2017--2019年高考真题小题专项训练：概率与统计

2017--2019年高考真题小题专项训练：概率与统计
一、单选题
1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生 2．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．516
B ．1132
C ．2132
D ．1116
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．12
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A ．0.5
B ．0.6
C ．0.7
D ．0.8
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212
152–lg E m m E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A ．1010.1
B ．10.1
C ．lg10.1
D ．10–10.1 6．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为
A
B
C ．
D ．
7．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A ．112
B ．114
C ．115
D ．118
9．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
10．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =
A ．0.7
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.3
11．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A ．0.3
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.7
12．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：
kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差
C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数
13．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．1
4
B．
8
π
C．
1
2
D．
4
π
14．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
A．12种B．18种C．24种D．36种15．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩16．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）
A．
1
10
B．
3
5
C．
3
10
D．
2
5
17．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 18．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A ．45
B ．35
C ．25
D ．15
19．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其
回归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．已知101225i i x ==∑，10
11600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A ．160
B ．163
C ．166
D ．170
20．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A ．518
B ．49
C ．59
D ． 79
21．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为
二、填空题
22．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
23．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
24．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．
25．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
26．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
27．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
28．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
2017--2019年高考真题小题专项训练：概率与统计
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，
所以610n a n =+()n *∈N ，
若8610n =+，则15n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
2．A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有3
6C ，
所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ． 【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还
是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
3．D
【解析】
【分析】
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是
12．故选D ． 【点睛】
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
4．C
【解析】
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】
由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．
【点睛】
本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
5．A
【解析】
【分析】
由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】 两颗星的星等与亮度满足1212
5lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-,
()10.1112122
22lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
6．D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，
又1a f =
，则7781a a q f ===
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1
n n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列
{}n a 是等比数列.
7．A
【解析】
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】
设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，
则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
8．C
【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不
同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515
，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
9．D
【解析】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，
从以上5名同学中任选2人总共有
12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为3
0.310
P ==， 故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()m
P A n
=求出事件A 的概率. 10．B 【解析】
分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可。

()()D X np 1p =-
p 0.4∴=或p 0.6=
()()()()6
4
4466
1010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，
()2
21p p ∴-<,可知p 0.5>
故答案选B.
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。

11．B 【解析】 【详解】
分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得 详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++= 因为()()P A 0.45,P AB 0.15== 所以()P B 0.4=， 故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

12．B 【解析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度． 13．B 【解析】
设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2
a ，圆的面积为
2
π4
a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何
概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是2
21ππ248
a a ⋅
=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .
14．D 【解析】
4项工作分成3组,可得：24
C
=6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：
3
6363
A ⨯=种。

故选：D.
【解析】
【分析】
根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【详解】
解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
16．D
【解析】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
42
. 105
故答案为：D。

【解析】 【分析】
根据折线图的数据，依次判断各个选项所描述的数据特点，得到正确结果。

【详解】
A 选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在2016年9月接待游客量小于2016年8月接待
游客量的情况，故并不是逐月增加，因此A 错误；
B 选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增
加，可得年接待游客量逐年增加，因此B 错误；
C 选项：根据折线图可发现，每年的7，8月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每
年的接待游客高峰期均在7，8月份，并非6，7月份，因此C 错误；
D 根据折线图可知，每年1月至6月的极差较小，同时曲线波动较小；7月至12月极差明显
大于1月至6月的极差，同时曲线波动幅度较大，说明1月至6月变化比较平稳，因此D 正确.
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查了统计部分的基础知识，关键在于读懂折线图，属于基础题。

18．C 【解析】
选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为142542
105
C p C ===.
本题选择C 选项.
考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 19．C 【解析】
由已知22.5,160x y ==,
160422.570,424166ˆ70a
y ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 20．C 【解析】
标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到
的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是11
5425
989
C C =⨯ ,选C.
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
21．B 【解析】 【分析】
利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解． 【详解】 由茎叶图得：
∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等， ∴65＝60+y ，解得y ＝5， ∵平均值也相等， ∴
56626570745961676578
55
x +++++++++=，
解得x ＝3． 故选B ． 【点睛】
本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 22．0.18 【解析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是3
0.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是2
2
0.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 23．0．98. 【解析】 【分析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.2
0.9840
=． 【点睛】
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值． 24．90. 【解析】
分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.
详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为 ， ， ， ， ，故平均数为
91 91
.
点睛： 的平均数为
.
25．
3
. 10
【解析】
分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，
因此所求概率为
3
. 10
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
26．16
【解析】
【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44
C=种选法，从6名学生中任意选3人有3
620
C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416
-=种，故答案是16.
【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 27．分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为：分层抽样。

点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。

28．18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
⨯=件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．。