三维应力状态公式证明

C
O
A
B
P
D
y
x
z
欲证地质体受三维应力状态时，任一截面的正应力和剪应力形式，仍然在单元体（微小立方体）中来探讨，并且使取到的单元体满足所有面上只受到正应力作用，而不受到剪应力作用。

先引入直角四面体的两个重要结论：
1）cos
2）++== 1
图2
图1
设该单元体的三个主应力应力分布如图2所示，分别平行于x，y，z轴。

设想一个平面ABC截该单元体，所得的几何体为一直角四面体O-ABC。

现在来讨论截面ABC上的正应力和剪应力的形式。

OP为平面ABC的法线，分别与OA，OB，OC成角度。

分别与
垂直。

设；
设
垂直于平面ABC方向上：σS =
σ=
σ=
也即：σ=
平行于平面ABC方向上，可以根据平衡条件，得到剪应力
S = +−S
= +/ S−
= +−
平方后得：
=
=2（）=
国内的构造地质学教材对这一公式提及较少，少数教材直接引用（Ramsay，1967），没有证明过程。