工程流体力学-第二章 流体运动基本方程和基本规律

t


•

Vv

0

t


Vi
xi


0（2-11）
➢ 这就是连续方程的微分形式。 ➢ 该方程建立了流场中某点的流动变量之间的
关系。
26 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 ➢ 而积分形式的连续方程反应的是流场中一个有
限空间的流动变量之间的关系。
➢ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形 式都是质量守恒定律的等效的表示。它们只是 数学表述方式不同而已，反映的的实质都是 “物质即不能创造也不能消灭”。
•

（2-14）
31 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
➢ 考虑微分形式给出的连续方程，

t


•

Vv

0
➢ 应用上述的矢量记号，上式变为，

t

v V•



v •V

0
➢ 此方程中前两项的和就是密度的物质导数。
因此有，
D
Dt


v •V

✓从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的
连续方程。
24 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
➢ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所
以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求
偏导数可以放到体积分符号里面，

vv
V • dS


t
d

0
（2-8）
S

➢ 根据矢量场面积分和体积分的关系(奥高公
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式 ➢ 第一章我们学习了物质导数，下面我们把连续
方程表示成物质导数的形式。
D Dt

t

Vv
•
？
➢ 首先引入一个矢量记号 它表示标量和矢量乘积的散度等于标量乘以 矢量的散度加上矢量点乘标量的梯度。

•

Vv


v •V

v V
27 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 ➢ 在连续方程的推导过程中，关于流体性质的
唯一假设就是连续性假设。
➢ 因此，前面导出的连续方程对任意流体的三 维非定常流动、有粘或是无粘、可压或是不 可压，都成立。
28 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
d
• 因此，整个控制体内的质量是，
d
21 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式 ➢那么控制体内的流体质量随时间的增加率是，
t

d

➢反过来，控制体内质量随时间的减少率就是上
式的相反数，

t

d

C

➢因为，B = C， 所以，
✓上式就是连续方程的积分形式。
23 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
✓积分形式的连续方程可以用来解释某个有限区 域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点 的具体细节。
✓然而，有时候需要关心流场的细节，就必须对 所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况 下，就要使用微分形式的连续方程。
5 9 作业8
作业7
作业6
作业5
第二章 流体运动的基本方程和基本规律 ➢ 理论力学分析杆件受力的基本原理是什么？
牛顿三定律+动量定理+机械能守恒
➢ 材料力学分析材料受力的基本原理是什么？ 牛顿三定律+能量法（功或位移的互等定理）
6 9 作业8
作业7
作业6
作业5
第二章 流体运动的基本方程和基本规律
9 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 连续方程的物理意义： 连续方程描述的是流体力学中的质量守恒定 律：
流出空间位置固定的控制体的质量流量=控制体 内质量随时间的减少率。
m& VndA
“物质即不能创造也不能消灭”
10 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 • 显然，控制体的体积和控制面都不随时间变
（2-6）

v
V •
v dS


t

d
S


v
V •
v dS
t

d

0
S

22 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式

S

V • dS
t

d

0
（2-7）
➢ 此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用
质量守恒定律得到的结果，称为连续方程。
15 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 • 在许多空气动力学方程中，经常会出现，
u,v,w, 所以它们分别表示 x,y,z 方向的质量
通量。
• 更一般的讲，如果 V 是任意方向的速度的绝
对值，那么V 的含义就是穿过和 Vv垂直的面
的质量通量。
16 9 作业8
作业7
LavoJiDoseuiseclearrtes
7 9 作业8
作业7
作业6
作业5
第二章 流体运动的基本方程和基本规律
• 在第一章中，我们讨论了几种用来分析流体运 动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物 理原理来推导流体运动的基本方程。
哪几种
• 和前面推导 •的V？物理意义不同，那里采用的
是运动的控制体，这里我们主要采用位置
➢ 对定常流动， t ，0 因此积分与微分形式的连
续方程分别简化为，
vv
V • dS 0
S
？ • Vv 0
（2-12） （2-13）
➢ 对定常不可压缩流动，积分与微分形式的连续 方程分别简化为，
vv
V • dS 0
S
v •V 0
29 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
• 举个例子来说明连续方程的用途。如下二维定
常不可压缩流动，
n
V1， A1
V2， A2
vv vv vv
V • dS V • dA1 V • dA2 0

S
A1
A2
V1 A1 V2 A2
0 V2 V1

A1 A2
30 9 作业8
➢ rVndA < 0 的物理意义是流入控制体的质量 流量。
20 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
➢ 质量流量沿整个控制面 S 积分，可得 B 为：
vv
B V • dS
S
（2-5）
➢ 现在考虑方程(2-4)的右边项 C ：
• 体元 d 中包含的流体质量是，
➢ 设流场特性随空间和时间的变化而变化，比
如 x,y。,z,t
➢ 在该流场中，考虑如图2-2中所示的空间位 置固定的控制体。
18 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式 ➢ 在控制面上任取一点，其速度是 Vv， d是Sv包
含该点的有向面元，其方向为面元的外法线
方向，d 是控制体内流体微团的体积。
在空间固定的控制体，即控制体固
定在空间某个位置，流体从中穿过。
8 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§2.1 连续方程
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 § 2.1.2 连续方程的积分形式 § 2.1.3 连续方程的微分形式 § 2.1.4 连续方程的物质导数形式 § 2.1.5 用运动控制体推导连续方程
第二章 流体运动基本方程和基本规律
提问（四） 提问（五） 提问（六） 提问（七） 提问（八） 提问（九）
闫再友
第1次课 第2次课 第5次课
课时分布
第3次课 第6次课
第4次课 第7次课
2 9 作业8
作业7
作业6
作业5
第一章流体力学基础知识的回顾
• 本流分 物章体子讲力平特述学征均了的尺自, 基寸本任务和研究方法 流由体程力学及空气动力学发展概况
➢ 自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量
守恒和能量守恒。
➢ 本章将利用这三大原理，推导出流体力学中
的三个基本方程：连续方程、动量方程和能
量方程。然后粗略介绍这三个方程的解法。
焦耳（James Prescort Joule,1818～1889）英 国拉杰瓦出锡的（物An理to学in家e。-La1u8r4e7n年t L4a月vo2i8s日ie英r，国1物74理3－学家 焦17D耳9e4将s）c自a，r己t法e所s国笛发化卡现学尔的家能，量1守78恒9定年律，第拉一瓦次锡作在了他全的面历和史 充名(分著法的—国阐—哲述《学化家。学、概数论学》家中,1第59一6-次1用69清0)晰的语言把质量 能守系量恒统既定所不律受能表外创达力造出的也来矢不，量能用和消实为灭验0，进时而行，只了系能验统从证的一。总种形式转换 成质动另量量一既守种不恒形能。式创，造从，一也个不物能体消传灭递。到另一个物体。
流体 介x,质y, z,t
认共同识性流✓✓流性连动的体、续基所的粘介本发密性质规生度假律现、设在象压流的实 理 数强体基验 值论、力本d研 计分温学实析究 算度中质、的，可表找压述出缩；这些 研究如✓流何体应的用模这型些静化规止律流能体动和地理解想决（实无际粘的流 体对控气矢流力制动量动学体力和问的、及积题新流气分和情体 动 知与况微 力 识之、温 例性 同团 系相新度性）、 数关进和流物K的展气e体质工加体中导3程以的k压T数技预平强2术测均具问。动有题能各，成向并比
3 9 作业8
作业7
作业6
作业5
实验课时间安排
1. 第6 周的周五5、6节， 10月6日 2. 第9 周的周五5、6节， 10月27日 3. 第12周的周五5、6节， 11月17日
4 9 作业8
作业7
作业6
作业5
第二章 流体运动的基本方程和基本规律 §2.1 连续方程 §2.2 动量方程 §2.3 能量方程 §2.4 方程的基本解法 §2.5 微团运动分析 §2.6 旋涡运动
12 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
➢ 以速度 Vv穿过面 的dAv流体微团，在穿过面以 后的时间 内dt，它运动了的位移 ，Vv扫dt过的 体积为，
d

Vvdt

•
v dA
Vvdt • nvdA
Vndt dA VdtcosdA
➢ 该体积内的流体质量为，
作业6
作业5
§2.1 连续方程
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 § 2.1.2 连续方程的积分形式 § 2.1.3 连续方程的微分形式 § 2.1.4 连续方程的物质导数形式
17 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
➢ 为了得到连续方程，对空间位置固定的控制 体运用质量守恒律：质量既不能创造，也不 能消灭。
式)，有，

v
V
•
v dS

nv•

VvdS



•

Vv
d
➢ 因此， S
S



• Vv


t
d

0
25 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
➢ 由于有限控制体是任意的，因此对任意控制 体，都要求此方程的积分为零，唯一方法是被 积函数在控制体内所有点值都为零。因此，
化，但是由于流场的非定常特性，控制体内所 包含的质量是随时间变化的。
S
V
11 9 作业8
固定控制体
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 ➢ 在推导连续方程之前，我们引入质量流量的概
念。对位于流场中任意的微元面 dA，如图2-
1所示。
nv
dA

V
V t
图2-1 流过面 dA 的质量流量
0
（2-16）
➢ 上式即是连续方程的物质导数形式。
32 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.5 用运动控制体推导连续方程
➢ 对于随流体一起运动的控制体（为了与速度 的表达符号区分开，用R表示体积），控制体 内流体的质量保持不变。即：
dm d Vndt dA（2-1）
13 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义
➢ 这就是 dt时间内流过微元面 的dAv流体质量。 ➢ 定义单位时间流过微元面 的质量为面
的质量流量(mass rate ofdfAvlow)，其单位为
kdgAv/s.
m& VndA
图2-2 空间位置固定的控制体
19 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.2 连续方程的积分形式
➢ 对该控制体运用质量守恒律：
流出控制体的质量流量=控制体内质量随时间
的减少率。记为， B C （2-4）
➢穿过面元 dSv的质量流量是，
vv
m& VndSm& VV•ndSA
➢ rVndA > 0 的物理意义是流出控制体的质量 流量。
（2-2）
14 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.1 连续方程的物理意义 • 质量通量(mass flux):单位面积上的质量流
量,单位是 kg/(s·m2)，即，
Q

1 dA
m&
Vn
（2-3）
• 质量流量和质量通量的概念很重要。
• 上式表明穿过一个面的质量通量等于密度乘上 速度在该面的法向的速度分量。