坐标对应数列的偶数项,并且逐一递增,即a2n=n(n∈N*),各个点的横坐标对应数列的奇数项,正负交 替后逐一递增,并且满足a4n-3+a4n-1=0(n∈N*),如果弄错这些关系就会得到错误的结论,如认为当n为偶数时 an=n,就会得到a2 013+a2 014+a2 015=2 014的错误结论,而选D.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例3】 一个等差数列{an},其中a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19),一个等比数列{bn},其
中b15=1,类比等差数列{an}有下列结论:
.
思路分析:在等差数列{an}中,a10=0,已知以a10为等差中项的两项和为0,如 a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0,而在等比数列{bn}中,b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似 的总结规律应为各项之积.
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预习导引
12
1.归纳推理和类比推理
类 别
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某 由两类对象具有某些类似特
些特征,推出该类事物的全部对 征和其中一类对象的某些已 象都具有这些特征的推理,或者 知特征,推出另一类对象也
由个别事实概括出一般结论的 具有这些特征的推理,称为 推理,称为归纳推理(简称归纳) 类比推理(简称类比)
=
2+������ ������������
+ 12,即
1 − 1 = 1,所以数列{ 1 }是以 1 =1 为首项,公差为1的等差数列,所
������������ +1
������ ������
2
������ ������
������ 1
2
以 1 =1+(n-1)1
������1
������2
������
ℎ
解析:根据题意由三角形类似为三棱锥:线段AD类比为S△ADC,线段BD类比为S△BDC,线段AB类比为S△ABC,线段
2CD类比为2S△PDC,则有
. + = + . ������△������������������
������△������������������
归纳推理是由部分到整体,由个 类比推理是由特殊到特殊的
别到一般的推理
推理
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12
预习交流1
(1)由三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°=2×180°,凸五边形的内角和是
540°=3×180°,归纳出结论:
.
答案:凸n边形的内角和是(n-2)×180°
(2)对于平面几何中的命题:夹在两平行线之间的平行线段相等,在立体几何中,类比上述命题,可得命题
������ ������
2
=
12n+12,即通项公式
an=������
2 (n∈N*).
+1
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
二、类比推理及其应用 1.类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新
的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能. 2.解类比问题的步骤 (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性); (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想; (3)检验这个猜想.
答案:14n2(n+1)2
解析:第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比较即可
得,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2=
1
n2(n+1)2.
4
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
【例2】 已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=
答案:b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N*)
一二
解析:∵在等差数列{an}中,a10=0, ∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0, 即a19-n+an+1=0, a18-n+an+2=0, a17-n+an+3=0, … ∴a1+a2+…+an =a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n. ∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1, 即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1. ∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N*).
提出猜想 ←归纳、类比
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12
预习交流2 合情推理有哪些特点?
提示:(1)在数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论; (2)证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向; (3)一般来说,合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.
一二