湖南长沙市田家炳实验中学高二数学培训强化训练六

湖南长沙市田家炳实验中学高二数学培训强化训练六
一、选择题
1.抛物线x 2=4y 的焦点坐标为 （ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（4
1，0） D ．（0，4
1）
2．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是（ ） A ．相
切 B ．相交
C ．相离
D ．不能确定
3．给出下列四个命题：①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，α⊥平面β，则a ⊥β；③若a 、b 是二条平行直线，b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α∥γ。

其中不正确的命题的个数是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
4.如果方程x 2+ky 2=3表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ） A.(0,+∞) B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）
5．两条直线 1：ax-y=-2，与 2:2x+6y+c=0相交于点（1，m ），且 1到 2的角为π4
3
，则a+c+m=（ ）
A 、217-
B 、223-
C 、2
27- D 、-14 6．已知抛物线
y 2=2px (p ＞0)与双曲线
22a x -2
2
b y =1有个相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，
且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ） A ．
215+ B ．3+1 C ．2+1 D ．2
1
22+ 7.如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论错误．．的是（ ） （A ）//BD 平面11CB D （B ）1AC BD ⊥ （C ）1AC ⊥平面11CB D
（D ）异面直线AD 与1CB 所成的角为60°
8．如图，长方体1111ABCD A BC D -的底面是正方形，12AA AB =，则异面直线1A B 与1
AD 所成角的余弦值为（ ）
Ａ．15
Ｂ．25
Ｃ．35
Ｄ．45
9．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥
D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥
10.如果双曲线
22
142
x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ） （A
）
3 （B
）3
（C
） （D
）11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）
G
12.已知抛物线2
3y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于
（ ）
（A ）3 （B ）4 （C
） （D
）二、填空题
13.一直线l 被两直线0653:064:21=--=++y x l y x l 和截得的线段MN 的中点P 恰好是坐标原点，则直线l 的方程为
14．以双曲线15
42
2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是________
1
A 1D
1
C 1
B D
B C A 1D
1C
C
B
A
E 1A
F 1B
D
15．以（0，1）为圆心的圆完全落在区域⎩
⎨
⎧≤-+≥+-020
52y x y x 内，则圆面积的最大值为 .
16．已知：x 4+y 2=1,给出以下结论：①它的图象关于x 轴对称，②它的图象关于y 轴对称；
③它的图象是一个封闭图形，且面积小于π；④它的图象是一个封闭图形，且面积大于 π,以上说法中，正确命题的序号是 . 三、解答题
17．已知圆22:9C x y +=以及圆C 内一定点(1,2)P ，M 为圆C 上一动点，平面内一点Q 满足关系：OQ OP OM =+（O 为坐标原点）.
（1）求点Q 的轨迹方程；（2）在O 、M 、P 不共线时，求四边形OPMQ 面积最大值；
18. 如图，P 为平行四边形外的一点，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是
PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；
19. 已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AA 1=AB=a ，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，A 1D 与AC 的延长线交于点M （如图），
（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥BD 。

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切
于坐标原点O .椭圆22a x +9
2
y =1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
A
21. 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；
（Ⅲ）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明:FQ FM λ-=.
参考答案
AACDDC
13．X+6Y=0 14. 15.
2
π
16.①②④ 17．解（1）设(,)Q x y ，圆C:2
2
9x y +=上任一点00(,)M x y
又(1,2)P ，则(,)OQ x y = (1,2)OP =，00(,)OM x y = 由OQ OP OM =+有 00(,)(1,2)()x y x y =++，∴001
2
x x y y =-⎧⎨
=-⎩
又 22
009x y +=，故Q 的轨迹方程为：22(1)(2)9x y -+-=
（6分）
（2）1
22
||||sin 2
OPQM
OPM
S
S
OP OM POM ==∠35sin 35POM =≤ ∴四边形OPQM 面积最大值为35
（文12分）
18、（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD
∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB ……………………3分
（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO 。

∵ABCD 是平等四边形， ∴O 是BD 的中点， 又E 是PD 的中点， ∴EO ∥PB
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC 。

………………….7分
19．解：（1）由（PQ +2PC ）（PQ-2PC ）=0，∴|PQ |2=4|PC |2. （2分）
设P （x ,y ），得|x +4|2=4[(x +1)2+y 2], ∴3x 2+4y 2=12.
∴点P 的轨迹方程为42x +3
2y =1； （6分）
（2）设P （x ,y ），∴PQ =（-4-x ，0），PC =（-1-x ,-y ）. (8分) PQ ·PC =（-4-x ,0）·（-1-x ，-y ）=x 2+5x +4=(x +
25)2-4
9
. (10分) 由x ∈[-2，2]，故有PQ ·PC ∈[-2，18]. （12分） 20．解析：（Ⅰ）法一：由已知，DF
是△A 1BM 的一条中位线，所以DF ∥BM 因为DF ⊄平面ABC ，BM ⊂平面ABC
所以DF ∥平面ABC ……………………6分 （Ⅱ）因为AA 1=AB ，F 为A 1B 的中点，所以AF ⊥A 1B
设AB 的中点为E ，连结CE 、EF 则CE ⊥平面A 1AB ，CE ∥DF 所以CE ⊥AF ，从而AF ⊥DF 而A 1B ∩DF=F
所以AF ⊥平面A 1BD ，因为BD ⊂平面A 1BD ，所以AF ⊥BD ……………………12分 21解：（1）设圆心坐标为（m ,n ）(m ＜0,n ＞0),则该圆的方程为（x -m ）2+(y -n )2=8. 已知该圆与直线y =x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 2
|
|n m -=22，即|m -n |=4.……① (1分)
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得
m 2+n 2=8……② (2分) 联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨
⎧=-=,
2,
2n m （4分）
故圆的方程为（x +2）2+(y -2)2=8； （6分） （2）|a |=5，∴a 2=25,则椭圆的方程为
252x +9
2
y =1，其半焦距c =925-=4，右焦点F （4，0），那么|OF |=4. （8分） 要探求是否存在异于原点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于|OF |的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为圆心，半径为4的圆（x -4）2+y 2=16与（1）所求的圆的交点数.
（10分）
通过联立两圆的方程解得x =54,y =5
12
. (12分) 即存在异于原点的点Q （
54，5
12），使得该点到右焦点F 的距离等于线段OF 的长.(14分) 22、（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a x .由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).
(2,222
2c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为
12
62
2=+y x ，离心率3
6
=e …………………………………………………………..3分 （Ⅱ）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)3(,126
2
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得36
36<
<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则1
3182221+=+k k x x ， ① 1
36272
221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅OQ OP ，∴02121=+y y x x . ④. 由①②③④得152=k ，从而)3
6
,36(55-∈±
=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . ……………………..7分
（Ⅲ）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.
126
,
126
,
),3(32
2222
12121
21y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λ
λ21
52-=x . 因),(),0,2(11y x M F -，
故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21
(),21(21y y λ
λλλ--=--=. 而),21
(),2(222y y x FQ λ
λ-=-=，所以FQ FM λ-=. (13)。