江苏省无锡市哈佛女子高级中学2018-2019学年高一数学文测试题含解析

江苏省无锡市哈佛女子高级中学2018-2019学年高一数
学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
参考答案：
B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．
【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），
且∥，
∴﹣1m﹣2n=0
∴=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
2. 赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果. 【详解】由图形可知，小正方形边长为
小正方形面积为：，又大正方形面积为：
，即：
解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.
3. 三个数a=（），b=（），c=（）的大小顺序是（）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
参考答案：
B
【考点】幂函数的性质．
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵，
∴a=（）＞b=（），
∵函数f（x）=在（0，+∞）上单调递减，
∴b=（）＞c=（），
∴a＞b＞c．
故选：B．
4. 下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
参考答案：
C
5. 函数满足，且，，则下列等式不成立的
是
（▲）
A B C D
参考答案：
B
略
6. 圆心角为1350，面积为Ｂ的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为Ａ，则Ａ:Ｂ等于
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 在数列{a n}中，，，则
A. B. C. D.
参考答案：
A
试题分析：在数列中，
故选A.
考点：熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质
8. 已知等差数列{a n}的前n项和为，，则（）
A. 77
B. 88
C. 154
D. 176
参考答案：
A
【分析】
利用等差数列下标和的性质可计算得到，由计算可得结果.
【详解】由得：
本题正确选项：A
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差数列下标和性质和等差中项的性质应用，属于基础题.
9. 经过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线方程是（）
A．x+y+3=0 B．x﹣y+5=0 C．x+y﹣3=0 D．x+y﹣5=0
参考答案：
C
【考点】直线的截距式方程．
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程．
【解答】解：过点A（﹣1，4）且在x轴上的截距为3的直线的斜率为：=﹣1．
所求的直线方程为：y﹣4=﹣1（x+1），
即：x+y﹣3=0．
故选C．
10. 函数的最小正周期为（）
A. B.π C.2π D.4π
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在，上有2个零点，则实数的取值范
围．
参考答案：
12. （5分）已知a＞0且a≠1，函数的图象恒过定点P，若P在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=．
参考答案：
考点：对数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用log a1=0（a＞0且a≠1），即可得出函数的图象恒过的定点P，把点P的坐标代入幂函数f（x）=xα即可得出．
解答：当x=2时，y==（a＞0且a≠1），
∴函数的图象恒过定点P．
设幂函数f（x）=xα，
∵P在幂函数f（x）的图象上，
∴，解得．
∴f（x）=．
∴f（8）=．
故答案为：．
点评：本题考查了对数函数的性质、幂函数的解析式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
13. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＋k＋3=0的两根分别是x1、x2，则（x1－1）2＋（x2－1）2的最小值是。

参考答案：
8
14. 若点A（x1，y1）、B（x2，y2）同时满足一下两个条件：
（1）点A、B都在函数y=f（x）上；
（2）点A、B关于原点对称；
则称点对（（x1，y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对”．
已知函数，则函数f（x）的“姐妹点对”是．
参考答案：
（1，﹣3），（﹣1，3）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】设x1＞0，则y1=x1﹣4，由“姐妹点对”的定义知x2=﹣x1，y2==﹣y1=4﹣x1，由此能求出函数f（x）的“姐妹点对”．
【解答】解：设x1＞0，则y1=x1﹣4，
∵点对（（x1，y1），（x2，y2））是函数f（x）的一个“姐妹点对”，
∴x2=﹣x1，y2=（﹣x1）2﹣2（﹣x1）==﹣y1=4﹣x1，
∴，
解得x1=1或x1=﹣4（舍），
∴，，
∴函数f（x）的“姐妹点对”是（1，﹣3），（﹣1，3）．
故答案为：（1，﹣3），（﹣1，3）．
【点评】本题考查函数的“姐妹点对”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数
性质的合理运用．
15. 已知函数f(x)的定义域为A，若当，则称f(x)为单值函数。

例如，函数f(x) ＝2x +（1 x R）是单值函数。

给出下列命题：
①函数f(x)是单值函数；
②函数f(x)是单值函数；
③若f(x)为单值函数，；
④函数f(x) ＝是单值函数。

其中的真命题是。

（写出所有真命题的编号）
参考答案：
②③
16. 将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样
本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．
参考答案：
、、、.
【分析】
计算出分段间隔，然后在第一个号码的基础上依次加上分段间隔可得出其他所抽取的四个
号码。

【详解】分段间隔为，则所选的剩余的号码依次为、、、，
故答案为：、、、。

【点睛】本题考查系统抽样样本号码的计算，了解分段间隔和系统抽样样本号码的计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

17. 如图所示的程序框图,输出的结果的值为______________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）设有一个44网格，其各个最小的正方形的边长为，现用一个直径为的硬币投掷到此网格上，设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点.
（1）求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；
（2）求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．
参考答案：
.解：考虑圆心的运动情况．
（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限
度为原正方形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：
16×16＋4×16×1＋π×12=320＋π；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，其面积为：14×14=196；故：硬币落下后完全在最大的正
方形内的概率为：；
（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，总面积有：16×22=64；
故：硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：．
19. 定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=|lgx|．（1）求x＜0时f（x）的解析式；
（2）若存在四个互不相同的实数a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd 的值．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，进行求解即可．
（2）根据对数函数和对数方程的关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=|lg（﹣x）|，
因f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
即f（x）=f（﹣x）=|lg（﹣x）|，
所以，当x＜0时，f（x）=|lg（﹣x）|．
（2）不妨设a＜b＜c＜d，令f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m，（m＞0），则
当x＞0时，f（x）=|lgx|=m，
可得lgx=±m，即x=10m或10﹣m，
当x＜0时，f（x）=|lg（﹣x）|=m．可得lg（﹣x）=±m，
即x=﹣10m或﹣10﹣m，
因a＜b＜c＜d，
所以a=﹣10m，b=﹣10﹣m，c=10﹣m，d=10m，abcd=10m.10﹣m．（﹣10m）．（﹣10﹣m）=1．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质，利用对称性进行转化是解决本题的关键．
20. 已知向量，，．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且，求sinα．
参考答案：
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GP：两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）根据平面向量的减法法则，表示出﹣，进而表示出，代入已知的
，两边平方后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cos（α﹣β）的方程，求出方程的解即可得到cos（α+β）的值；
（2）根据小于0，得到β的范围，再由α的范围，求出α﹣β的范围，然后由（1）求出的cos（α﹣β）的值及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值和cosβ的值，把所求式子中的α变为（α+β）﹣β，利用两角差的正弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）∵，，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，
∵，∴．
∵，∴，
∴sinα=sin[（α﹣β）+β]
=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ
=
21. 已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=4a n+3，求数列{a n}的通项公式．
参考答案：
【考点】8H：数列递推式．
【分析】根据数列递推式，变形可得数列{a n+1}是以3为首项，以4为公比的等比数列，由此可得结论．
【解答】解：由题意a n+1=4a n+3可以得到a n+1+1=4a n+3+1=4（a n+1）
所以数列{a n+1}是以a1+1=3为首项，以4为公比的等比数列．
则有a n+1=3×4n﹣1，
所以a n=3×4n﹣1﹣1．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．
22. 在△ABC中，已知是关于x的方程的两个实根. （1）求∠C；
（2）若，求△ABC的面积S.
参考答案：
(1)由得或，故，由题有
，
∴.
又，∴.
(2)∵，∴由余弦定理可得.
又，∴.
∴.。