最新沪科版数学九年级上册21章整合提升试题及答案

最新沪科版数学九年级上册21章解码专训一：函数中的决策问题名师点金：函数中的决策问题通常包括三类：利用一次函数进行决策，利用二次函数进行决策，利用反比例函数作决策．其解题思路一般是先建立函数模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用函数的图象和性质去分析、解决问题．
利用一次函数作决策
题型1购买方案
1．(2015·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购买房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．
题型2生产方案
2．(2015·无锡)某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲，乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是
多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)
题型3运输方案
3．(2015·荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式；
(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．
利用二次函数作决策
题型1几何问题中的决策
4．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的宽AB为x m，面积为S m2.
(1)求S与x的函数表达式；
(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
(第4题)
5．如图，△ABC 是边长为3 cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm /s ，当点P 运动到B 时，P ，Q 两点停止运动，设P 点运动时间为t(s )．
(1)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？
(2)设四边形APQC 的面积为y cm 2，求y 关于t 的函数表达式，当t 取何值时，四边形APQC 的面积最小？并求出最小值．
(第5题)
题型2 实际问题中的决策
6．(2014·资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y 1(元/台)与采购数量x 1(台)满足y 1＝－20x 1＋1 500(0＜x 1≤20，x 1为整数)；冰箱的采购单价y 2(元/台)与采购数量x 2(台)满足y 2＝－10x 2＋1 300(0＜x 2≤20，x 2为整数)．
(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的11
9倍，且空调采购单价不低于1 200元/台，问该商家共有几种进货方案？
(2)该商家分别以1 760元/台和1 700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房
间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x 的取值范围；
(2)设宾馆一天获得的利润为W元，求W与x之间的函数表达式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？
利用反比例函数作决策
8．某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了该项工程中运送土石方的任务．
(1)该运输公司平均每天的工作量v(单位：立方米/天)与完成运送任务所需的时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？
(2)这个运输公司共有100辆卡车，若每天一共可运送土石方104立方米，则公司完成全部运输任务需要多少时间？
(3)当公司以问题(2)中的速度工作40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，则公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？
解码专训二：函数与几何的综合应用
名师点金：初中阶段函数与几何的综合应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，以及图象特征，从而解决与一次函数、反比例函数和二次函数有关的问题，另一方面已知函数的表达式可求出点的坐标，进而解决有关几何问题．
与三角形的综合
1．如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A(1，
0)，B(0，2)，抛物线y ＝1
2x 2＋bx －2过点C.求抛物线对应的函数表达式．
(第1题)
2．(2015·枣庄)如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6
x (x>0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使kx ＋b<6
x 成立的x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积．
(第2题)
与四边形的综合
题型1 与平行四边形的综合
3．如图，过反比例函数y ＝6
x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双
曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3
x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y 轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．
(第3题)
题型2 与矩形的综合
(第4题)
4．(2015·烟台)如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，
2)，反比例函数y ＝k
x (x>0)的图象过对 角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．
5．(2015·德州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB.
(1)求证：四边形AEBD 是菱形；
(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线的函数表达式．
(第5题)
题型3 与菱形的综合
(第6题)
6．二次函数y ＝2
3x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ，在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n －1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n －1B n A n ＝60°，菱形A n －1B n A n C n 的周长为________．
7．(2015·武威)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O
重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在函数y ＝k
x (k>0，x>0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．
(1)求k 的值；
(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在函数y ＝k
x (k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．
(第7题)
题型4与正方形的综合
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，
OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数y＝k
x(x＞0，k≠0)
的图象经过线段BC的中点D.
(1)求k的值；
(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的表达式并写出x的取值范围．
(第8题)
9．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图甲中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；
(2)如图乙，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．
①AE＝EF是否总成立？请给出证明；
②在如图乙所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．
(第9题)
解码专训三：探究二次函数中存在性问题
名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索特殊几何图形的存在性问题，探索周长有关的存在性问题，探索面积有关的存在性问题．
探索与特殊几何图形有关的存在性问题
1．(中考·扬州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(第1题)
探索与周长有关的存在性问题
2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB ＝120°.
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A，O，B三点的抛物线对应的函数表达式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(第2题)
探索与面积有关的存在性问题
3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为
D.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线对应的函数表达式；
(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(第3题)
解码专训四：二次函数与反比例函数中常见的热门考点名师点金：二次函数与反比例函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识结合，又可以与几何知识结合．在中考中，反比例函数常与几何知识考查体现k的几何意义，而二次函数常以实际应用题或综合题的形式出现，重点考查最值或存在性问题．
二次函数的图象与性质
1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与x轴有两个交点
2．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．4
(第2题)
(第4题)
3．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．
4．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．
用待定系数法求二次函数的表达式
5．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数表达式为________．
6．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______℃.
7．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线对应的函数表达式．
(第7题)
二次函数与一元二次方程或不等式的关系
8．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是()
A．3B．2C．1D．0
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是()
A.x＜0或x＞2B．0＜x＜2
C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜3
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中错误的是()
(第10题)
A．a－b＋c＝0
B．x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
C．a＋b＋c＞0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
11．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.
(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．
二次函数的应用
12．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．
13．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B.
(1)求点B 的坐标；
(2)求抛物线对应的函数表达式；
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(第13题)
反比例函数的图象与性质
14．(2015·海南)点A(－1，1)是反比例函数y ＝m ＋1x 的图象上一点，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．0
D ．1
15．对于反比例函数y ＝4
x ，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点(2，－2) B ．图象位于第二、四象限 C ．y 随x 的增大而增大
D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小
16．已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)，C(－3，y 3)都在反比例函数y ＝6
x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A ．y 3<y 1<y 2
B ．y 1<y 2<y 3
C ．y 2<y 1<y 3
D ．y 3<y 2<y 1
(第17题)
17．(2015·眉山)如图，A 、B 是双曲线y ＝k
x (k ≠0)上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C.若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( ) A .43 B .8
3 C ．3 D ．4
18．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比
例函数y ＝m
x 的图象的两个交点．求：
(1)反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；
(3)方程kx ＋b －m
x ＝0的解(请直接写出答案)；
(4)不等式kx ＋b －m
x <0的解集(请直接写出答案)．
(第18题)
反比例函数在实际生活中的应用
19．某数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm 2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y(cm )与宽x(cm )之间的函数关系的图象大致是( )
20．在对物体做功一定的情况下，力F(N )与此物体在力的方向上移动的距离s(m )成反比例函数关系，点P(5，1)在其图象上，则当力达到10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是________m .
21．用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10 L )，小敏每次用半盆水(约5 L )．如果她们都用了5 g 洗衣粉．第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5 g ，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2 g .
(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y(g )与漂洗次数x(次)之间的函数表达式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5 g 时，便视为衣服漂洗干净．从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
反比例函数与一次函数、几何图形的综合
22．(2015·东营)如图是函数y ＝3x 与函数y ＝6x 在第一象限内的图象，点P 是y ＝6x 的图象上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y ＝3x 的图象于点C ，PB ⊥y 轴于点B ，
交y ＝3
x 的图象于点D.
(1)求证：D 是BP 的中点； (2)求四边形ODPC 的面积．
(第22题)
23．(2015·宜宾)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是矩形，AD ∥x
轴，A ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3，32，AB ＝1，AD ＝2.
(1)直接写出B 、C 、D 三点的坐标；
(2)将矩形ABCD 向右平移m 个单位，使点A 、C 恰好同时落在反比例函数y ＝k
x (x>0)的图象上，得矩形A′B′C′D′，求矩形ABCD 的平移距离m 和反比例函数的表达式．
(第23题)
答案
解码专训一
1．解：(1)当1≤x ≤8时，y ＝4 000－30(8－x)＝4 000－240＋30x ＝30x ＋3 760； 当8＜x ≤23时，y ＝4 000＋50(x －8)＝4 000＋50x －400＝50x ＋3 600. ∴所求函数表达式为y ＝⎩⎨⎧30x ＋3 760（1≤x ≤8为整数），50x ＋3 600（8＜x ≤23为整数）.
(2)当x ＝16时，方案一每套楼房费用(设为W 1元)： W 1＝120×(50×16＋3 600)×92%－a ＝485 760－a ； 方案二每套楼房费用(设为W 2元)： W 2＝120×(50×16＋3 600)×90%＝475 200.
∴当W 1＜W 2时，即485 760－a ＜475 200时，a ＞10 560；
当W 1＝W 2时，即485 760－a ＝475 200时，a ＝10 560；当W 1＞W 2时，即485 760－a ＞475 200时，a ＜10 560.
因此，当每套赠送装修基金多于10 560元时，选择方案一合算； 当每套赠送装修基金等于10 560元时，两种方案一样； 当每套赠送装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．
2．解：设甲车间用x 箱原材料生产A 产品，则乙车间用(60－x)箱原材料生产A 产品．
由题意得4x ＋2(60－x)≤200，解得x ≤40.
w ＝30[12x ＋10(60－x)]－80×60－5[4x ＋2(60－x)]＝50x ＋12 600， ∵50＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝40 时，w 取得最大值，为14 600元．
答：甲车间用40箱原材料生产A 产品，乙车间用20箱原材料生产A 产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．
3．解：(1)由题意得：装运青鱼的车辆为(20－x －y)辆． ∵8x ＋6y ＋5(20－x －y)＝120，∴y ＝－3x ＋20.
(2)∵⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，20－x －y ≥2.∴⎩⎨⎧x ≥2，－3x ＋20≥2，20－x －（－3x ＋20）≥2.
解得2≤x ≤6.
设此次销售获利为W 万元，则W ＝0.25×8x ＋0.3×6y ＋0.2×5(20－x －y)＝－1.4x ＋36.
∵k ＝－1.4＜0，∴W 随x 的增大而减小， ∴当x ＝2时，W 取得最大值，为33.2万元． 此时y ＝－3x ＋20＝14，20－x －y ＝4.
故应安排2辆汽车装运鲢鱼，14辆汽车装运草鱼，4辆汽车装运青鱼，能使此次销售获利最大且最大利润为33.2万元．
4．解：(1)因为宽AB ＝x m ，则BC ＝(24－3x) m ，此时面积S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x.
(2)由已知得－3x 2＋24x ＝45，化为x 2－8x ＋15＝0.解得x 1＝5，x 2＝3.∵0＜24－3x ≤10，得14
3≤x ＜8，∴x 2＝3不符合题意，故AB ＝5 m ，即该鸡舍的宽为5 m .
(3)S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x 2－8x)＝－3(x －4)2＋48.∵143≤x ＜8，∴当x ＝14
3时，S 最大值＝462
3 m 2.∴能围成面积比45 m 2更大的鸡舍．鸡舍的长取10 m ，宽取423 m ，这时鸡舍的最大面积为462
3 m 2.
5．解：(1)由题意可知，∠B ＝60°，BP ＝(3－t)cm ，BQ ＝t cm .若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ ＝30°或∠BQP ＝30°，于是BQ ＝12BP 或BP ＝1
2BQ ，即t ＝12(3－t)或3－t ＝1
2t.解得t ＝1或t ＝2，即当t 为1 s 或2 s 时，△PBQ 是直角三角形．
(2)过点P 作PM ⊥BC 于点M ，则易知BM ＝12BP ＝1
2(3－t)cm .∴PM ＝BP 2－BM 2＝3
2(3－t)cm .∴S
四边形APQC
＝S △ABC －S △PBQ ＝12×3×323－12t·3
2(3－t)
＝34t 2－334t ＋934，即y ＝34t 2－334t ＋93
4，易知0<t<3.
于是y ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋27316，∴当t ＝32时，y 取得最小值，为273
16，即当t 为
32 s 时，四边形APQC 的面积最小，最小值为27316
cm 2
. 6．解：(1)由题意可知，空调的采购数量为x 1台，则冰箱的采购数量为(20－x 1)台，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1≥119（20－x 1），
－20x 1＋1 500≥1 200，
解得11≤x 1≤15，∵x 1为整数，
∴x 1可取的值为11，12，13，14，15，∴该商家共有5种进货方案．
(2)设总利润为W 元，y 2＝－10x 2＋1 300＝－10(20－x 1)＋1 300＝10x 1＋1 100，则W ＝(1 760－y 1)x 1＋(1 700－y 2)x 2＝1 760x 1－(－20x 1＋1 500)x 1＋(1700－10x 1－1 100)(20－x 1)＝1 760x 1＋20x 12－1 500x 1＋10x 12－800x 1＋12 000＝30x 12－540x 1＋12 000＝30(x 1－9)2＋9 570，当x 1＞9时，W 随x 1的增大而增大，∵11≤x 1≤15，∴当x 1＝15时，W 最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650.
答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10 650元．
7．解：(1) y ＝50－110x(0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)．
(2)由题意可知，W ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫50－110x (180＋x －20)，即W ＝－110x 2＋34x ＋8 000. (3)∵W ＝－110x 2＋34x ＋8 000＝－110(x －170)2＋10 890，
∴当x<170时，W 随x 的增大而增大，又∵0≤x ≤160，∴当x ＝160时，W
最大值＝10 880，此时，y ＝50－110×160＝34.
答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是10 880元．
8．解：(1)因为工程需要运送的土石方总量为106立方米，所以运输公司平均每天的工作量v 与完成运送任务所需要的时间t 之间成反比例关系且函数表达
式为v ＝106t
. (2)由vt ＝106，把v ＝104
代入，得t ＝106
104＝100， 即若每天一共可运送土石方104立方米，则该公司完成全部运输任务需要100天．
(3)设要完成剩余的运输任务运输公司平均每天的工作量为v′立方米/天，工
作时间为t′天，则v′＝106－104×40t ′
，把t′＝50代入，得v′＝1.2×104. 由(2)得一辆卡车平均每天运送的土石方为104÷100＝100(米3)，所以要完成剩余的运输任务，运输公司至少需要再增加卡车(1.2×104－104)÷100＝20(辆)．
解码专训二
(第1题)
1．解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD ，∴∠OBA ＝∠CAD.又∵AB ＝AC ，∴△AOB ≌△CDA(ASA)，∴AO ＝CD ＝1，BO ＝AD ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C(3，
1)．∵点C(3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1＝12×32＋3b －2，解得b ＝－12，
∴所求表达式为y ＝12x 2－12x －2.
2．解：(1)∵A(m ，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝6x (x>0)的图象上，
∴m ＝1，n ＝2，即 A(1，6)，B(3，2)．
又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，
∴⎩⎨⎧6＝k ＋b 2＝3k ＋b ，解之，得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝8
， 即一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.
(2)根据图象可知使kx ＋b<6x 成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.
(3)分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E 、C ，直线AB 交x 轴于D 点．
令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D(4，0)．
∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2.
∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝12×4×6－12×4×2＝8.
3．解：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，6a ，则B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －3，6a ，∴(a －3)·6a ＝－3. ∴a ＝2.
∴A(2，3)，B(－1，3)．∵C(－3，0)，∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝32
x ＋92.与y ＝－3x 联立从而求出D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，32. ∴求出直线AD 的函数表达式为y ＝38x ＋94.∴OE ＝94.
4.154 点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，把P 点坐
标代入反比例函数表达式可得k＝2，所以反比例函数表达式为y＝2
x，D点的横
坐标为4，所以AD＝2
4＝
1
2，点E的纵坐标为2，所以2＝
2
CE，CE＝1，则BE＝
3，所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－9
4－1＝
15
4.
5．(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边
形OABC是矩形，∴DA＝1
2AC，DB＝
1
2OB，AC＝BO，∴DA＝DB.∴四边形
AEBD是菱形．
(2)解：连接DE，交AB于F，∵四边形AEBD是菱形，∴DF＝EF＝1
2OA＝
3
2，AF＝1
2AB＝1，∴E⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
9
2，1.设所求反比例函数表达式为y＝
k
x，把点E⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
9
2，1代
入得1＝k
9
2
，解得k＝
9
2.∴所求反比例函数表达式为y＝
9
2x.
6．4n
(第7题)
7．解：(1)如图，过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，∴AD＝5，
∴点A坐标为(4，8)，
∴k＝xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
(2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝32
x(x>0)的图象
上D′点处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′.
∵DF＝3，∴D′F′＝3.
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在y＝32
x的图象上，∴3＝
32
x，解得x＝
32
3，
即OF′＝32
3，∴FF′＝
32
3－4＝
20
3，
∴菱形ABCD 平移的距离为203.
8．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．
∵D 是BC 的中点，∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝k x (x ＞0，k ≠0)的图象经过
点D ，∴k ＝2.
(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时，
∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动，∴y ＝2x .
∴S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －2＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ·PQ ＝x·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－2x ＝2x －2， 综上，S ＝⎩⎨⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.
9．解：(1)如图甲，取AB 的中点G ，连接EG.△AGE 与△ECF 全等．
(第9题)
(2)①若点E 在线段BC 上滑动，AE ＝EF 总成立．
证明：如图乙，在AB 上截取AM ＝EC.∵AB ＝BC ，∴BM ＝BE ，∴△MBE 是等腰直角三角形，∴∠AME ＝180°－45°＝135°.又∵CF 平分正方形的外角，∴∠ECF ＝135°，∴∠AME ＝∠ECF.而∠BAE ＋∠AEB ＝∠CEF ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△AME ≌△ECF ，∴AE ＝EF.②如图乙，过点F 作FH ⊥x 轴于点H.
由①知，FH ＝BE ＝CH.
设BH ＝a ，则FH ＝a －1，∴点F 的坐标为(a ，a －1)．
∵点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，∴a －1＝－a 2＋a ＋1，∴a 2＝2，a ＝2或－2(负值不合题意，舍去)，∴a －1＝2－1，∴点F 的坐标为(2，2－1)．
解码专训三
1．解：(1)将A ，B ，C 三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得
⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，
解得⎩⎨⎧a ＝－1，
b ＝2，
c ＝3.
∴所求表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)∵点A ，B 关于直线l 对称，∴PA ＝PB.
∴当点P 为直线BC 与l 的交点时，△PAC 的周长最小．由B(3，0)，C(0，
3)易求直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3；将x ＝1代入，于是易求点P 的坐标为(1，2)．
(3)存在．点M 的坐标为(1，1)，(1，6)，(1，－6)，(1，0)．
点拨：对于(3)问，假设存在符合条件的点M ，设M(1，m)，由A(－1，0)，C(0，3)，结合勾股定理易得MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得m ＝1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2－6m ＋10＝10，得m ＝0或m ＝6；当m ＝6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M 的坐标为(1，1)，(1，
6)，(1，－6)，(1，0)．
2．解：(1)过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，则∠BOD ＝120°－90°＝30°.
由A(－2，0)可得OA ＝2，∴OB ＝2.于是在Rt △BOD 中，易得BD ＝1，OD ＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．
(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)，可设抛物线对应的函数表达式为y
＝ax(x ＋2)，将点B 的坐标(1，3)代入，得a ＝33，因此所求表达式为y ＝33x 2＋233x.
(第2题)
(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x ＝－1，当点C 是抛物线的对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 对应的函数表达式为
y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝233.
∴y ＝33x ＋233，当x ＝－1时，y ＝33，因此点C 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，33. 3．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(0，2)，
∴⎩⎨⎧0＝1＋b ＋c ，2＝c.解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝2.
∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋2.
(2)当x ＝3时，由y ＝x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，
2)，
∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位长度后过点C.
∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋1.
(3)假设存在点N ，则点N 在抛物线y ＝x 2－3x ＋1上，可设N 点坐标为(x 0，x 02－3x 0＋1)．由(2)知，BB 1＝DD 1＝1.
将y ＝x 2
－3x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322－54， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝32.
(第3题)
当0<x 0<32时，如图①.∵S △NBB 1＝2S △NDD 1，
∴12×1×x 0＝2×12×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－x 0， ∴x 0＝1，此时x 02－3x 0＋1＝－1，∴点N 的坐标为(1，－1)；
当x 0>32时，如图②.
同理可得12×1×x 0＝2×12×1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0－32， ∴x 0＝3，此时x 02－3x 0＋1＝1，∴点N 的坐标为(3，1)．
综上，符合条件的点N 的坐标为(1，－1)，(3，1)．
解码专训四
1．C
2．C 点拨：根据函数图象开口向下可得a ＜0，所以①错误；当－1＜x ＜3时，y ＞0, 所以④正确；因为抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以
其对称轴为直线x ＝1，所以－b 2a ＝1，因此2a ＋b ＝0，所以②正确；当x ＝1时，
y ＝a ＋b ＋c ＞0，所以③正确．所以②③④正确．
3.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，78；x ＞14 4.12 点拨：答案不唯一．
5．y ＝－18x 2＋2x ＋1 6.－1
7．解：对称轴为直线x ＝－－5a 2a ＝52.又∵BC ∥x 轴，∴BC ＝AC ＝5.∵OC ＝
4，∴OA ＝3，∴A(－3，0)．∴9a ＋15a ＋4＝0.∴a ＝－16.∴y ＝－16x 2＋56x ＋4.∴
抛物线对应的函数表达式为y ＝－16x 2＋56x ＋4.
8．A 9.D 10.D
11．解：(1)令y ＝0，得x 2－(2m －1)x ＋m 2＋3m ＋4＝0，Δ＝(2m －1)2－4(m 2＋3m ＋4)＝－16m －15.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，即－16m －15
＞0，∴m ＜－1516，此时二次函数的图象与x 轴有两个交点；当Δ＝0时，方程有
两个相等的实数根，即－16m －15＝0，∴m ＝－1516
，此时二次函数的图象与x 轴只有一个交点；当Δ＜0时，方程没有实数根，即－16m －15＜0，∴m ＞－1516，
此时二次函数的图象与x 轴没有交点．
(2)由一元二次方程根与系数的关系得x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝m 2＋3m ＋4，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2m －1)2－2(m 2＋3m ＋4)＝2m 2－10m －7.
∵x 12＋x 22＝5，∴2m 2－10m －7＝5.∴m 2－5m －6＝0.解得m 1＝6，m 2＝－1.
∵m ＜－1516，∴m ＝－1.∴y ＝x 2＋3x ＋2.
令x ＝0，得y ＝2，∴二次函数的图象与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．
又∵y ＝x 2
＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，∴顶点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，－14. 设过点C(0，2)与M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，－14的直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，－14＝－32k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝2.∴直线CM 的函数表达式为y ＝32x ＋2. 12．解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x 2＋1 300x －36 000(60≤x ≤90)．
配方，得y ＝－10(x －65)2＋6 250.
∴当x ＝65时，y 有最大值6 250.
因此，当该T 恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．
(第13题)
13．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D.∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠CAO ＝90°，∴∠BCD ＝∠CAO.又∵∠BDC ＝∠COA ＝90°，CB ＝AC ，∴△BCD ≌△CAO ，∴BD ＝OC ＝1，CD ＝OA ＝2，∴点B 的坐标为(－3，1)．
(2)∵抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B(－3，1)，∴1＝9a －3a －2，解得a ＝12.
∴抛物线对应的函数表达式为y ＝12x 2＋12x －2.
(3)假设存在点P ，使得△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点，则延长BC 至点P 1，使得P 1C ＝BC ，连接AP 1，得到等腰直角三角形ACP 1，过点P 1作P 1M ⊥x 轴于点M ，∵CP 1＝BC ，∠MCP 1＝∠BCD ，∠P 1MC ＝∠BDC ＝90°，∴△MP 1C ≌△DBC.∴CM ＝CD ＝2，P 1M ＝BD ＝1，可求得点P 1的坐标为(1，－1)；②若以点A 为直角顶点，则过点A 作AP 2⊥CA ，且使得AP 2＝AC ，连接AP 2，得到等腰直角三角形ACP 2，过点P 2作P 2N ⊥y 轴于点N ，同理可证△AP 2N ≌△CAO.∴NP 2＝OA ＝2，AN ＝OC ＝1，可求得点P 2
的坐标为(2，1)，经检验，点P 1(1，－1)与点P 2(2，1)都在抛物线y ＝12x 2＋12x －2
上．
14．B 15.D 16.D
(第17题)
17．B 点拨：过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵D 为OB 的中点，∴CD 是△OBE
的中位线，则CD ＝12BE.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，k x ，则B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ，k 2x ，CD ＝k 4x ，AD ＝k x －k 4x ，∵△ADO 的面积为1，∴12AD·OC ＝1，12⎝ ⎛⎭
⎪⎫k x －k 4x ·x ＝1.解得k ＝83. 18．解：(1)将B(2，－4)代入y ＝m x 得－4＝m 2，解得m ＝－8.
∴反比例函数表达式为y ＝－8x .
∵点A(－4，n)在双曲线y ＝－8x 上，∴n ＝2.
∴A(－4，2)．
把A(－4，2)，B(2，－4)代入y ＝kx ＋b 得
⎩
⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －2.
(2)令y ＝0，则－x －2＝0，x ＝－2.∴C(－2，0)，∴OC ＝2.
∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×4＝6.
(3)x 1＝－4，x 2＝2.
(4)－4<x<0或x>2.
19．A 20.0.5
21．解：(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数表达式分
别为：y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，
将⎩⎨⎧x 1＝1y 1＝1.5和⎩⎨⎧x 2＝1y 2＝2
分别代入两个表达式得：1.5＝k 11，2＝k 21，解得：k 1＝32，k 2＝2.
∴小红的函数表达式是：y 1＝32x ，
小敏的函数表达式是：y 2＝2x ；
(2)把y ＝0.5分别代入两个函数表达式得：32x 1＝0.5，2x 2
＝0.5， 解得：x 1＝3，x 2＝4，10×3＝30(L )，5×4＝20(L )，
答：小红共用30 L 水，小敏共用20 L 水，小敏的方法更值得提倡．
22．(1)证明：∵点P 在双曲线y ＝6x 上，
∴设P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫6m ，m . ∵点D 在双曲线y ＝3x 上，BP ∥x 轴，
∴设D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m ，m . 由题意可得BD ＝3m ，BP ＝6m ，
故D 是BP 的中点．
(2)解：S 四边形BPAO ＝6m ·m ＝6，
设C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3x ，D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ，3y ， 则S △OBD ＝12·y·3y ＝32，
S △OAC ＝12·x·3x ＝32
， ∴S 四边形ODPC ＝S 四边形PBOA －S △OBD －S △OAC ＝6－32－32＝3.
23．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝1，BC ＝AD ＝2，
∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，AD ∥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，32； (2)∵将矩形ABCD 向右平移m 个单位，
∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋m ，32，C ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋m ，12， ∵点A′，C ′在反比例函数y ＝k x (x>0)的图象上，
∴32(－3＋m)＝12(－1＋m)，
解得：m ＝4，∴A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，∴k ＝32， ∴矩形ABCD 的平移距离m ＝4，
反比例函数的表达式为：y ＝32x .。