数学应用题的类型与建模举例

数学应用题的类型与建模举例
一、数学应用题的分类
数学应用题的分类，通常有四种方式。

一是按解应用题所要用到的主要数学模型。

例如，分为集合类、函数类、数列类、方程类、不等式类、排列组合类，等；二是按应用题所涉及材料内容的性质分。

例如，分为与横向学科(物理、化学、生物、地理、体育、政史等)有联系的问题，和有实际生活背景(工业、农业、商业等)的问题，等等；三是按应用题的来源分。

例如，分为来自课本中的问题，来自往年高考试卷中的问题，来自其他书籍和资料中的问题，由自己从实际中概括编拟出的问题，等等；四是按应用题的难易分。

例如，分为简单应用题和复杂应用题。

当然，上述任何一种方式的分类都不是逻辑意义下的严格分类，只是为了便于同学们在复习以及解题过程中更好地把握数学应用题而进行的大致分类。

我们可以运用下页的表格帮助掌握数学应用题的各种类型。

在该表的每一个交汇点上，都可以出现较为典型的数学应用题，许多应用题也可以同时出现在不同的交汇点中。

例1是工业应用题，可以出现在函数、正反比例、方程(组)、数列、不等式(组)等交汇点上。

例2是社会生活问题，出现在与解析几何的交汇点上。

例3是农业问题，可以出现在函数、方程(组)、数列、不等式(组)、二项式定理等交汇点上。

二、往年高考应用问题建模举例
恢复高考以来，对数学应用题的考查主要经历了四个阶段：一是较热期(1977～1984年)：这一时期的应用题较多且带有明显的政治色彩；二是冷落期(1985～1992年)：这一时期应用题减少甚至有“绝迹”的危险；三是回升期(1993～1994年)：这一时期只出了几道“小型应用题”；四是稳定期(1995～1999年)：在这一时期，高考命题对应用题的考查积累了经验。

近年来，应用题稳定在中等题上。

下面，我们把1993年以来的全国高考应用题摘录如下，并逐一加以解答，以进一步说明数学应用题的建模方法。

例4(1993全国) 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种；(B)9种；(C)11种；(D)23种
数学应用分类表
这是一个贺卡分配问题。

从四张贺年卡的实际分配过程可以迅速建立起乘法原理模型。

解：设四个人为A，B，C，D，他们所写的贺年卡相应地记作a，b，c，d，根据题意，完成四人拿卡这件事可以分三步进行：第一步，A可以拿卡b，c，d 中的任何一张，有3种方法；第二步，A拿走x(x≠a)卡后，写x卡的人可以拿剩下三张卡中的任何一张(例如A拿走d后，D就可以拿a，b，c中的任何一张)，有3种方法；第三步，无论写x卡的人拿走剩下三张中的哪一张卡，剩下的两张卡中必然还有一张是尚未取卡的两人中的一人写的，此人不能拿自己写的这张卡，只能拿另一张，而最后一个人也就只能拿剩下的最后一张卡了，所以有1
种方法．根据乘法原理，共有不同的拿法种数N＝3×3×1＝9，选(B)。

注：同学们如果知道与此题相关的一个一般结论(见第二章)，该题的建模就成为“套公式模型”。

因此，数学知识的深广度和娴熟程度，对数学建模有着决定性的影响。

例5(1993全国) 在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面的顶角为120°。

若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为m(精确到0.1m)。

这是一个广场照明问题。

由关键词“呈圆锥形”可迅速建立起立体几何圆锥模型。

解：设光源高度应为xm，根据题意，得
x＝30·tan30°＝10≈17.3(m)填17.3
例6(1993全国) 在50种产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答)。

这是一个次品检验问题，是排列组合模型。

解：从50件产品抽出的5件中至少有3件是次品的抽法，包括恰好3件是
次品的和恰好4件是次品的，其中恰好3件是次品的抽法有种，恰好4件是次品的抽法有种。

因此，至少有3件是次品的抽法的种数为
＝4186。

填4186。

例7(1993全国) 建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为
元。

这是一个最低造价问题。

由“长方体无盖水池”和“最低总造价”可建立起立体几何长方体模型和函数最值模型或不等式模型。

解法1：设池底一边长为xm时，水池总造价为ƒ(x)元，根据题意，得
ƒ(x)＝x··120＋2·(2x＋2·)·80
＝480＋320(x＋)≥480＋320×4＝1760
当且仅当x＝2时取等号。

填1760
解法2：设池底一边长为xm，另一边长为ym，根据题意，有xy＝4，所以池底造价为定值4×120＝480元。

要使总造价最低，只要使池壁造价最低，因为深
度2m不变，所以只要使池底周长2(x＋y)最小。

因为2(x＋y)≥4＝8(等号
当且仅当x＝2时成立)，所以池壁最低造价为8×2×80＝1280，故水池的最低总造价为480＋1280＝1760(元)。

填1760。

注：解法2看似很繁，实质上建立的“不等式模型”较简炼，可以通过心算完成解答。

例8(1994全国) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成
(A)511个；(B)512个；(C)1023个；(D)1024个
这是一道与横向学科有关的细菌繁殖问题。

若将一个分裂为两个看作增长率为100％的增长，则可建立起函数模型。

若设第k次分裂后有细菌a k个，则第k ＋1次分裂后应有2a k个，即a k＋1＝2a k。

由此可建立起等比数列模型。

解法1：经过3小时，细菌由1个按100％的增长率增长了9次，所以可繁殖成1·(1＋100％)9＝512(个)。

选B。

解法2：经过3小时，细菌由1个按公比为2的等比数列变化9次，设a1＝1，则求a10。

所以a10＝a1q10－1＝1·29＝512(个)，选B。

注：由于变化次数较小，此题也可以由细菌繁殖数的实际发生过程建立“简单计数模型”，从而直接得出答案。

例9(1994全国) 有甲，乙，丙三项任务，甲需由2人承担，乙，丙各需1
人承担。

从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有
(A)1260种；(B)2025种；(C)2520种；(D)5040种
这是一个任务分配问题。

是排列组合模型。

解：第一步，从10人中选派2人承担甲。

第二步，从剩下的8人中选派1人承担乙；第三步，从最后剩下的7人中选派1人承担丙。

上述三步分别有
种方法，所以，根据乘法原理，从10人中选派4人承担这三项任务，不同选法共有
＝2520(种)。

选C。

例10(1994全国) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，a n共n个数据。

我们规定测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小。

依此规定，从a1，a2，…，a n推出的a＝
这是一道与横向学科相联系的测量误差问题。

由于该题所给材料出现了“新的情境”，审题时必然较紧张，但我们首先要树立解题信心，然后要紧扣对“最佳近似值”a的规定。

a是一个量，与其他近似值(可设为x)，a与各数据的差的平方和最小(而x与各数据的差的平方和ƒ(x)不见得最小，若x使ƒ(x)最小，则此时的x就是a)。

适当翻译后得二次函数最值模型。

解：设近似值为x，根据题意，最佳近似值a是使
ƒ(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2最小的近似值x。

因为
ƒ(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋
所以当x＝
时，ƒ(x)最小。

故a
例11(1995全国) 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。

设淡水鱼的市场价格为x元／千克，政府补贴为t元／千克。

根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系。

P＝1000(x＋t－8) (x≥8，t≥0)
Q＝500(8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格。

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?
这是一个市场平衡价格问题。

题中已经给出了有关的数学模型，但也有“新的情境”。

只要紧扣“P＝Q”，并且纯数学知识(函数概念和性质，无理方程，无理不等式，一元二次方程，一元二次不等式，等)过关，完成解答不会有太大困难。

解：(1)设x＝ƒ(t)，根据题意，有
1000(x＋t－8)＝
化简得5x2＋(8t－80)x＋(4t2－64t＋280)＝0
当判别式Δ＝800－16t2≥0时，
可得x＝8－
由Δ≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
解不等式组①，得0≤t≤。

不等式组②无解。

故所求的函数关系式为x＝8－
函数的定义域为[0，]
(2)为使x≤10，应有
8－≤10。

化简得t2＋4t－5≥0
注意0≤t≤，解得t≥1(元)
答：政府补贴至少为每千克1元。

例12(1997全国) 甲，乙两地相距s千米(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时(km／h)。

已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成。

可变部分与速度v／(km／h)的平方成正比，比例系数b，固定部分为a元。

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
这是一个运输成本问题。

题中已经给出了有关的数学模型。

解：(1)根据题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)
故所求函数及定义域为
y＝s(＋bv)，v∈(0，c]
(2)根据题意知，s，a，b，v都为正数，所以
s(＋bv)≥2s
当且仅当＝bv，即v＝时上式中等号成立，
若≤c则v＝时，全程运输成本y最小。

若＞c，当v∈(0，c]时，有
因为c－v≥0且＞c
所以s(＋bv)≥s(＋bc)＝x[(－)＋(bv－bc)]
＝(c－v)(a－bcv)
因为c－v≥0且＞c a＞bc2a－bcv≥a－bc2＞0。

所以s(＋bv)≥s(＋bc)，当且仅当v＝c时等号成立，也即当v＝c时，全程运输成本y最小。

答：为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v＝；当
＞c时，行驶速度应为v＝c。

例13(1998全国) 向高为H的水瓶中注水，注满为止。

如果
注
水量V与水深h的函数关系如图1-3所示，那么水瓶的形状是
( )。

这是一道社会生活应用题。

题中已经给出了数学模型——函
数
的图像。

解：如图1-4，可以作定性判断：观察图像，看到随着h的增大，
V的增大先快后慢(图像先陡后缓)，所以水瓶形状应为下底大的B或C，
又由图像可知，h＝时，V＞(V0为满瓶水量)，而C中V＝，故选B。

也可以作定量判断：观察图像，可得h＝时，V＞(V0为满瓶水量)，即水深至一半时的注水量大于满瓶水量的一半。

从四个水瓶来看，当h＝时，(A)V
＞，(C)和(D)V＝，只有(B)才是V＞，所以选B。

例14(1998全国) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有( )。

(A)90种；(B)180种；(C)270种；(D)540种
这也是一个任务分配问题。

是排列组合模型。

解：第一步，3名医生分到3所学校，有种方法，第二步，从6名护士中
分配2名护士到第一所学校，有种方法；第三步，从剩下的4名护士中分配2
名护士到第二所学校，有种方法；第四步，最后剩下的2名护士分配到第三所
学校，有种方法。

根据乘法原理，满足条件的不同分配方法种数共有
＝540。

选D。

例15(1998全国) 如图1-5，为处理含有某种杂质的污水，
要制
造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。

污水从A孔流入，经沉淀
后从B
孔流出。

设箱体的长度为a米，高度为b米。

已知流出的水中该杂质的
质量分数与a，b的乘积ab成反比。

现有制箱材料60平方米。

问当a，b
各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔
的面积忽略不计。

)
这是一个沉淀杂质问题。

题中已经给出了有关的数学模型——反比例函数和长方体。

解法1：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝(k＞0为比例系数)。

依题意，所求的a，b应使y值最小。

根据题意，有4b＋2ab＋2a＝60 (a＞0，b＞0)得
b＝(0＜a＜30) ①
当a＋2＝时取等号，y达到最小值。

这时a＝6或a＝－10(舍去)。

将a＝代入①式求得b＝3。

答：当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法2：根据题意，所求a，b的值应使ab最大。

由题设知
4b＋2ab＋2a＝60 (a＞0，b＞0)即
a＋2b＋ab＝30。

(a＞0，b＞0)。

∵a＋2b≥2
∴2·＋ab≤30①
当且仅当a＝2b时，上式取等号。

由a＞0，b＞0，解①得0＜ab≤18。

即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

由解得a＝6，b＝3。

故当a为6米，b为3米时，满足题意。

答：(略)。

例16(1999全国) 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。

若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水的高度是( )。

(A)6cm；(B)6cm；(C)2cm；(D)3cm
这是一道与横向学科相联系的化学应用题。

题中已经给出数学模型——圆柱和圆锥。

解：设水的高度为xcm，根据题意，得
，
解得x＝6(cm)，选B。

例17(1999全国) 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少
买2盒，则不同的选购方式共有( )(A)5种；(B)6种；(C)7种；(D)8种
这是一道商业应用题。

从购买的实际操作过程出发可以迅速建立起加法原理模型(参见例4)。

由关键词“不超过”知，解题与不等式有关。

解：为满足需要，先购买3片软件和2盒磁盘，花去资金60×3＋70×2＝320(元)。

现在设用不超过500－320＝180(元)的资金能购买软件x片，磁盘y 盒，则60x＋70y≤180，即
6x＋7y≤18(x≥0，y≥0)。

易知，x＝0时，y＝0，1，2；x＝1时，y＝0，1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝0。

故不同的选购方式共有3＋2＋1＋1＝7种。

选C。

注：此题在得到6x＋7y≤18(x≥0，y≥0)以后，也可以在直角坐标系中计算满足条件的格点(横坐标、纵坐标均为整数的点)数。

例18(1999全国) 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄。

为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种(用数字作答)。

这是一个农作物种植问题。

是排列组合模型。

解：画出示意图(图1-6)
第一步，从10垄田地中选出间隔不小于6垄的两垄：选①，则可选⑧，⑨，⑩；选②，则可选⑨，⑩；选③则可选⑩。

共有3＋2＋1＝6种方法；第二步，在选
出的2垄田地上分别种植A，B两种农作物，有种方法。

根据乘法原理，不同的选垄方法共有6·＝12种。

填12。

例19(2000春北京，安徽) 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为akW·h。

本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.4元／kW·h。

经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。

该地区电力的成本价为0.3元／kW·h。

(1)写出本年度电价下降后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?
(注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价))
解：(1)设下调后的电价为x元／kW·h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为
(2)依题意有
整理得
解此不等式得0.60≤x≤0.75
答：当电价最低定为0.60元／kW·h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％。

通过以上对历届高考应用题的解答，我们发现以下几个事实：
1．高考仍然重视对传统的排列组合应用题的考查，而且不落俗套。

如例4，例6，例9，例14，例17，例18。

其根本原因是，对任何一个考生来说，解排列组合应用题时，一般都必须从所给材料出发，创造性地设计出解题方案来。

同学们不难发现，这些应用题，有的是有固定模型的，如例6，多数虽没有固定的模型，但解答起来确实也不难。

很多情况下，只要从完成任务的实际操作过程出发，就可以建立起解题所需要的数学模型。

与其说这类题考查同学们的数学知识，倒不如说是考查同学们的心理素质、数学素养、学习潜能和实际操作能力。

因此，可以说，从完成任务的实际操作过程出发去建立数学模型，是建模的技巧之一。

2．有些应用题，虽取材于实际问题，但已经被抽象为数学问题，即给出了有关的数学模型。

如例5，例11，例12，例13，例15，例16这些题，如果是选择或填空题，那么解题思路是极容易的。

这就要求我们在求解时加倍小心，千万不能因算错等失误造成错答。

如果是解答题，那么对纯数学知识的要求就必然较高，如例11的“市场物价问题”，例12的“运输成本问题”，例15的“沉淀杂质问题”。

这些要求往往又集中体现在不等式知识上。

因此，同学们务必对不等式的学习引起高度的重视。

而数学模型较为隐含的应用题，如例1的“轧钢问题”，例3的“土地粮食问题”，对纯数学知识的要求就相对较低。

了解这一点，有助于我们根据实际情况作出相应的心理调整和解题对策，也有助于我们在学习过程中，提高建模能力与提高解纯数学问题能力并重。

由此达到从根本上提高解数学应用题的能力。

3．给出“新的情境”是高考应用题命题的常用手法。

如例10的“最佳近似值”，例11的“市场平衡物价”。

因此，同学们对如何适应“新的情境”，迅速建立数学模型，是迫切想知道的，那么就请同学们千万留意第二章的有关内容。

4．借助符号，适当进行翻译，顺手用字母表示题中的量，是建模的又一技巧。

如例10，顺手将“其他近似值”设为x以后，下面的翻译建模就顺利了。

5．依托图表，理顺数量关系，也是建模的技巧之一。

如例2的“公共交通问题”，例3的“土地粮食问题”，例18的“农作物种植问题”。

6．1999年的“轧钢问题”，对数学建模能力提出了新的要求。

可以预见，今后的高考应用题，对同学们的数学建模要求，将稳定在1999年“轧钢问题”的水平上。

在本章中，我们结合实例，依次讨论了数学应用题的基本特点、复习应考对策；数学应用题的解决过程、应试方法与要领；数学应用题的类型和建模举例。

相信同学们对数学应用题有了较全面的理解，对求解数学应用题也树立了一定的信心。